Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln

Zusammenfassung

Die Vektoranalysis ist ein Gebiet, das für naturwissenschaftliche und technische Anwendungen von immenser Bedeutung ist. Erfreulicherweise sind die zentralen Begriffe, mit denen wir es in diesem Kapitel zu tun haben werden, Skalar- und Vektorfelder, keineswegs neu. Im Prinzip haben wir sie, noch dazu in größerer Allgemeinheit, bereits mit den Abbildungen $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ vollständig abgehandelt.

Dennoch lohnt es sich, hier noch einmal genauer hinzusehen und die Folgerungen zu untersuchen, die sich ergeben, wenn man die Vektorrechnung mit der Analysis, vor allem Differenzial- und Integralrechnung verknüpft.

Einerseits werden wir verschiedene Differenzialoperatoren definieren, die speziell auf Skalar- und Vektorfelder zugeschnitten sind. Andererseits können wir solche Felder auch integrieren. Die Integrationsbereiche sind hier zumeist Kurven und Flächen – und wir werden unsere Kenntnisse aus Kap. 26 gut gebrauchen können.

Die Anwendungen sind insbesondere in Strömungsmechanik und Elektrodynamik offensichtlich, und wir werden auch immer wieder Beispiele und Veranschaulichungen aus diesen Bereichen benutzen. Doch generell taucht die Vektoranalysis in verschiedensten Bereichen naturwissenschaftlich-technischer Anwendungen auf.

Appendices

Zusammenfassung

1.1 Skalar- und Vektorfelder

Der Feldbegriff fügt sich nahtlos in unsere Betrachtungen zu Funktionen $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ ein. Für $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ werden Skalarfelder als Funktionen $D\to\mathbb{R}$, Vektorfelder als Funktion $D\to\mathbb{R}^{n}$ aufgefasst.

1.2 Differenzialoperatoren

Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs an. Der Gradient $\mathop{\mathbf{grad}}\Phi=\nabla\Phi$ des Skalarfeldes $\Phi$ ist ein Vektorfeld.

Definition eines Potenzialfeldes

Ein Vektorfeld $\boldsymbol{v}$, das sich als Gradient eines Skalarfeldes $\Phi$ darstellen lässt,

$$\displaystyle\boldsymbol{v}=\mathop{\mathbf{grad}}\Phi\,,$$

heißt Potenzialfeld, Gradientenfeld oder konservativ. Man sagt auch „$\boldsymbol{v}$ besitzt ein Potenzial“.

Die Rotation und die Divergenz eines Vektorfeldes werden in kartesischen Koordinaten mittels

$$\displaystyle\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}=\nabla\times\boldsymbol{v}\,,\quad\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{v}=\nabla\cdot\boldsymbol{v}$$

definiert. Die Rotation misst die Wirbeldichte eines Vektorfeldes, die Divergenz dessen Quelldichte.

Laplace-Operator

Der Laplace-Operator in $n$ Dimensionen hat in kartesischen Koordinaten die Form

$$\displaystyle\Delta=\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathbf{grad}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}\,.$$

Gradient und Laplace-Operator lassen sich auch für Vektoren definieren, für den Laplace-Operator erhält man

$$\displaystyle\Delta\boldsymbol{A}=\mathop{\mathbf{grad}}\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{A}-\mathop{\mathbf{rot}}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{A}\,.$$

Für zusammengesetzte Differenzialoperatoren gelten spezielle Beziehungen, insbesondere $\mathop{\mathbf{rot}}\mathop{\mathbf{grad}}\Phi=\mathbf{0}$ und $\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathbf{rot}}\mathbf{0}=0$.

Quellen- und Wirbelfreiheit

Gradientenfelder sind wirbelfrei. Wirbelfelder sind quellenfrei.

1.3 Kurvenintegrale

Skalare Funktionen lassen sich entlang von Kurven integrieren.

Skalares Kurvenintegral

Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion $\Phi$ über eine Kurve $\gamma$ mit $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\gamma}(t)$, $t\in[a,\,b]$ ist definiert als

$$\displaystyle\int_{\gamma}\Phi\,\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\Phi(\boldsymbol{x}(t))\,\|\dot{\boldsymbol{x}}(t)\|\,\mathrm{d}t\,.$$

Bei solchen Kurvenintegralen liegt Parametrisierungsunabhängigkeit vor, wenn überall $\dot{\boldsymbol{\gamma}}(t)\neq\mathbf{0}$ ist.

Bei der Integration von Vektorfeldern kommt die Projektion in Tangentialrichtung zum Tragen.

