Partielle Differenzialgleichungen – Modelle von Feldern und Wellen

Zusammenfassung

Die Bedeutung von Differenzialgleichungen in Naturwissenschaft und Technik ist schon in den Kap. 13 und 28 angeklungen. Selbstverständlich sind in vielen Modellen aber nicht nur Funktionen einer unabhängigen Variablen zu betrachten. Entsprechend müssen im Allgemeinen partielle Ableitungen berücksichtigt werden. Differenzialgleichungen, bei denen partielle Ableitungen in Relation zueinander gestellt werden, nennt man partielle Differenzialgleichungen.

Es stellt sich heraus, dass viele grundlegende Theorien wie etwa die Elektrodynamik oder die Elastizitätstheorie durch partielle Differenzialgleichungen formuliert werden. Wir sind somit an einer entscheidenden Nahtstelle zwischen Mathematik und ihren Anwendungen angekommen. Leicht stößt man auf noch offene Fragen bei diesen Modellen. So bilden die partiellen Differenzialgleichungen ein aktuelles Forschungsfeld, in dem sich stärker als in anderen Bereichen Mathematik und Anwendungen verzahnen. Auch wenn wir hier die Vielschichtigkeit der mathematischen Aspekte nicht darstellen können, versuchen wir in die Welt der partiellen Differenzialgleichungen einzutauchen und eine Orientierung zu geben.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Die höchste Ableitung bestimmt die Ordnung einer partiellen Differenzialgleichung

Eine partielle Differenzialgleichung wird dargestellt durch eine Gleichung der Form

$$\displaystyle\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{x},u(\boldsymbol{x}),\frac{\partial u(\boldsymbol{x})}{\partial x_{1}}\,,\dots\,,\,\frac{\partial^{k}u(\boldsymbol{x})}{\partial x_{n}^{k}}\right)=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}).$$

Dabei nennt man den Grad der höchsten auftretenden Ableitung der unbekannten Funktion $u$, also $k$, die Ordnung. Ist die Funktion $\boldsymbol{F}$ linear in allen Argumenten außer ggf. dem ersten, so spricht man von einer linearen partiellen Differenzialgleichung.

1.2 Potenzial-, Wellen- und Diffusionsgleichung sind wichtige Beispiele für partielle Differenzialgleichungen

Bestimmte Formen von partiellen Differenzialgleichungen treten in den Anwendungen besonders häufig auf, da sie zentrale physikalische Phänomene beschreiben. Dazu gehören die Potenzial-, die Wellen- und die Diffusionsgleichung (oder Wärmeleitungsgleichung). Alle drei Differenzialgleichung haben die Ordnung zwei.

Anhand ihres Hauptteils werden partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in Klassen eingeteilt, die sich durch die Art der zu stellenden Rand- oder Anfangswerte, aber auch durch die verwendeten Lösungsverfahren, stark unterscheiden.

Elliptisch, parabolisch und hyperbolisch

Eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung in einem Gebiet $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt

• elliptisch, wenn die Matrizen $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})$ für alle $\boldsymbol{x}\in D$ ausschließlich positive oder nur negative Eigenwerte haben, d. h., wenn $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})$ für alle $\boldsymbol{x}\in D$ positiv bzw. negativ definit ist.

• parabolisch, wenn die Null einfacher Eigenwert ist und alle anderen Eigenwerte entweder alle positiv oder alle negativ sind.

• hyperbolisch, wenn genau ein negativer einfacher Eigenwert vorliegt und alle weiteren positiv sind oder umgekehrt.

1.3 Anfangs- und Randbedingungen sind wichtige Restriktionen an eine Lösung

Partielle Differenzialgleichungen haben im Allgemeinen viele Lösungen. Die Eindeutigkeit der Lösung wird durch Anfangs- oder Randbedingungen sichergestellt. Dabei kommen für parabolische und hyperbolische Probleme normalerweise Anfangs- oder Anfangsrandwerte in Betracht, für elliptische Probleme Randbedingungen.

Besitzt ein Problem für eine partielle Differenzialgleichung genau ein Lösung und hängt diese stetig von den Daten ab, so nennt man das Problem gut gestellt. Analog spricht man von einem schlecht gestellten Problem, wenn eine dieser Bedingungen verletzt ist.

