Rechentechniken – die Werkzeuge der Mathematik

Zusammenfassung

Wenn man seine ersten Kontakte mit der Mathematik macht, geht es einem darum, Dinge auszurechnen. Je weiter man sich mit dem Gebiet beschäftigt, desto stärker rückt der Aspekt des konkreten Rechnens in den Hintergrund und desto mehr geht es um Ansätze und allgemeine Strukturen. Der naive Glaube, mit einem Taschenrechner oder zumindest Computeralgebrasystem könne man alle mathematischen Probleme lösen, erweist sich als gravierender Irrtum.

Doch so fortgeschritten die Techniken auch sein mögen, die man im Lauf der Zeit erlernt, sie müssen doch auf einem soliden Fundament stehen. Nur dann kann man sie wirklich einsetzen. Dabei geht es vielleicht nicht so sehr um die Grundrechenarten und ihre Anwendung auf natürliche oder reelle Zahlen – das nimmt einem wirklich meist der Taschenrechner ab.

Solide Kenntnisse des Bruchrechnens, der Wurzeln und Potenzen, des Lösens von Gleichungen und Ungleichungen sind hingegen unabdingbar als Grundlage für fast alles, was später kommt. Noch so ausgefeilte Computeralgebrasysteme können das Beherrschen grundlegender Rechenfertigkeiten nicht ersetzen.

Derartige Dinge werden wir in diesem Kapitel ausführlich wiederholen, dabei aber auch gleich einige Bezeichnungsweisen einführen, die uns den Rest dieses Buches begleiten werden. Wenn das alles zur Verfügung steht, werden wir als Krönung dieses Kapitels eine Beweistechnik kennenlernen, die viele als die mächtigste der gesamten Mathematik ansehen – die vollständige Induktion.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Terme, Brüche und Potenzen

Umformen von Termen ist die Grundlage für das Beherrschen aller weiterführenden mathematischen Disziplinen. Dabei muss man insbesondere auf Vorzeichen achten. Eine entscheidende elementare Rechentechnik ist das Bruchrechnen.

Bruchrechnen

Die wichtigsten Rechenregeln für Brüche sind:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}&\displaystyle=\frac{a\,c}{b\,d}\\ \displaystyle\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a/b}{c/d}&\displaystyle=\frac{a\,d}{b\,c}\\ \displaystyle\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}&\displaystyle=\frac{a\,d\pm b\,c}{b\,d}\end{aligned}$$

Potenzen erlauben das knappe Hinschreiben umfangreicher Ausdrücke, auch Wurzeln lassen sich als Potenzen darstellen,

$$\displaystyle a^{p/q}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^{p}.$$

Rechnen mit Potenzen

Für $a> 0$, $b> 0$ und $x,\,y\in\mathbb{R}$ gilt:

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}&\displaystyle=a^{x+y}&\displaystyle\frac{a^{x}}{a^{y}}&\displaystyle=a^{x-y}\\ \displaystyle a^{-x}&\displaystyle=\frac{1}{a^{x}}&\displaystyle\left(a^{x}\right)^{y}&\displaystyle=a^{x\,y}\\ \displaystyle a^{x}\cdot b^{x}&\displaystyle=(ab)^{x}&\displaystyle a^{0}&\displaystyle=1\end{aligned}$$

Insbesondere gilt damit, dass der Kehrwert der Potenz $-1$ entspricht.

1.2 Gleichungen und Ungleichungen

Das wichtigste Werkzeug zum Lösen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen. Das sind Umformungen, die in beide Richtungen definiert und eindeutig sind.

1.3 Lösen einer Gleichung heißt umformen, sodass die Lösungsmenge direkt ablesbar ist

Für quadratische Gleichungen gibt es ausgefeilte Lösungsmethoden. Diese beruhen auf dem Ergänzen zu vollständigen Quadraten,

$$\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}.$$

Zum Lösen von Gleichungssystemen gibt es verschiedene Methoden, etwa Eliminations-, Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren.

1.4 Ungleichungen lassen sich oft ähnlich wie Gleichungen behandeln, es gibt aber auch gravierende Unterschiede

Ungleichungen

Bei Multiplikationen mit einem negativen Ausdruck ändert sich die Richtung der Ungleichung, „es dreht sich das Ungleichheitszeichen um“.