Vektorielles Kurvenintegral

Das Kurvenintegral entlang einer mit $\boldsymbol{\gamma}(t)$, $t\in[a,b]$ parametrisierten Kurve $\gamma$ über ein Vektorfeld

$$\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=(v_{1}(\boldsymbol{x}),\,\ldots,\,v_{n}(\boldsymbol{x}))^{\mathrm{T}}$$

ist definiert als:

$$\displaystyle\int_{\gamma}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(t))\cdot\dot{\boldsymbol{x}}(t)\,\mathrm{d}t.$$

1.4 Die Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals kann man durch Differenzieren überprüfen

Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen

Das Vektorfeld $\boldsymbol{v}$, das auf der offenen und einfach zusammenhängenden Menge $G$ stetig differenzierbar ist, ist genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung

$$\displaystyle\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}$$

erfüllt ist. In diesem Fall hat

$$\displaystyle\int_{\gamma}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}$$

für alle Kurven $\gamma$, die ganz in $G$ liegen und den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben, denselben Wert. Integrale entlang geschlossener Kurven liefern null.

Die exakte Differenzialgleichung ist eng mit Kurvenintegralen verwandt.

1.5 Oberflächenintegrale

Das Oberflächenintegral einer Funktion $G$ über eine Fläche F wird auf ein Gebietsintegral zurückgeführt:

$$\displaystyle I=\int_{F}G(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}=\int_{B}G(\boldsymbol{x}(u,v))\,\left\|\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial u}\times\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial v}\right\|\,\mathrm{d}(u,v).$$

Der Fluss durch eine Fläche ergibt sich durch Skalarproduktbildung und Integration:

$$\begin{aligned}\displaystyle\Phi&\displaystyle=\int_{F}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}=\int_{F}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\,{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{B}\boldsymbol{v}\cdot\left(\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial u}\times\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial v}\right)\,\mathrm{d}(u,v).\end{aligned}$$

1.6 Integralsätze

Integralsätze stellen Beziehungen zwischen verschiedenen Typen von Integralen her: Der Satz von Gauß verknüpft Oberflächen- und Volumenintegrale.

Satz von Gauß

Ist $B$ ein kompakter Teilbereich des $\mathbb{R}^{3}$ mit der Oberfläche $\partial B$, die sich auf stückweise stetige Weise parametrisieren lässt, und ist $\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)$ ein in ganz $B$ stetig differenzierbares Vektorfeld, so gilt, sofern alle vorkommenden Funktionen über die entsprechenden Bereiche integrierbar sind,

$$\displaystyle\int_{\partial B}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}=\int_{B}\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{v}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}\,.$$

Auch die zweidimensionale Fassung des Satzes von Gauß ist von großer Bedeutung:

Satz von Gauß in der Ebene

Für einen kompakten, einfach zusammenhängenden Bereich $B\subsetneq\mathbb{R}^{2}$, dessen positiv durchlaufener Rand durch eine stetig differenzierbare Abbildung $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$, $t\in[a,\,b]$ parametrisiert werden kann, gilt, sofern alle beteiligten Funktionen über die entsprechenden Bereiche integrierbar sind,

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\int_{a}^{b}\left(v_{1}(\boldsymbol{x}(t))\,\frac{\mathrm{d}x_{2}}{\mathrm{d}t}-v_{2}(\boldsymbol{x}(t))\,\frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm{d}t\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad=\int_{B}\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}\right)\mathrm{d}(x_{1},x_{2})\,.\end{aligned}$$

Der Satz von Stokes verknüpft Kurven- und Flächenintegrale.

Satz von Stokes

Für eine orientierbare stückweise glatte Fläche $F$ mit dem stückweise glatten Rand $\partial F$ und ein auf dem Bild dieser Fläche stetig differenzierbares Vektorfeld $\boldsymbol{v}$ gilt, sofern alle vorkommenden Funktionen über die entsprechenden Bereiche integrierbar sind,

$$\displaystyle\oint_{\partial F}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}=\int_{F}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}\,.$$

Dabei ist die Kurve $\partial F$ so parametrisiert, dass sie den nach außen weisenden Normalenvektor $\boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{\mathrm{d}}\boldsymbol{\sigma}}{\mathrm{d}\sigma}$ der Fläche im mathematisch positiven Sinne umläuft.

Auch einige weitere Integralsätze können manchmal nützlich sein, etwa die Integralsätze von Green:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\iiint_{B}(\Phi\,\Delta\Psi+(\nabla\Phi)\cdot(\nabla\Psi))\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\oint_{\partial B}\Phi\,\nabla\Psi\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}\\ \displaystyle&\displaystyle\iiint_{B}(\Phi\,\Delta\Psi-\Psi\,\Delta\Phi)\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\oint_{\partial B}(\Phi\,\nabla\Psi-\Psi\,\nabla\Phi)\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}\end{aligned}$$

1.7 Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Bogen-, Flächen und Volumenelemente lassen sich auch in krummlinigen Koordinaten darstellen. Den Gradienten erhält man besonders einfach, durch Projektion auf die Basisvektoren.

Mithilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes lassen sich Divergenz und Rotation koordinatenfrei definieren,

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})&\displaystyle=\lim_{V(B)\to 0}\frac{1}{V(B)}\oint_{\partial B}\boldsymbol{A}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}\\ \displaystyle\boldsymbol{n}\cdot\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})&\displaystyle=\lim_{A(F)\to 0}\frac{1}{A(F)}\oint_{\partial F}\boldsymbol{A}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}\,.\end{aligned}$$

Durch Anwendung auf geeignet geformte Bereiche lassen sich diese Differenzialoperatoren auch in krummlinigen Koordinaten aufschreiben:

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{A}&\displaystyle=\frac{1}{h_{u_{1}}\,h_{u_{2}}\,h_{u_{3}}}\bigg[\frac{\partial}{\partial u_{1}}\,\left(A_{u_{1}}\,h_{u_{2}}\,h_{u_{3}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{2}}\,\left(A_{u_{2}}\,h_{u_{3}}\,h_{u_{1}}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\hphantom{{}=\frac{1}{h_{u_{1}}\,h_{u_{2}}\,h_{u_{3}}}\bigg[{}}+\frac{\partial}{\partial u_{3}}\,\left(A_{u_{3}}\,h_{u_{1}}\,h_{u_{2}}\right)\bigg]\,,\\ \displaystyle\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{A}&\displaystyle=\frac{1}{h_{u_{2}}\,h_{u_{3}}}\,\boldsymbol{e}_{u_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{2}}h_{u_{3}}A_{u_{3}}-\frac{\partial}{\partial u_{3}}h_{u_{2}}A_{u_{2}}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{1}{h_{u_{1}}\,h_{u_{3}}}\,\boldsymbol{e}_{u_{2}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{3}}h_{u_{1}}A_{u_{1}}-\frac{\partial}{\partial u_{1}}h_{u_{3}}A_{u_{3}}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{1}{h_{u_{1}}\,h_{u_{2}}}\,\boldsymbol{e}_{u_{3}}\left(\frac{\partial}{\partial u_{1}}h_{u_{2}}A_{u_{2}}-\frac{\partial}{\partial u_{2}}h_{u_{1}}A_{u_{1}}\right)\,,\\ \displaystyle\Delta&\displaystyle=\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\Bigg\{\frac{\partial}{\partial u_{1}}\frac{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{1}}}\frac{\partial}{\partial u_{1}}+\frac{\partial}{\partial u_{2}}\frac{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}{h_{u_{2}}}\frac{\partial}{\partial u_{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle\hphantom{{}=\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\Bigg\{{}}+\frac{\partial}{\partial u_{3}}\frac{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}{h_{u_{3}}}\frac{\partial}{\partial u_{3}}\Bigg\}.\end{aligned}$$

Bonusmaterial

Im Bonusmaterial reichen wir einige Beweise nach, die im Haupttext ausgespart blieben, zudem verallgemeinern wir Kurven- und Flächenintegrale vom Vektor- auf den allgemeinen Tensorfall. Der Schwerpunkt liegt allerdings auf einem knappen Einblick in die moderne Differenzialgeometrie.

Dass die Kombinationen $\mathop{\mathbf{rot}}\mathop{\mathbf{grad}}$ und $\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathbf{rot}}$ immer verschwinden, ist nämlich keineswegs Zufall, sondern Ausdruck einer fundamentalen Struktur. Diese werden wir beleuchten, und dabei auch wesentlich allgemeinere Räume als bloß den $\mathbb{R}^{2}$ oder $\mathbb{R}^{3}$ untersuchen.

Auch die unterschiedlichen Integralsätzen stehen keineswegs isoliert nebeneinander, sondern sind letztlich Spezialfälle eines sehr allgemeinen Satzes, der in beliebig hohen Dimensionen und auch in „gekrümmten Räumen“ gilt.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

27.1

•• Ordnen Sie die folgenden Vektorfelder $\boldsymbol{v}_{i}$, $i=1,\ldots,6$ den Teilbildern in Abb. 27.15 und 27.16 zu:

• $\boldsymbol{v}_{1}(x,\,y)=(x_{1},\;x_{2})^{\mathrm{T}}$

• $\boldsymbol{v}_{2}(x,\,y)=(x_{2},\;-x_{1})^{\mathrm{T}}$

• $\boldsymbol{v}_{3}(x,\,y)=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2},\,2x_{1}x_{2})^{\mathrm{T}}$

• $\boldsymbol{v}_{4}(x,\,y)=(x_{1}-x_{2},\;x_{1}+x_{2})^{\mathrm{T}}$

• $\boldsymbol{v}_{5}(x,\,y)=(x_{1},\;-x_{2})^{\mathrm{T}}$

• $\boldsymbol{v}_{6}(x,\,y)=(2x_{1}x_{2},\;-x_{1}^{2}-x_{2}^{2})^{\mathrm{T}}$

27.2

• Gegeben sind ein Vektorfeld $\boldsymbol{V}$ sowie zwei Kurven $C_{1}$ und $C_{2}$ mit gleichem Anfangs- und Endpunkt. Kann man aus

$$\displaystyle\int_{C_{1}}\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=\int_{C_{2}}\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$$

folgern, dass $\boldsymbol{V}$ ein Potenzial besitzt?