1.4 Durch Separation lassen sich einige Anfangsrandwertprobleme lösen

Bei einem Separationsansatz sucht man die Lösung eines Anfangs-/Randwertproblems als Produkt von Funktionen, die jeweils nur von einer der Unbekannten abhängen. Dadurch gewinnt man spezielle Lösungen, aus denen sich häufig allgemeine Lösung durch Reihenbildung gewinnen lassen.

Die Methode von d’Alembert basiert auf einer Variante dieses Ansatzes, bei dem zuerst eine Variablensubstitution durchgeführt wird.

D’Alembert’sche Lösung der Wellengleichung in einer Raumdimension

Ist $f\in C^{2}(\mathbb{R})$ und $g\in C^{1}(\mathbb{R})$. Dann besitzt das Anfangswertproblem

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-a^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}&\displaystyle=0&\displaystyle&\displaystyle\text{in }\mathbb{R}\times(0,\infty)\,,\\ \displaystyle u(x,0)&\displaystyle=f(x)&\displaystyle&\displaystyle\text{f{\"u}r }x\in\mathbb{R}\,,\\ \displaystyle\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}&\displaystyle=g(x)&\displaystyle&\displaystyle\text{f{\"u}r }x\in\mathbb{R}\,,\end{aligned}$$

genau eine Lösung. Diese ist gegeben durch

$$\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{2}(f(x+at)+f(x-at))+\frac{1}{2a}\int\limits_{x-at}^{x+at}g(z)\,\mathrm{d}z\,.$$

1.5 Auf Kreisflächen hilft eine Separation in Polarkoordinaten

Bei Separationsansätzen nutzt man oft spezielle Geometrien der betrachteten Gebiete aus. Auf Kreisflächen separiert man in Polarkoordinaten, auf Kugeln in Kugelkoordinaten. Es müssen dann Darstellungen der Differenzialoperatoren in den entsprechenden Koordinaten verwendet werden, wie sie in Kap. 27 hergeleitet wurden.

1.6 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung

Eine quasilineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung hat die Form

$$\displaystyle\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},u(\boldsymbol{x}))\cdot\nabla u(\boldsymbol{x})+b(\boldsymbol{x},u(\boldsymbol{x}))=0.$$

Ihr charakteristisches System ist das System gewöhnlicher Differenzialgleichungen

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{k}^{\prime}(s)&\displaystyle=\boldsymbol{a}\bigl(\boldsymbol{k}(s),w(s)\bigr),\\ \displaystyle w^{\prime}(s)&\displaystyle=-b\bigl(\boldsymbol{k}(s),w(s)\bigr).\end{aligned}$$

Die Lösungen dieses Systems sind spezielle Raumkurven, die Charakteristiken, aus denen die Lösung zusammengesetzt werden kann. Indem man die Charakteristiken bestimmt, die die Anfangskurve schneiden, erhält man eine Parametrisierung der Lösungsfläche.

1.7 Potenzialtheorie

In der Potenzialtheorie geht es um die Lösung der Laplace- oder Poisson-Gleichungen. Lösungen der Laplace-Gleichung nennt man harmonische Funktionen. Mithilfe der Grundlösung $\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ lassen sich zweimal stetig differenzierbare Funktionen durch Integrale darstellen.

Darstellungssatz für zweimal stetig differenzierbare Funktionen

Ist $D$ eine offene zusammenhängende Menge $D$, die die Anwendung der Green’schen Sätze erlaubt, und ist $u\in C^{2}(\overline{D})$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt die Darstellung

$$\begin{aligned}\displaystyle u(\boldsymbol{x})&\displaystyle=\int\limits_{\partial D}\left[\frac{\partial u(\boldsymbol{y})}{\partial\nu}\,\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})-u(\boldsymbol{y})\,\frac{\partial\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}{\partial\nu_{\boldsymbol{y}}}\right]\mathrm{d}\sigma_{\boldsymbol{y}}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad-\int_{D}\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\,\Delta u(\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\boldsymbol{y}\end{aligned}$$

für $\boldsymbol{x}\in D$. Dabei bezeichnet $\nu\in\mathbb{R}^{3}$ den nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor am Rand $\partial D$ des Gebiets. Das Differenzial $\mathrm{d}\sigma_{\boldsymbol{y}}$ deutet an, dass eine Oberflächenintegration bezüglich der Variablen $\boldsymbol{y}$ gemeint ist.