Manche Ungleichungen kann man durch Umschreiben auf vollständige Quadrate zeigen.

1.5 Von Betrag und Abschätzungen

Rechenregeln für den Betrag

Für den Betrag von Zahlen gilt:

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle|x|&\displaystyle=|-x|\geq 0&\displaystyle\left|x^{n}\right|&\displaystyle=|x|^{n}\\ \displaystyle|x|&\displaystyle=0\;\Leftrightarrow\;x=0&\displaystyle\\ \displaystyle|x\,y|&\displaystyle=|x|\cdot|y|&\displaystyle\smash[t]{\left|\frac{x}{y}\right|}&\displaystyle=\smash[t]{\frac{|x|}{|y|}}\quad(y\neq 0)\end{aligned}$$

Eine der wichtigsten Ungleichungen der Mathematik ist die Dreiecksungleichung.

Dreiecksungleichung

Für beliebige $x$ und $y$ gelten die Dreiecksungleichung und die erweiterte Dreiecksungleichung:

$$\begin{aligned}\displaystyle|x+y|&\displaystyle\leq|x|+|y|\\ \displaystyle\big||x|-|y|\big|&\displaystyle\leq|x-y|\end{aligned}$$

Um Gleichungen mit Beträgen oder Ungleichungen aufzulösen, benötigt man meist Fallunterscheidungen.

1.6 Sinnvolles Abschätzen von Ausdrücken ist eine wesentliche Grundfertigkeit

So wird zum Beispiel ein Bruch zweier positiver Ausdrücke größer, wenn man den Zähler vergrößert oder den Nenner verkleinert.

1.7 Summen und Produkte

Eine wichtige Aufgabe der natürlichen Zahlen ist das Zählen und Indizieren. Indizes dürfen verschoben und umbenannt werden. Summen dürfen aufgespalten und vereinigt werden.

1.8 Für bestimmte Summen und Produkte lassen sich bequeme Formeln angeben

Arithmetische Summenformel

$$\displaystyle\smash[b]{\sum_{k=1}^{n}k}=\smash[b]{\frac{n\,(n+1)}{2}}.$$

Geometrische Summenformel

Für $q\neq 1$ gilt:

$$\displaystyle\smash[b]{\sum_{k=0}^{n}q^{k}}=\smash[b]{\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$$

Die Fakultät ist ein spezielles Produkt:

$$\displaystyle n!=\prod_{k=1}^{n}k=n\,(n-1)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1\quad\text{f{\"u}r}\ n\in\mathbb{N}.$$

Zusätzlich setzt man $0!=1$. Damit gilt die Gleichung

$$\displaystyle(n+1)!=(n+1)\cdot n!$$

für alle $n\in\mathbb{N}$.

1.9 Binomialkoeffizienten ergeben sich beim Ausmultiplizieren von Binomen

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient

$$\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$

gesprochen „$n$ über $k$“ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge von $n$ Objekten genau $k$ auszuwählen.

Binomische Formel

Für die Potenzen eines Binoms $(a+b)$ gilt:

$$\displaystyle(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\;a^{n-k}\;b^{k}$$

(3.15)

Zwischen verschiedenen Binomialkoeffizienten bestehen teilweise tief liegende Zusammenhänge, etwa die Formel

$$\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}.$$

1.10 Die vollständige Induktion

Vollständige Induktion arbeitet damit, die Aussage $A(n)$ für ein allgemeines $n$ als richtig anzunehmen. Die vollständige Induktion besteht immer aus Induktionsanfang und Induktionsschritt.

Beweis durch vollständige Induktion

Wir betrachten die Aussagen $A(n)$ mit $n\in\mathbb{N}$.

Wenn aus der Annahme, $A(n)$ sei für ein beliebiges $n$ wahr, folgt, dass $A(n+1)$ wahr ist, und wenn zudem $A(1)$ eine wahre Aussage ist, so gilt $A(n)$ für alle $n\in\mathbb{N}$.

