Elementare Funktionen – Bausteine der Analysis

Zusammenfassung

Die Mathematik findet ihre Anwendung, wenn natürliche Phänomene theoretisch erfasst und ergründet werden sollen. Wir bilden abstrakte Modelle von Teilaspekten der Wirklichkeit, letztendlich um natürliche oder technische Gegebenheiten besser zu verstehen oder am Rechner zu simulieren. Dabei werden die Abhängigkeiten von verschiedenen Größen durch Abbildungen bzw. Funktionen beschrieben. Neben den Zahlen sind somit die Funktionen zentrale Objekte, mit denen sich Mathematik beschäftigt.

Eine bestimmte Klasse von Funktionen steht dabei am Anfang, nämlich die aus der Schule geläufigen Abbildungen von reellen Zahlen auf reelle Zahlen. Genauer sprechen wir von reellwertigen Funktionen einer Veränderlichen. Bevor wir uns aber einen analytischen Zugang zu diesen Objekten im zweiten Teil verschaffen, ist es sinnvoll einige Archetypen von Funktionen vorab herauszugreifen, die uns später ständig begegnen werden. Eine solide Routine im Umgang mit Polynomen, Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen ist unerlässlich für die weitere Entdeckungsreise in die Mathematik.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Reellwertige Funktionen einer Veränderlichen

Naturwissenschaftliche und technische Phänomene werden durch mathematische Modelle beschrieben. Die dabei auftretenden funktionalen Zusammenhänge sind durch Abbildungen bzw. Funktionen gegeben.

1.2 Funktionen sind Abbildungen

Grundlegend sind die reellwertigen Funktionen in einer Veränderlichen.

Definition reellwertiger Funktionen einer Veränderlichen

Eine reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen ist eine Vorschrift $f$, die jeder Zahl $x\in D\subseteq\mathbb{R}$ genau eine Zahl $f(x)\in\mathbb{R}$ zuordnet.

1.3 Transformationen führen auf verwandte Funktionen

Anhand der Graphen lässt sich das Verhalten der Funktionen anschaulich erfassen. Mit elementaren Verknüpfungen, wie Addition, Multiplikation oder Verkettung, lassen sich aus Funktionen weitere Funktionen konstruieren.

1.4 Polynome

Definition von Polynomen

Eine Funktion $p:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ heißt Polynom, wenn es eine explizite Darstellung der Funktion durch

$$\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n}$$

mit reellen Zahlen $a_{0},a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}$ gibt.

1.5 Polynome lassen sich um beliebige Stellen entwickeln

Da Polynome aus einer Linearkombination von ganzzahligen Potenzen bestehen, lassen sich die Ausdrücke mit elementaren algebraischen Rechnungen nach Bedarf umformen.

1.6 Gleichungen lösen bedeutet Nullstellen bestimmen

Aber nur bei niedrigem Grad lassen sich die Nullstellen eines Polynoms explizit ausrechnen und Linearfaktoren bestimmen.

Linearfaktoren eines Polynoms

Wenn $\hat{x}$ Nullstelle eines Polynoms $p$ vom Grad $n$ ist, dann gibt es ein Polynom $q$ vom Grad $n-1$, sodass

$$\displaystyle p(x)=(x-\hat{x})\,q(x)$$

gilt.

1.7 Polynome vom Grad $n$ besitzen höchstens $n$ Nullstellen

Um Nullstellen eines Polynoms anzugeben, sind Wurzeln zu ziehen. Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion zum Quadrieren.

1.8 Die Exponentialfunktion

Zwei Eigenschaften

$$\displaystyle\exp(x+y)=\exp(x)\,\exp(y)\quad\text{und}\quad 1+x\leq\exp(x).$$

legen die Exponentialfunktion fest.

Die e-Funktion

Die oben definierte Exponentialfunktion $\exp:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ lässt sich darstellen durch

$$\displaystyle\exp(x)=\mathrm{e}^{x}.$$

Die Basis, die Zahl $\mathrm{e}=\exp(1)$, heißt Euler’sche Zahl.

Die Exponentialfunktion ist monoton steigend und lässt sich nutzen, um exponentielles Wachstum zu beschreiben.

1.9 Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Logarithmus

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, d. h., es gilt

$$\displaystyle\mathrm{e}^{\ln x}=x,\ \text{f{\"u}r}\ x> 0,\quad\text{und}\quad\ln(\mathrm{e}^{x})=x\ \text{f{\"u}r}\ x\in\mathbb{R}.$$

Mit der Exponentialfunktion und dem Logarithmus ist die allgemeine Potenzrechnung definiert durch

$$\displaystyle a^{x}=\mathrm{e}^{x\ln a}$$

zu beliebigen Basen $a\in\mathbb{R}_{> 0}$ und Exponenten $x\in\mathbb{R}$.

1.10 Trigonometrische Funktionen

Eine weitere in den Anwendungen wichtige Klasse sind die trigonometrischen Funktionen. Sie dienen zur Beschreibung von Schwingungsphänomenen.