Addiert man zur Grundlösung eine harmonische Funktion, sodass vorgegebene Randbedingungen für ein Gebiet erfüllt sind, spricht man von einer Green’schen Funktion. Mit der Green’schen Funktion für die Kugel mit Mittelpunkt $\boldsymbol{x}$ und Radius $R$, auf deren Rand die Dirichlet’sche Randbedingung erfüllt ist, erhält man die Poisson-Formel

$$\displaystyle u(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2\pi R}\int\limits_{\|\boldsymbol{y}\|=R}\frac{R^{2}-\|\boldsymbol{x}\|^{2}}{\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|^{2}}\,f(\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}\sigma_{\boldsymbol{y}}$$

für die Lösung $u$ der Laplace-Gleichung und vorgegebene Randwerte $f$ auf dem Rand der Kugel.

1.8 Es gibt genau eine Lösung des Dirichlet-Problems

Harmonische Funktionen haben viele nützliche mathematische Eigenschaften. Zum Beispiel gilt die Mittelwerteigenschaft und das Maximumsprinzip. Aus dem Maximumsprinzip folgt wiederum, dass ein Randwertproblem für die Laplace-Gleichung mit vorgegebenen Dirichlet’schen Randwerten höchstens eine Lösung besitzt.

1.9 Die Methode der finiten Elemente

Die Methode der finiten Elemente ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische partielle Differenzialgleichungen. In Kombination mit anderen Ansätzen findet sie allerdings auch bei parabolischen und hyperbolischen Problemen Anwendung. Als Modell wird das Neumann’sche Randwertproblem

$$\displaystyle\Delta u-u=f\quad\text{in }D,\quad\frac{\partial u}{\partial\nu}=0\quad\text{auf }\partial D$$

betrachtet. Unter Verwendung des Sobolev-Raums $H^{1}(D)$ kann man zu diesem Problem eine Variationsformulierung angeben.

Variationsformulierung des Randwertproblems

Zu $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und einer quadratintegrierbaren Funktion $f\in L^{2}(D)$ ist eine Funktion $u\in H^{1}(D)$ gesucht mit

$$\displaystyle\int_{D}\nabla u\cdot\nabla v+uv\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=-\int_{D}fv\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$$

für alle $v\in H^{1}(D)$.

Mit dem Galerkin-Verfahren approximiert man Lösungen von Variationsgleichungen: Statt des gesamten Funktionenraums $H^{1}(D)$ schränkt man sich auf einen endlichdimensionalen Unterraum ein und löst die Variationsgleichung dort. Solche Unterräume kann man zum Beispiel dadurch gewinnen, dass das Gebiet durch eine reguläre Triangulierung unterteilt wird. Ein möglicher Unterraum ist der Raum der Spline-Funktionen, die auf jedem Teilgebiet der Triangulierung linear sind.

1.10 Die Matrix des linearen Gleichungssystems ist dünn besetzt

Mit den Knoten der Triangulierung werden Hutfunktionen assoziiert, die in jeweils einem Knoten den Wert $1$ haben und in allen anderen Knoten verschwinden. Nutzt man diese Hutfunktionen als Basis, so lässt sich die Variationsgleichung als lineares Gleichungssystem formulieren. Die Matrix dieses Systems ist dünn besetzt, d. h., in jeder Zeile sind nur wenige Einträge von null verschieden.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

2.1 Verständnisfragen

29.1

• Geben Sie den Typ folgender partieller Differenzialgleichungen an:

• (a) $y\,u_{xx}+u_{yy}=0$

• (b) $u_{xx}+4\,u_{yy}+9\,u_{zz}-4u_{xy}+3u_{x}=u$

• (c) $(x^{2}-1)u_{xx}+(y^{2}-1)u_{yy}=xu_{x}+yu_{y}$

29.2

•• Zeigen Sie, dass für eine Lösung $u:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ der Laplace-Gleichung $\Delta u=0$ und eine orthogonale Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ auch $v(\boldsymbol{x})=u(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})$ eine Lösung der Laplace-Gleichung ist.

29.3

• Welche Lösungen $u\in C^{2}(D)\cap C^{1}(\overline{D})$ besitzt das Neumann-Problem

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle\Delta u&\displaystyle=0&\displaystyle&\displaystyle\text{in }D,\\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial\nu}&\displaystyle=0&\displaystyle&\displaystyle\text{auf }\partial D.\end{aligned}$$

Hierbei ist $D$ eine beschränkte, offene Menge, in der der Gauß’sche Satz angewandt werden darf.