1.11 Wichtige Beziehungen der Analysis lassen sich mittels vollständiger Induktion beweisen

Bernoulli-Ungleichung

Für $n\in\mathbb{N}_{0}$ und $a\geq-1$ gilt die Bernoulli-Ungleichung:

$$\displaystyle(1+a)^{n}\geq 1+n\,a$$

Fordert man zusätzlich $a\neq 0$ und $n\geq 2$, so gilt die Ungleichung strikt,

$$\displaystyle(1+a)^{n}> 1+na.$$

Bonusmaterial

Auf der Website werden wir die Grundrechenarten genauer diskutieren. Als Anwendung von Zehnerpotenzen stellen wir die Planck-Einheiten vor.

Desweiteren diskutieren wir den Unterschied zwischen Gleichungen und Identitäten sowie die Bedeutung der Zeichen $\approx$, $\ll$ und $\gg$. Als einfache Anwendung von Gleichungen behandeln wir Bewegungs- und Mischungsaufgaben.

Zudem gehen wir der Frage nach, wie man mittels vollständiger Induktion Aussagen beweist, die von mehreren natürlichen Zahlen abhängen.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

3.1

• Welche Probleme hat das folgende Vorgehen zur Lösung der Gleichung $x^{3}-2x^{2}+x=0$?

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle x^{3}-2x^{2}+x&\displaystyle=0&\displaystyle&\displaystyle\big|/x\\ \displaystyle x^{2}-2x+1&\displaystyle=0\\ \displaystyle(x-1)^{2}&\displaystyle=0&\displaystyle&\displaystyle\big|\sqrt{\ldots}\\ \displaystyle x-1&\displaystyle=0\\ \displaystyle x&\displaystyle=1\end{aligned}$$

3.2

• Können Angaben von Werten über 100% sinnvoll sein?

3.3

• Warum werden leere Summen gleich null, leere Produkte aber gleich eins gesetzt?

3.4

• Bestimmen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von eins bis tausend.

3.5

• Scheitert der Beweis von „$2n+1$ ist für alle $n\geq 100$ eine gerade Zahl“ am Induktionsanfang, am Induktionsschritt oder an beidem?

3.6

• Die Zahlen $a_{k}$ mit $k\in\mathbb{N}$ seien beliebig aus $\mathbb{R}$. Eine Summe der Form

$$\displaystyle T_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)$$

nennt man eine Teleskopsumme. Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für den Wert einer solchen Summe und beweisen Sie sie mit Indexverschiebungen sowie mittels vollständiger Induktion.

3.7

•• Finden Sie zusätzlich zu den bereits im Text angegebenen Beispielen eine Aussage, die für alle $n\in\mathbb{N}$ falsch ist, für die sich der Induktionsschritt aber trotzdem durchführen lässt.

3.8

•• Beweisen oder widerlegen Sie:

$$\displaystyle p_{n}=n^{2}-n+41$$

ist für alle $n\in\mathbb{N}$ eine Primzahl.

3.9

•• Seltener als mit dem Binomialkoeffizienten hat man es mit seiner Verallgemeinerung, dem Multinomialkoeffizienten zu tun. Dieser ist definiert als

$$\displaystyle\binom{n}{\{k_{1},\,\ldots,\,k_{m}\}}=\frac{n!}{k_{1}!\,k_{2}!\ldots k_{m}!}$$

mit Zahlen $k_{i}\in\mathbb{N}_{0}$, die zusätzlich die Bedingung

$$\displaystyle k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{m}=n$$

erfüllen. Im Fall $m=2$ reduziert sich das mit $k_{1}=k$ und $k_{2}=n-k$ auf den bekannten Binomialkoeffizienten. „Echte“ Multinomialkoeffizienten treten dann auf, wenn man ein Multinom, also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{m})^{n}\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad=\sum_{k_{1}+\ldots+k_{m}=n}\binom{n}{\{k_{1},\,\ldots,\,k_{m}\}}\,a_{1}^{k_{1}}\,a_{2}^{k_{2}}\,\ldots\,a_{m}^{k_{m}}\end{aligned}$$

Bestimmen Sie die Multinomialkoeffizienten für $n=2$ und $m=3$ und ermitteln Sie damit ohne Ausmultiplizieren den Ausdruck $(a+b+c)^{2}$.