1.11 Kosinus und Sinus, die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Die Kosinus- und die Sinusfunktion sind $2\pi$-periodisch. Der Kosinus ist eine gerade Funktion, und der Sinus ist ungerade. Die Zusammenhänge von linearen Transformationen und Kombinationen dieser Funktionen sind durch die Additionstheoreme gegeben.

1.12 Arkus – Vorsilbe für Umkehrfunktionen in der Trigonometrie

Bei den Umkehrungen der periodischen Funktionen ist auf die Definitions- und Wertebereiche genau zu achten.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

4.1

• Bestimmen Sie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt:

$$\displaystyle\begin{array}[]{l|r|r|r|r}x&-2&-1&0&1\\ \hline p(x)&-3&-1&-1&3\\ \end{array}$$

4.2

•• Jede Nullstelle $\hat{x}$ eines Polynoms $p$ mit

$$\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n}\quad(a_{n}\neq 0)$$

lässt sich abschätzen durch

$$\displaystyle|\hat{x}|<\frac{|a_{0}|+|a_{1}|+\ldots+|a_{n}|}{|a_{n}|}\,.$$

Zeigen Sie diese Aussage, indem Sie die Fälle $|\hat{x}|<1$ und $|\hat{x}|\geq 1$ getrennt betrachten.

4.3

•• Verwenden Sie die charakterisierende Ungleichung (4.4) zur Exponentialfunktion, um zu entscheiden, welche von den beiden Zahlen $\pi^{\mathrm{e}}$ oder $\mathrm{e}^{\pi}$ die größere ist .

4.4

• Begründen Sie die Monotonie der Logarithmusfunktion, das heißt, es gilt

$$\displaystyle\ln x<\ln y\quad\text{f{\"u}r }0<x<y\,.$$

4.5

•• Zeigen Sie, dass $\log_{2}3$ irrational ist.

2.2 Rechenaufgaben

4.6

• Entwickeln Sie das Polynom $p$ um die angegebene Stelle $x_{0}$, das heißt, finden Sie die Koeffizienten $a_{j}$ zur Darstellung $p(x)=\sum_{j=0}^{n}a_{j}(x-x_{0})^{j}$,

• (a) mit $p(x)=x^{3}-x^{2}-4x+2$ und $x_{0}=1$,

• (b) mit $p(x)=x^{4}+6x^{3}+10x^{2}$ und $x_{0}=-2$.

4.7

• Zerlegen Sie die Polynome $p,q,r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ in Linearfaktoren:

$$\begin{aligned}\displaystyle p(x)&\displaystyle=x^{3}-2x-1\\ \displaystyle q(x)&\displaystyle=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+11x-6\\ \displaystyle r(x)&\displaystyle=x^{4}-6x^{2}+7\end{aligned}$$

4.8

••• Betrachten Sie die beiden rationalen Funktionen $f:D_{f}\to\mathbb{R}$ und $g:D_{g}\to\mathbb{R}$, die durch

$$\begin{aligned}\displaystyle f(x)&\displaystyle=\frac{x^{3}+x^{2}-2x}{x^{2}-1}\,,\\ \displaystyle g(x)&\displaystyle=\frac{x^{2}+x+1}{x+2}\end{aligned}$$

definiert sind. Geben Sie die maximalen Definitionsbereiche $D_{f}\subseteq\mathbb{R}$ und $D_{g}\subseteq\mathbb{R}$ an und bestimmen Sie die Bildmengen $f(D_{f})$ und $g(D_{g})$. Auf welchen Intervallen lassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben?

4.9

• Berechnen Sie folgende Zahlen ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners:

$$\displaystyle\sqrt{\mathrm{e}^{3\ln 4}}\,,\quad\frac{1}{2}\log_{2}(4\,\mathrm{e}^{2})-\frac{1}{\ln 2}\,,\quad\frac{\sqrt[x]{\mathrm{e}^{(2+x)^{2}-4}}}{\mathrm{e}^{x}}$$

mit $x> 0$.

4.10

• Vereinfachen Sie für $x,y,z> 0$ die Ausdrücke:

• (a) $\ln(2x)+\ln(2y)-\ln z-\ln 4$

• (b) $\ln(x^{2}-y^{2})-\ln(2(x-y))$ für $x> y$

• (c) $\ln(x^{\frac{2}{3}})-\ln(\sqrt[3]{x^{-4}})$

4.11

•• Der Tangens hyperbolicus ist gegeben durch

$$\displaystyle\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\,. $$

• Verifizieren Sie die Identität

  $$\displaystyle\tanh\frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1}\,.$$

• Begründen Sie, dass für das Bild der Funktion gilt

  $$\displaystyle\tanh(\mathbb{R})\subseteq(-1,1)\,.$$

• Zeigen Sie, dass durch

  $$\displaystyle\text{artanh}\,x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\,.$$

  die Umkehrfunktion artanh$:(-1,1)\to\mathbb{R}$, der Areatangens hyperbolicus Funktion gegeben ist.

