Reihen – Summieren bis zum Letzten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel kehren wir wieder zu den Folgen zurück. Allerdings werden wir uns nun mit einer sehr speziellen Klasse von Folgen beschäftigen, bei denen die Folgenglieder Summen sind. Solche Objekte nennt man Reihen.

Man stößt bei mathematischen Betrachtungen, aber auch in Anwendungen, auf ganz natürliche Art und Weise auf Reihen: Die Dezimaldarstellung der reellen Zahlen kann man als eine Reihe auffassen. Ein Anwendungsbeispiel wird die korrekte Austarierung eines Mobiles betreffen. Und schließlich werden wir es in vielen der folgenden Kapitel zur Analysis mit Reihen zu tun bekommen, sei es bei der Darstellung von Standardfunktionen wie sin, cos und exp, bei der Definition von Integralen oder bei der Lösung von Differenzialgleichungen.

Im Gegensatz zu den meisten Beispielen, die wir im Kapitel über Folgen kennengelernt haben, ist es bei Reihen oft sehr schwierig, den Grenzwert tatsächlich zu bestimmen. Aber es gibt ausgefeilte Werkzeuge, sogenannte Konvergenzkriterien, um festzustellen, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Reihen werden als spezielle Folgen definiert

Definition der Reihen

Für eine beliebige Zahlenfolge $(a_{k})$ aus $\mathbb{C}$ heißt die Folge $(s_{n})$ der Partialsummen

$$\displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$$

eine unendliche Reihe. Konvergiert die Folge $(s_{n})$, so heißt auch die Reihe konvergent, andernfalls divergent. Konvergiert die Reihe, so schreibt man für den Grenzwert

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\lim_{n\to\infty}s_{n}$$

und nennt ihn den Wert der Reihe.

1.2 Manchen wichtigen Reihen begegnet man immer wieder

Bestimmte Reihen spielen in der Analysis eine wichtige Rolle, sie tauchen in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auf. Wichtige Vertreter sind die geometrische Reihe, die Exponentialreihe und die harmonische Reihe. Die geometrische Reihe besteht aus Potenzen einer Zahl $q\in\mathbb{C}$. Ist $|q|<1$, so konvergiert sie, und es gilt

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}=\frac{1}{1-q}.$$

Die Exponentialreihe konvergiert gegen die Euler’sche Zahl,

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}.$$

Die harmonische Reihe schließlich ist ein Beispiel für eine divergente Reihe.

Den Wert einer Reihe kann man nur in seltenen Fällen bestimmen. Stattdessen steht meist die Frage im Vordergrund, ob eine Reihe überhaupt konvergent ist. Zu diesem Zweck gibt es Konvergenzkriterien.

1.3 Kriterien für Konvergenz

Eine Reihe von Kriterien werden aus dem Vergleich verschiedener Reihen gewonnen. Das wichtigste ist das Majoranten-/ Minorantenkriterium.

Das Majoranten-/Minorantenkriterium

Für eine Reihe $\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\Big)$ mit $a_{n}\in\mathbb{C}$ gelten folgende Konvergenzaussagen:

• Gibt es eine reelle Folge $(b_{n})$ mit $|a_{n}|\leq b_{n}$ für alle $n\geq n_{0}$ und konvergiert die Reihe $\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_{n}\Big)$, so konvergiert auch die Reihe $\smash[t]{\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\Big)}$.

• Sind alle $a_{n}$ reell und gibt es eine divergente Reihe $\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_{n}\Big)$ mit $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ für alle $n\geq n_{0}$, so divergiert auch die Reihe $\smash[t]{\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\Big)}$.

Weitere Beispiele für Vergleichskriterien sind das Verdichtungskriterium und das Grenzwertkriterium.

1.4 Alternierende Reihen konvergieren schon, wenn die Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden

Eine Reihe mit reellen Gliedern, bei denen das Vorzeichen jeweils wechselt, nennt man eine alternierende Reihe. Für solche Reihen gibt es ein besonderes Kriterium.

Leibniz-Kriterium

Ist die Folge $(a_{n})$ eine reelle positive, monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe

$$\displaystyle\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,a_{n}\right).$$

1.5 Absolute Konvergenz

Konvergiert bei einer Reihe auch die Reihe über die Beträge der Glieder, so nennt man die Reihe absolut konvergent. Ist eine Reihe absolut konvergent, so ist sie auch konvergent.