3.10

••• Beweisen Sie die allgemeine binomische Formel

$$\displaystyle(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{k}\,b^{n-k}$$

für $n\in\mathbb{N}_{0}$ mittels vollständiger Induktion.

3.11

••• Finden Sie den Fehler im folgenden „Beweis“ dafür, dass der Mars bewohnt ist:

Satz: Wenn in einer Menge von $n$ Planeten einer bewohnt ist, dann sind alle bewohnt.

Beweis mittels vollständiger Induktion:

$n=1$: trivial

$n\to n+1$: Laut Annahme sind von einer Menge von $n$ Planeten alle bewohnt, sobald nur einer bewohnt ist. Nun betrachten wir eine Menge von $n+1$ Planeten (die wir willkürlich mit $p_{1}$ bis $p_{n+1}$ bezeichnen). Von diesen schließen wir vorläufig einen aus unsere Betrachtungen aus, z. B. $p_{n+1}$. Wenn von der übriggebliebenen Menge von $n$ Planeten nur einer bewohnt ist, sind laut Annahme alle bewohnt. Nun schließen wir von den $n$ bewohnten Planeten einen aus, z. B. $p_{1}$, und nehmen $p_{n+1}$ wieder hinzu. Wir erhalten wieder eine Menge von $n$ Planeten, die bis auf $p_{n+1}$ alle bewohnt sind. Auf jeden Fall ist einer bewohnt, demnach alle, also ist auch $p_{n+1}$ bewohnt.

Korollar: Der Mars ist bewohnt.

Beweis: Betrachten Sie die $n$ Planeten des Sonnensystems. Je nach aktueller Meinung zum Status des Pluto ist $n=8$ oder $n=9$, doch auf jeden Fall ist $n$ endlich. Die Erde ist bewohnt, damit sind alle Planeten des Sonnensystems bewohnt – auch der Mars.

3.12

• Neben den auf S. 89 erwähnten logischen Verknüpfungen & und | gibt es auch die Varianten && und ||. Bei einer Verknüpfung a&&b bzw. a||b wird die Bedingung b gar nicht überprüft, wenn das Ergebnis durch den Wert von a bereits festgelegt ist (shortcut operators).

Wann ist das der Fall? Welche Vorteile hat das?

3.13

•• Im Beispiel-Code für die Funktion check_pos auf S. 89 wird das Argument zuerst mit isnumeric darauf überprüft, ob es sich um einen numerischen Wert handelt. Danach erfolgt mit isreal die Überprüfung, ob es sich um eine reelle Zahl handelt. Das sieht auf den ersten Blick redundant aus, ist es aber nicht.

Finden Sie ein Argument x, für das isreal(x) den Wert true liefert, obwohl es sich bei x dem Anschein nach nicht einmal um eine Zahl handelt. Welche Erklärung haben Sie für dieses Verhalten?

3.2 Rechenaufgaben

3.14

• Ein müder Floh springt zuerst einen Meter, dann nur mehr einen halben, dann gar nur mehr einen viertel Meter, kurz bei jedem Sprung schafft er nur mehr die Hälfte der vorangegangenen Distanz. Wie weit ist er nach sieben Sprüngen gekommen?

3.15

• Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich. Dabei ist $x\in\mathbb{R}_{> 0}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle A_{1}&\displaystyle=\left|5-|2-3|\right|\\ \displaystyle A_{2}&\displaystyle=\frac{x^{2}-1}{x+1}\\ \displaystyle A_{3}&\displaystyle=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{\left|(x+1)^{2}\right|}\\ \displaystyle A_{4}&\displaystyle=4^{(3^{2})}-\left(4^{3}\right)^{2}\\ \displaystyle A_{5}&\displaystyle=\frac{9+x+x^{2}+5x}{|{-3}|+\left(\sqrt{x}\right)^{2}}\end{aligned}$$

3.16

•• Bestimmen Sie alle $x\in\mathbb{R}$, für die gilt:

$$\displaystyle\big|x^{2}-4\big|-\big|x+2\big|\,\big(x^{2}+x-6\big)> 0$$

3.17

• Zeigen Sie dass (sofern in den folgenden Ausdrücken die Nenner nicht verschwinden) stets gilt:

$$\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\rightarrow\quad\frac{a}{a\pm b}=\frac{c}{c\pm d}\,.$$

Diese Regel ist als korrespondierende Addition bekannt. Versuchen Sie, eine analoge Regel auch für Ungleichungen (unter der Voraussetzung $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$) zu finden.