4.12

•• Bei einer der beiden Identitäten

$$\displaystyle\sin(x + y)\sin^{2}\biggl(\frac{x-y}{2}\biggr)=\frac{1}{2}\sin(x + y)-\frac{1}{4}\sin(2x)-\frac{1}{4}\sin(2y)$$

und

$$\displaystyle\cos(3(x+y))=4\cos^{3}(x+y)-3\cos x\cos y-3\sin x\sin y$$

hat sich ein Druckfehler eingeschlichen. Finden Sie heraus bei welcher, und korrigieren Sie die falsche Gleichung.

4.13

•• Zeigen Sie die Identitäten

$$\displaystyle\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^{2}}$$

und

$$\displaystyle\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,.$$

2.3 Anwendungsprobleme

4.14

• Skizzieren Sie grob ohne einen grafikfähigen Rechner die Graphen der folgenden Funktionen:

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle f_{1}(x)&\displaystyle=(x+1)^{2}-2\,,&\displaystyle f_{2}(x)&\displaystyle=\sqrt{2x+1}\\ \displaystyle f_{3}(x)&\displaystyle=3\,|2x-1|\,,&\displaystyle f_{4}(x)&\displaystyle=\mathrm{e}^{x-1}-1\\ \displaystyle f_{5}(x)&\displaystyle=2\sin(3x-\pi)\,,&\displaystyle f_{6}(x)&\displaystyle=1/(\ln(2x))\end{aligned}$$

4.15

•• Die Lichtempfindlichkeit von Filmen wird nach der Norm ISO 5800 angegeben. Dabei ist zum einen die lineare Skala ASA (American Standards Association) vorgesehen, bei der eine Verdoppelung der Empfindlichkeit auch eine Verdoppelung des Werts bedeutet. Zum anderen gibt es die logarithmische DIN-Norm, bei der eine Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit durch eine Zunahme des Werts um $3$ Einheiten gegeben ist. So finden sich auf Filmen Angaben wie $100/21$ oder $200/24$ für die ASA und DIN Werte zur Lichtempfindlichkeit. Finden Sie eine Funktion $f:\mathbb{R}_{> 0}\to\mathbb{R}$ mit $f(1)=1$, die den funktionalen Zusammenhang des ASA Werts $a$ zum DIN Wert $f(a)$ (gerundet auf ganze Zahlen) beschreibt.

4.16

• Wenn sich zwei Schwingungen mit gleicher Amplitude und relativ ähnlichen Frequenzen überlagern, spricht man in der Akustik von einer Schwebung.

• Zeichnen Sie den Graphen einer Schwebung $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit

  $$\displaystyle f(t)=\sin(2\pi\omega_{1}t)+\sin(2\pi\omega_{2}t)$$

  und $\omega_{1}=1.9$, $\omega_{2}=2.1$ im Intervall $[-20,20]$ mithilfe eines grafikfähigen Rechners.

• Verwenden Sie Additionstheoreme, um die sich einstellende sogenannte mittlere Frequenz der Überlagerungsschwingung zu ermitteln. Die Amplitude dieser Schwingung variiert mit der sogenannten Schwebungsfrequenz. Geben Sie auch diesen Wert an und tragen Sie die zu dieser Frequenz gehörende Wellenlänge am Graphen ab.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Das rechte Bild stellt keinen Graphen einer Funktion da, da sich einigen $x$-Werten zwei oder drei $y$-Werte zuordnen lassen.

Antwort 2

Mit $g(x)=\sqrt[3]{2}(x-2)$ und der Komposition $h=f\circ g$ wird die gewünschte Änderung erreicht. Es handelt sich insgesamt um eine Translation um 2 Einheiten nach Rechts und eine Streckung des Graphen um den Faktor $2$.

Antwort 3

Wenn $p=\sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}$ und $q=\sum_{j=0}^{n}b_{j}x^{j}$ denselben Grad haben und für die $n$-ten Koeffizienten $a_{n}=-b_{n}$ gilt. Denn dann hat $(p+q)(x)=\sum_{j=0}^{n-1}(a_{j}+b_{j})x^{j}$ maximal den Grad $n-1$.

Antwort 4

Der Grad ergibt sich aus der Summe der höchsten Potenzen zu $(2\cdot 3)+3=9$.

Antwort 5

Es gilt

$$\displaystyle\log_{2}(6)-\log_{2}(3)=\log_{2}\left(\frac{6}{3}\right)=\log_{2}(2)=1.$$

Antwort 6

Der gerade Anteil ist der Kosinus hyperbolicus $\cosh=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})$ und der ungerade Anteil ist der Sinus hyperbolicus $\sinh=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x})$.

Antwort 7

Die Gleichung folgt mit $x=y$ aus dem ersten Additionstheorem.