29.4

•• Es sei eine Funktion $u:\mathbb{R}^{n}\times(0,\infty)\to\mathbb{R}$ gegeben, die die Diffusionsgleichung

$$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=0$$

löst und mindestens dreimal stetig differenzierbar ist. Zeigen Sie, dass die Funktion $v:\mathbb{R}^{n}\times(0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit

$$\displaystyle v(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{x}\cdot\nabla u(\boldsymbol{x},t)+2t\frac{\partial u}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)$$

auch eine Lösung der Diffusionsgleichung ist,

• (a) durch direktes Nachrechnen,

• (b) indem Sie verwenden, dass mit $u$ auch die Funktion $w:\mathbb{R}^{n}\times(0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $w(\boldsymbol{x},t;\mu)=u(\mu\boldsymbol{x},\mu^{2}t)$ bei festem Parameter $\mu\in\mathbb{R}$ Lösung der Diffusionsgleichung ist.

2.2 Rechenaufgaben

29.5

•• Es sind Parameter zu bestimmen, sodass gewisse Funktionen Lösungen der angegebenen partiellen Differenzialgleichungen sind.

• (a) Bestimmen Sie eine Zahl $a\in\mathbb{R}$, sodass die Funktion mit $u(\boldsymbol{x},t)=\exp(-\|\boldsymbol{x}\|^{2}/(2t))/t$ Lösung der Diffusionsgleichung

  $$\displaystyle a\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=0$$

  für $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2}$ und $t> 0$ ist.

• (b) Gegeben ist $\boldsymbol{d}\in\mathbb{R}^{3}\backslash\{0\}$. Für welche Vektoren $\boldsymbol{p}\in\mathbb{R}^{3}$ ist das Vektorfeld $\boldsymbol{E}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ mit

  $$\displaystyle\boldsymbol{E}(x)=\boldsymbol{p}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{x}}$$

  Lösung der zeitharmonischen Maxwellgleichungen

  $$\displaystyle\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{E}-\mathrm{i}\,\|d\|\,\boldsymbol{H}=0,\quad\text{und}\quad\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{H}+\mathrm{i}\,\|d\|\,\boldsymbol{E}=0?$$

29.6

•• Lösen Sie die Laplace-Gleichung

$$\displaystyle\Delta u(x,y)=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=0$$

mit den Randbedingungen

$$\displaystyle u_{y}(x,0)=0,\quad u(x,1)=\sin(3\pi x)\cosh(3\pi)-2\sin(\pi x)$$

für $x\in[0,1]$ sowie $u(0,y)=u(1,y)=0$ für $y\in[0,1]$ mithilfe eines Separationsansatzes.

29.7

•• Ermitteln Sie mit einem Separationsansatz die Lösung $u:[0,\pi]\times\mathbb{R}_{> 0}\rightarrow\mathbb{R}$ des Problems

$$\displaystyle u_{xx}(x,t)+4u_{t}(x,t)-3u(x,t)=0$$

mit Anfangswert $u(x,0)=\sin^{3}x$ für $x\in[0,\pi]$ und Randwerten $u(0,t)=u(\pi,t)=0$.

29.8

••  Separationsansätze für die Helmholtz-Gleichung.

• (a) Zeigen Sie, dass die Wellengleichung $u_{tt}=\Delta u$ mit $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{2},\;t\in\mathbb{R}$ mithilfe des Separationsansatzes $u(\boldsymbol{x},t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kt}\,U(\boldsymbol{x})$ auf die Helmholtz-Gleichung $\Delta U+k^{2}U=0$ führt.

• (b) Finden Sie Lösungen zur Helmholtz-Gleichung

  $$\displaystyle\Delta u+k^{2}u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}+k^{2}u=0$$

  mit den Randbedingungen

  $$\displaystyle u(x_{1},0)=u(x_{1},b)=u(0,x_{2})=u(a,x_{2})=0$$

  für $0<a,b\in\mathbb{R}$, indem Sie $k^{2}=k_{x_{1}}^{2}+k_{x_{2}}^{2}$ setzen und einen Separationsansatz benutzen.

29.9

• Rechnen Sie nach, dass in Polarkoordinaten $(r,\varphi)$ durch

$$\displaystyle u(\boldsymbol{x})=f_{n}(kr)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\varphi},\quad\boldsymbol{x}=r\begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi\end{pmatrix},n\in\mathbb{Z}$$

eine Lösung der Helmholtz-Gleichung gegeben ist, wobei $f_{n}$ eine Lösung der Bessel’schen Differenzialgleichung

$$\displaystyle t^{2}f_{n}^{\prime\prime}(t)+tf_{n}^{\prime}(t)+(t^{2}-n^{2})f_{n}(t)=0,\quad t> 0,$$

ist. Mehr zu dieser Differenzialgleichung findet sich in Kap. 34.