3.18

• Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen $n$:

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1)=n\,(n+2)$$

3.19

• Beweisen Sie für $n\in\mathbb{N}_{\geq 2}$:

$$\displaystyle\prod_{k=2}^{n}(k-1)=(n-1)!$$

3.20

•• Bestimmen Sie alle $x\in\mathbb{R}$, die die Ungleichung

$$\displaystyle\frac{|x-2|\cdot(x+2)}{x}<|x|$$

erfüllen.

3.21

•• Beweisen Sie die Pascal’sche Formel (3.11),

$$\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$$

durch Aufspalten der Binomialkoeffizienten in Fakultäten.

3.22

•• Beweisen Sie für alle $n\in\mathbb{N}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k}&\displaystyle=2+2^{n+1}\cdot(n-1)\\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\,k^{2}&\displaystyle=(-1)^{n+1}\,\frac{n\,(n+1)}{2}\end{aligned}$$

3.23

•• Beweisen Sie mittels Induktion für alle natürlichen $n$:

• $n^{3}+5n$ ist durch $6$ teilbar

• $11^{n+1}+12^{2n-1}$ ist durch $133$ teilbar

• $3^{(2^{n})}-1$ ist durch $2^{n+2}$ teilbar

3.24

•• $x\in\mathbb{R}$ sei eine feste Zahl, und es sei $p_{1}(x)=1+x$. Nun definieren wir für $n\in\mathbb{N}$:

$$\displaystyle p_{n+1}(x)=(1+x^{(2^{n})})\cdot p_{n}(x)$$

Finden Sie einen expliziten Ausdruck für $p_{n}(x)$ und beweisen Sie dessen Gültigkeit mittels vollständiger Induktion.

3.25

•• Beweisen Sie mittels Induktion für alle natürlichen Zahlen $n$:

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}$$

3.26

•• Betrachten Sie eine Menge von reellen Zahlen $x_{k}$, wobei entweder alle $x_{k}\in(-1,0)$ oder alle $x_{k}> 0$ sind. Beweisen Sie für diese die verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung

$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+x_{k})\geq 1+\sum_{k=1}^{n}x_{k}$$

mittels vollständiger Induktion.

3.27

•• Beweisen Sie für alle $n\in\mathbb{N}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}&\displaystyle=2^{n}\\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\,\binom{n}{k}&\displaystyle=0\end{aligned}$$

3.28

••

• 1. Zeigen Sie, dass für beliebige positive Zahlen $x$ und $y$ stets die Ungleichung

  $$\displaystyle\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$$

  gilt.

• 2. Die Zahlen $a_{k}$ mit $k\in\mathbb{N}$ seien alle positiv. Zeigen Sie, dass stets

  $$\displaystyle\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}}\right)\geq n^{2}$$

  gilt.

3.29

••• Beweisen Sie für alle $n\in\mathbb{N}_{\geq 2}$:

$$\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{2}{k\,(k+1)}\right)=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n}\right)$$

3.30

••• Man zeige für $n\in\mathbb{N}$:

$$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(n+k)\,(n-k)=\frac{n\,(n+1)\,(4n-1)}{6}$$

3.3 Anwendungsprobleme

3.31

• Zehn Katzen fangen in zehn Minuten zehn Mäuse. Wie viele Mäuse fangen hundert Katzen in hundert Minuten?

3.32

• Ein Erfinder stellt drei Maßnahmen vor, die jeweils den Energieverbrauch eines Motors reduzieren sollen. Die erste verringert den Verbrauch um $20\%$, die zweite um $30\%$ und die dritte gar um $50\%$. Kann der Verbrauch des Motors mit allen drei auf null reduziert werden? Wenn nein, auf wie viel dann?

3.33

• Wieder taucht der Erfinder aus der vorherigen Aufgabe auf, diesmal mit einer Vorrichtung, die den Stromverbrauch von Glühlampen um $250\%$ reduzieren soll. Was kann das bedeuten?