1.6 Bei absolut konvergenten Reihen sind beliebige Umordnungen der Reihenglieder erlaubt

Anders als bei Summen ist bei konvergenten Reihen die Reihenfolge der Glieder entscheidend für den Wert der Reihe. Bei absolut konvergenten Reihen kann die Reihenfolge jedoch beliebig abgeändert werden, ohne dass sich der Reihenwert ändert. Diese Eigenschaft verwendet das Cauchy-Produkt.

Konvergenz des Cauchy-Produkts

Sind die Reihen $\Big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\Big)$ und $\Big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\Big)$ absolut konvergent, dann konvergiert auch ihr Cauchy-Produkt absolut, und für die Grenzwerte gilt

$$\displaystyle\left[\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\right]\cdot\left[\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\,b_{n-k}.$$

Es gibt auch Konvergenzkriterien, die die absolute Konvergenz einer Reihe garantieren.

Wurzelkriterium

Wenn der Grenzwert

$$\displaystyle\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}$$

existiert und kleiner als eins ist, so ist die Reihe $\smash{\Big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\Big)}$ absolut konvergent.

Ist $\rho$ größer als eins, so divergiert die Reihe.

Im Fall $\rho=1$ kann mit diesem Kriterium keine Aussage getroffen werden.

Quotientenkriterium

Wenn der Grenzwert

$$\displaystyle\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$$

existiert und kleiner als eins ist, so ist die Reihe $\smash{\Big(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\Big)}$ absolut konvergent.

Ist $\rho$ größer als eins, so divergiert die Reihe. Im Fall $\rho=1$ kann mit diesem Kriterium keine Aussage getroffen werden.

Noch allgemeinere Fassungen dieser Kriterien wurden ebenfalls besprochen.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

8.1

•• Ist es möglich, eine divergente Reihe der Form

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,a_{n}$$

zu konstruieren, wobei alle $a_{n}> 0$ sind und $a_{n}\to 0$ gilt. Beispiel oder Gegenbeweis angeben.

8.2

• Gegeben ist eine Folge $(a_{n})$ mit Gliedern $a_{n}\in\{0,1,2,\ldots,9\}$. Zeigen Sie, dass die Reihe

$$\displaystyle\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}\right)$$

konvergiert.

8.3

•• Beweisen Sie das Nullfolgenkriterium: Wenn eine Reihe $\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\right)$ konvergiert, dann gilt $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=0$.

8.4

•• Zeigen Sie, dass die Reihe

$$\displaystyle\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right)$$

zwar konvergiert, ihr Cauchy-Produkt mit sich selbst allerdings divergiert. Warum ist das möglich?

8.5

••• Zeigen Sie, dass jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe auch wieder konvergiert.

2.2 Rechenaufgaben

8.6

• Sind die folgenden Reihen konvergent?

• (a) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+n^{2}}\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^{n}}{n^{3}}\right)$

• (c) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]\right)$

8.7

• Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und berechnen Sie ihren Wert:

• (a) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{3+4\mathrm{i}}{6}\right)^{n}\right)$

8.8

•• Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen absolut konvergieren:

• (a) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right)$

• (c) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dbinom{4n}{3n}^{-1}\right)$

8.9

• Untersuchen Sie die Reihe

$$\displaystyle\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n+3)}{n!}\right)$$

auf Konvergenz.

8.10

•• Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen divergieren, konvergieren oder sogar absolut konvergieren:

• (a) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dbinom{2n}{n}2^{-3n-1}\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n\cdot(\sqrt{n}+1)}{n^{2}+5n-1}\right)$

• (c) $\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{\sin\sqrt{n}}{n^{5/2}}\right)$

8.11

•• Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren. Konvergieren sie auch absolut?

• (a) $\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\dfrac{k+2\sqrt{k}}{k^{2}+4k+3}\right)$

• (b) $\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\dfrac{(-1)^{k}}{k+3}-\dfrac{\cos(k\pi)}{k+2}\right]\right)$

8.12

•• Bestimmen Sie die Menge $M$ aller $x\in I$, für die die Reihen

• (a) $\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\sin 2x)^{n}\Big)$, $I=(-\pi,\pi)$,

• (b) $\Big(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(x^{2}-4)^{n}\Big)$, $I=\mathbb{R}$,

• (c) $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^{x}+1}{n^{3}+n^{2}+n+1}\right)$, $I=\mathbb{Q}_{> 0}$

konvergieren.