29.10

•• Gegeben ist das Anfangswertproblem

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle x\,u_{x}+y\,u_{y}+(x^{2}+y^{2})\,u&\displaystyle=0,&\displaystyle x,y&\displaystyle> 0,\\ \displaystyle u(x,-x^{2})&\displaystyle=\mathrm{e}^{-x^{2}/2},&\displaystyle x&\displaystyle> 0.\end{aligned}$$

Finden Sie die Lösung $u=u(x,y)$ mit dem Charakteristikenverfahren.

29.11

•• Bestimmen Sie die Lösung $u$ des Anfangswertproblems

$$\displaystyle xu_{x}(x,y)+\frac{x}{yu(x,y)}u_{y}(x,y)+u(x,y)=0,\quad x,y> 0$$

und

$$\displaystyle u(t^{2},t)=1,\quad t> 0.$$

2.3 Anwendungsprobleme

29.12

•• Gegeben ist eine Lösung $u$ des Anfangswertproblems für die Wellengleichung

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=0,&\displaystyle&\displaystyle x\in\mathbb{R},\;t> 0,\\ \displaystyle&\displaystyle u(x,0)=g(x),&\displaystyle&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x).\end{aligned}$$

Dabei soll $g\in C^{2}(\mathbb{R})$, $h\in C^{1}(\mathbb{R})$ gelten und beide Funktionen sollen außerhalb eines kompakten Intervalls verschwinden. Wir definieren die potenzielle Energie der Welle durch

$$\displaystyle E_{p}(t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\right)^{2}\mathrm{d}x,\quad t\in\mathbb{R},$$

und die kinetische Energie durch

$$\displaystyle E_{k}(t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)\right)^{2}\mathrm{d}x,\quad t\in\mathbb{R}.$$

Zeigen Sie die Energieerhaltung

$$\displaystyle E_{p}(t)+E_{k}(t)=\mathrm{konst.},\quad t\in\mathbb{R},$$

und

$$\displaystyle\lim_{t\to\infty}E_{p}(t)=\lim_{t\to\infty}E_{k}(t).$$

29.13

••• Wir betrachten den Verkehr auf einer Straße. Mit $\rho(x,t)$ bezeichnen wir die Anzahl der Fahrzeuge pro Längeneinheit am Ort $x$ und zur Zeit $t$, also die Fahrzeugdichte. Mit $q(x,t)$ bezeichnen wir die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, die den Ort $x$ zum Zeitpunkt $t$ passieren.

• (a) Zeigen Sie die Erhaltungsgleichung

  $$\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}(x,t)+\frac{\partial q}{\partial x}(x,t)=0,\quad x\in\mathbb{R},\;t> 0.$$

• (b) Die Geschwindigkeit der Fahrzeuge am Ort $x$ und zum Zeitpunkt $t$ modellieren wir als

  $$\displaystyle v(x,t)=c\left(1-\frac{\rho(x,t)}{\rho_{0}}\right),$$

  wobei $c$ die Maximalgeschwindigkeit ist und $\rho_{0}$ die maximale Fahrzeugdichte bezeichnet, bei der der Verkehr zum Erliegen kommt. Zeigen Sie, dass die Funktion

  $$\displaystyle u(x,t)=v(x,t)-c\,\frac{\rho(x,t)}{\rho_{0}}=c\left(1-\frac{2\rho(x,t)}{\rho_{0}}\right)$$

  eine Lösung der Burger-Gleichung

  $$\displaystyle u_{t}+uu_{x}=0$$

  ist.

• (c) Finden Sie mit dem Charakteristikenverfahren Gebiete, in denen Sie die Lösung der Burger-Gleichung für die Anfangsbedingung

  $$\displaystyle u(x,0)=\begin{cases}1,&x\leq 0,\\ 1-x,&0<x<1,\\ 0,&1\leq x,\end{cases}$$

  und $0<t<1$ angeben können. Welches Verhalten zeigt sich für $t=1$? Interpretieren Sie die Lösung für die Anwendung der Verkehrssimulation.