3.34

• Drei Firmen haben anfangs den gleichen Jahresumsatz. Der Umsatz von $A$ bleibt in den darauffolgenden Jahren gleich. Der Umsatz von $B$ nimmt zuerst um $50\%$ zu und dann um $50\%$ ab. Bei $C$ hingegen nimmt der Umsatz zuerst um $50\%$ ab, dann um $50\%$ zu. Vergleichen Sie den Jahresumsatz der Firmen am Ende dieser Entwicklung.

3.35

• Für zwei in Serie geschaltete Widerstände $R_{1}$ und $R_{2}$ gilt

$$\displaystyle R_{\mathrm{ges}}=R_{1}+R_{2},$$

bei Parallelschaltung erhält man

$$\displaystyle\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}.$$

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für eine beliebige Zahl $n$ von Widerständen bei serieller Schaltung

$$\displaystyle R_{\mathrm{ges}}=\sum_{k=1}^{n}R_{k},$$

und bei Parallelschaltung

$$\displaystyle\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{k}}$$

gilt.

3.36

•• Ein Schwimmbecken kann mit drei Pumpen $A$, $B$ und $C$ gefüllt werden. $A$ benötigt allein $2400$ Minuten, $B$ allein $1500$ und $C$ allein $4000$ Minuten. Wie lange benötigen alle drei Pumpen zusammen?

3.37

•• Betrachten Sie den inelastischen Stoß auf S. 67 und bestimmen Sie die Menge an kinetischer Energie, die bei diesem Prozess in andere Energieformen umgewandelt wird.

3.38

• Lösen Sie die folgenden wichtigen Formeln aus Physik und Technik jeweils nach allen vorkommenden Größen auf:

• (a) Für den zurückgelegten Weg $s$ einer Bewegung bei gleichmäßiger Beschleunigung $a$ gilt nach der Zeit $t$:

  $$\displaystyle s=\frac{1}{2}a\,t^{2}\,.$$

• (b) Das Aktionsprinzip der Newton’schen Mechanik gibt zwischen der Kraft $F$, die auf einen Körper der Masse $m$ wirkt, und der Beschleunigung, die dieser Körper erfährt, den Zusammenhang

  $$\displaystyle F=m\,a$$

  an.

• (c) Das Newton’sche Gravitationsgesetz ergibt für die Kraft $F$ zwischen zwei Punktmassen $m_{1}$ und $m_{2}$ im Abstand $r$

  $$\displaystyle F=G\,\frac{m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}\,,$$

  wobei $G$ die Gravitationskonstante ist.

• (d) Nach dem dritten Kepler’schen Gesetz verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten $t_{1}$, $t_{2}$ zweier Planeten wie die Kuben der großen Halbachsen $a_{1}$, $a_{2}$ ihrer Umlaufbahnen,

  $$\displaystyle\frac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}\,.$$

• (e) Die Gesamtenergie $W$ eines harmonisch schwingenden Körpers der Masse $m$, der mit einer Feder der Federkonstante $k$ eingespannt ist, beträgt

  $$\displaystyle W=\frac{m}{2}\,v^{2}+\frac{k}{2}\,x^{2}\,,$$

  wobei $x$ die Position und $v$ die Geschwindigkeit des Körpers bezeichnet.

• (f) Brennweite $f$, Gegenstandweite $g$ und Bildweite $b$ einer Linse sind durch die Gleichung

  $$\displaystyle\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}\,.$$

  verknüpft.

• (g) Beim senkrechten Einfall eines Lichtstrahls auf die Grenzschicht zwischen zwei Medien mit Brechzahlen $n_{1}$ und $n_{2}$ gilt für das Reflexionsvermögen $R$

  $$\displaystyle R=\left(\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right)^{2}\,.$$

• (h) Für den Wirkungsgrad $\eta$ eines Carnot-Prozesses, der zwischen den beiden Temperaturniveaus $T_{1}$ und $T_{2}$ mit $T_{1}> T_{2}> 0$ läuft, gilt

  $$\displaystyle\eta=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}\,.$$

• (i) Zwischen Widerstand $R$, Stromstärke $I$ und Spannung $U$ besteht in einem Leiter der Zusammenhang

  $$\displaystyle U=R\cdot I\,.$$

• (j) Die Masse $m$ eines Körpers der Ruhemasse $m_{0}$, der sich mit Geschwindigkeit $v$ bewegt, ist nach der speziellen Relativitätstheorie

  $$\displaystyle m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\,,$$

  wobei $c$ die konstante Vakuumlichtgeschwindigkeit bezeichnet.