2.3 Anwendungsprobleme

8.13

• Wir betrachten ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge $a$. Nun wird ein neues Dreieck konstruiert, dessen Seiten genauso lang sind, wie die Höhen des ursprünglichen Dreiecks. Dieser Vorgang wird iterativ wiederholt.

Bestimmen Sie den Gesamtumfang und den gesamten Flächeninhalt all dieser Dreiecke.

8.14

• Eine Aufgabe für die Weihnachtszeit: Eine Gruppe von Freunden möchte eine Weihnachtsfeier veranstalten. Dafür werden 5 Liter Glühwein gekauft. Die 0.2-Liter-Becher stehen bereit, und es wird rundenweise getrunken. Die Freunde sind aber vorsichtig, daher trinken sie nur bei der 1. Runde einen ganzen Becher, in der 2. Runde nur noch einen halben, danach einen viertel Becher, usw.

Wie groß muss die Gruppe mindestens sein, damit alle 5 Liter Glühwein verbraucht werden? Wie viele Runden müssen bei dieser minimalen Zahl von Freunden getrunken werden?

8.15

•• Unter einer Koch’schen Schneeflocke versteht man eine Menge, die von einer Kurve eingeschlossen wird, die durch den folgenden iterativen Prozess entsteht: Ausgehend von einem gleichseitigen Dreieck der Kantenlänge $1$ wird jede Kante durch den in Abb. 8.15 gezeigten Streckenzug ersetzt. Die Abb. 8.16 zeigt die ersten drei Iterationen der Kurve.

Abb. 8.15

In jedem Iterationsschritt wird eine Kante durch den roten Streckenzug ersetzt

Bestimmen Sie den Umfang und den Flächeninhalt der Koch’schen Schneeflocke.

Abb. 8.16

Die ersten drei Iterationen bei der Konstruktion der Koch’schen Schneeflocke

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Da

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+3n+2}{2n^{2}-n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{2}\neq 0$$

ist, bilden die Glieder der Reihe keine Nullfolge. Die Reihe ist demnach divergent.

Antwort 2

• 1. Für $n=1$ ist

  $$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{1}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)=b_{1}-b_{2}$$

  trivial erfüllt. Der Schluss $n\to n+1$ ergibt unmittelbar

  $$\begin{aligned}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)&\displaystyle=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)+b_{n+1}-b_{n+2}\\ \displaystyle&\displaystyle\hskip-4.267913pt\overset{\mathrm{Ann.}}{=}b_{1}-b_{n+1}+b_{n+1}-b_{n+2}=b_{1}-b_{n+2},\end{aligned}$$

  damit ist die Behauptung bewiesen.

• 2. Für jede konvergente Folge ist

  $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n+1}=\lim_{n\to\infty}b_{n}.$$

  Eine Indexverschiebung ändert nichts am Konvergenzverhalten einer Folge.

Antwort 3

Für die Abschätzung der Differenzen $s_{2N+2}-s_{2N}$ und $s_{2N+1}-s_{2N-1}$ wird von der Monotonie der Folge $(a_{n})$ Gebrauch gemacht.

Antwort 4

Diese Eigenschaft hat nur die Nullreihe $\Big(\sum\limits_{k=1}^{\infty}0\Big)$, deren Glieder alle verschwinden. Das Cauchy-Produkt dieser Reihe mit jeder anderen ergibt wieder die Nullreihe, und diese konvergiert selbstverständlich.

Antwort 5

Das Musterbeispiel einer bedingt konvergenten Reihe ist die alternierende harmonische Reihe

$$\displaystyle\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\right).$$

Wir erhalten

$$\begin{aligned}\displaystyle\sqrt[n]{|a_{n}|}&\displaystyle=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\to 1\\ \displaystyle\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}&\displaystyle=\frac{n}{n+1}\to 1.\end{aligned}$$

Beide Kriterien liefern wie erwartet keine Aussage, da die Reihe zwar konvergiert, aber nicht absolut.