29.14

•• Die Poisson-Gleichung

$$\displaystyle-\Delta u=f$$

mit Dirichlet’scher Randbedingung soll auf dem Quadrat $Q=[0,1]\times[0,1]$ durch die Methode der finiten Elemente approximativ gelöst werden. Die Variationsformulierung für dieses Problem lautet

$$\displaystyle\int_{Q}\nabla u(\boldsymbol{x})\cdot\nabla v(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\int_{Q}f(\boldsymbol{x})\,v(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$$

für alle $v\in H^{1}(Q)$ mit $v=0$ auf $\partial Q$.

Es soll ein Gitter aus Quadraten der Kantenlänge $1/N$, $N\in \mathbb{N}$, verwendet werden. Als Ansatzfunktionen sollen Funktionen eingesetzt werden, die auf jedem Quadrat des Gitters bezüglich beider Argumente linear sind.

Stellen Sie Formeln für die Einträge der Steifigkeitsmatrix auf. Geben Sie dazu Formfunktionen auf einem Referenzquadrat an. Welche Dimension hat die Steifigkeitsmatrix? Wie viele Einträge sind in einer Zeile maximal von null verschieden?

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Die Symmetrie lässt sich mit dem Satz von Schwarz (siehe S. 880) erreichen, in dem man gegebenenfalls die Koeffizienten $a_{ij}$ und $a_{ji}$ durch

$$\displaystyle\tilde{a}_{ij}=\tilde{a}_{ji}=\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}$$

ersetzt; denn es gilt die Identität

$$\begin{aligned}\displaystyle a_{ij}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}+a_{ji}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{2}\partial x_{1}}&\displaystyle=(a_{ij}+a_{ji})\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}+\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{2}\partial x_{1}}\,.\end{aligned}$$

Antwort 2

Name	Typ	Ordnung
Transportgleichung	linear	1.
Laplace-Gleichung	linear	2.
Poisson-Gleichung	linear	2.
Helmholtz-Gleichung	linear	2.
Wellengleichung	linear	2.
Diffusionsgleichung	linear	2.
Schrödinger-Gleichung	linear	2.
Hamilton-Jacobi-Gleichung	nichtlinear	1.
Airy-Gleichung	linear	3.
Korteweg-de-Vries-Gleichung	nichtlinear	3.
Lamé-Gleichungen	linear	2.
Maxwell-Gleichungen	linear	1.
Navier-Stokes-Gleichungen	nichtlinear	2.

Antwort 3

Mit der Kettenregel berechnen wir

$$\begin{aligned}\displaystyle w^{\prime}(s)&\displaystyle=\nabla u(\boldsymbol{k}(s))\cdot\dot{k}(s)\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}\frac{1}{1+s^{2}}\\ -\frac{s}{(1+s^{2})^{2}}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\ 2s\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{1+s^{2}}-\frac{2s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}\,.\end{aligned}$$

Antwort 4

Ausgeschrieben ist

$$\displaystyle\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\frac{1}{4\pi}\left((x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}\right)^{-1/2}.$$

Damit ist

$$\displaystyle\mathrm{grad}_{\boldsymbol{x}}\,\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\frac{1}{4\pi}\,\frac{\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^{3}}$$

und

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\Delta_{\boldsymbol{x}}\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\mathrm{div}_{\boldsymbol{x}}\,\mathrm{grad}_{\boldsymbol{x}}\Phi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{4\pi}\biggl({-}\frac{3}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^{3}}+3\frac{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^{5}}\biggr)\\ \displaystyle&\displaystyle=0.\end{aligned}$$

Antwort 5

Es gilt

$$\displaystyle\left\|\frac{R^{2}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}\boldsymbol{x}\right\|=\frac{R^{2}\|\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}=\frac{R}{\|\boldsymbol{x}\|}R\leq R$$

für $\|\boldsymbol{x}\|\leq R$.

Antwort 6

In der linken Triangulierung ist ein Knoten nicht für alle angrenzenden Dreiecke eine Ecke. Daher ist diese Triangulierung nicht regulär. Rechts sind alle Bedingungen erfüllt, die Triangulierung ist regulär.

Antwort 7

Angenommen es gibt Koeffizienten $\alpha_{j}$ mit der Eigenschaft

$$\displaystyle 0=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\varphi_{k}(\boldsymbol{x})$$

für alle $\boldsymbol{x}\in D$. Setzen wir einen Knoten $\boldsymbol{x}_{j}$ ein, so folgt aus der Interpolationsbedingung $\alpha_{j}=0$. Also sind die Funktionen linear unabhängig.