• (k) Springt das Elektron des Wasserstoffatoms von einem Orbital der Hauptquantenzahl $m\in\mathbb{N}$ in eines mit Hauptquantenzahl $n\in\mathbb{N}$, $n<m$ zurück, so gilt für die Energie $W$ des emittierten Photons

  $$\displaystyle W=R\,\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\right)\,,$$

  wobei $R$ die Rydberg-Konstante bezeichnet.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Die erste und die vierte Umformung sind richtig.

Antwort 2

Nur die dritte Variante ist richtig.

Antwort 3

$D$ wird sicher größer, wenn man $a$ vergrößert, denn das vergrößert zuerst den Bruch $a/b$, und dieser wiederum ist der Zähler von $D$. Vergrößert man hingegen $b$, so verkleinert das den Zähler von $D$ und damit auch $D$ selbst. Unter dem Hauptbruchstrich sieht die Sache hingegen ganz anders aus: Vergößert man $c$, so vergrößert das den Nenner von $D$ und verkleinert damit $D$ selbst. Vergößern von $d$ verkleinert $c/d$, also den Nenner von $D$, und $D$ selbst wird größer.

Antwort 4

Beide Ausdrücke sind gleichwertig. Es gilt

$$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}.$$

Antwort 5

Wir wählen $n\in\mathbb{N}$ sowie $m\in\mathbb{N}$ und erhalten mit unseren bisherigen Ergebnissen

$$\begin{aligned}\displaystyle\left(a^{-n}\right)^{-m}&\displaystyle=\left(\frac{1}{a^{n}}\right)^{-m}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{\left(\frac{1}{a^{n}}\right)^{m}}=\frac{1}{\frac{1}{a^{n\,m}}}\\ \displaystyle&\displaystyle=a^{n\,m}=a^{(-n)\,(-m)}.\end{aligned}$$

Antwort 6

Nur 1 und 3 sind richtig.

Antwort 7

Bis zur Zeile $x-1=(x+1)\cdot(x-1)$ stimmt die erste Rechnung. Setzt man hier $x=1$ an, so erkennt man, dass diese Gleichung $0=2\cdot 0$ lautet, und die unerlaubte Division durch $x-1=0$ liefert eine falsche Aussage.

Bei der zweiten Rechnung lautet die Zeile $(x-\frac{9}{2})^{2}=(y-\frac{9}{2})^{2}$ mit den Werten $x=4$ und $y=5$ richtigerweise $(-\frac{1}{2})^{2}=(\frac{1}{2})^{2}$. Zieht man hier allerdings naiv die Wurzel, ohne zu bedenken, dass ja $\sqrt{x^{2}}=|x|$ ist, erhält man eine falsche Aussage.

Antwort 8

Man interpretiert $M_{2}$ als unendlich groß und setzt $v_{2}=0$. Es ist dann $w_{1}=-v_{1}$ – die Reflexion an der Wand.

Antwort 9

Wir erhalten $\pi^{2}\approx 9.869\,6$, damit sind die erste und die zweite Ungleichung wahr, die beiden anderen nicht.

Antwort 10

Wir erhalten

$$\displaystyle A=a_{2}\,a_{3}-\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)=3\cdot 5-(2+3+5)=5.$$

Antwort 11

$$\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$$

Antwort 12

Die Fakultät $n!$ gibt die Zahl der Möglichkeiten an, die $n$ Binome in eine Reihenfolge zu bringen. Wählen wir nun jeweils aus den ersten $k$ das $b$, so nehmen wir damit gleichzeitig aus $(n-k)$ das $a$.

In beiden Fällen spielt die Reihefolge keine Rolle, und man muss sowohl durch alle Anordnungsmöglichkeiten von $k$ als auch durch alle von $(n-k)$ Elementen dividieren.