27.3

•• Wir betrachten die Ausdrücke

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})&\displaystyle=\frac{1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\begin{pmatrix}-x_{2}\\ x_{1}\\ 0\end{pmatrix}\,,\\ \displaystyle\boldsymbol{w}(\boldsymbol{x})&\displaystyle=\frac{1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}\begin{pmatrix}-x_{2}\\ x_{1}\\ 0\end{pmatrix}\,.\end{aligned}$$

Für welche $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}$ sind dieser Ausdrücke definiert? Sind die Definitionsmengen $D(\boldsymbol{v})$ und $D(\boldsymbol{w})$ einfach zusammenhängend? Besitzen die Vektorfelder $\boldsymbol{v}$: $D(\boldsymbol{v})\to\mathbb{R}^{3}$, $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$ bzw, $\boldsymbol{w}$: $D(\boldsymbol{w})\to\mathbb{R}^{3}$, $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{w}(\boldsymbol{x})$ ein Potenzial?

27.4

•• Die Rotation eines Vektorfeldes der Form

$$\displaystyle\boldsymbol{A}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=\begin{pmatrix}A_{1}(x_{1})\\ A_{2}(x_{2})\\ A_{3}(x_{3})\end{pmatrix}$$

verschwindet trivialerweise, da in den Komponenten $\left(\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i}}\right)$ bereits jeder Term für sich verschwindet und damit auch ihre Differenz. Welche Form hat ein Vektorfeld, für das das Gleiche gilt, in Kugelkoordinaten?

3.2 Rechenaufgaben

27.5

•• Für das Vektorfeld $\boldsymbol{v}$, $\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$, $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=(x_{2}x_{3}^{3},\,x_{1}x_{3}^{3},\,3x_{1}x_{2}x_{3}^{2})^{\mathrm{T}}$ berechne man $\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}$, $\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{v}$, $\mathop{\mathbf{grad}}\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{v}$, gegebenenfalls ein Potenzial $\phi$ und das Kurvenintegral

$$\displaystyle I=\int_{C}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}\,,$$

wobei $C$ den Anfangspunkt $(0,0,0)$ geradlinig mit dem Endpunkt $(1,2,3)$ verbindet.

Abb. 27.33

Berechnen Sie $\int_{K}\left\{(2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\mathrm{d}x_{1}+(2x_{1}x_{2}+x_{1}^{2})\mathrm{d}x_{2}\right\}$ entlang dieser Kurve

27.6

•• Man berechne den Wert des Kurvenintegrals

$$\displaystyle I=\int_{K}\begin{pmatrix}2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\\ 2x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}\end{pmatrix}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}$$

für die in Abb. 27.33 dargestellte Kurve $K$.

27.7

•• $K_{1}$, $K_{2}$ sind die in Abb. 27.34 dargestellten Kurven im $\mathbb{R}^{2}$ mit Anfangspunkt $(-1,0)$ und Endpunkt $(1,1)$.

Abb. 27.34

Kurven $K_{1}$ und $K_{2}$

Für die Vektorfelder

• $\boldsymbol{v}(x,y)=(x,\,y)^{\mathrm{T}}$,

• $\boldsymbol{v}(x,y)=(-y,\,x)^{\mathrm{T}}$,

• $\boldsymbol{v}(x,y)=(\mathrm{e}^{\pi x}\cos(\pi y),\,-\mathrm{e}^{\pi x}\sin(\pi y))^{\mathrm{T}}$

berechne man die Integrale $\int_{K_{i}}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}$.

27.8

• Man untersuche, ob die folgenden Kurvenintegrale vom Weg unabhängig sind, und berechne das Integral für den Fall, dass die Kurve $C$ die geradlinige Verbindungsstrecke von $\boldsymbol{a}$ nach $\boldsymbol{b}$ ist.

• $\displaystyle I_{1}=\int_{C}\{2x_{1}\,\mathrm{d}x_{1}+x_{3}\,\mathrm{d}x_{2}+(x_{2}+x_{4})\,\mathrm{d}x_{3}+x_{3}\,\mathrm{d}x_{4}\}$,

  mit $\boldsymbol{a}=(0,0,0,0)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{b}=(1,1,0,1)^{\mathrm{T}}$

• $\displaystyle I_{2}=\int_{C}\left\{\pi x\mathrm{e}^{\pi w}\,\mathrm{d}w+\mathrm{e}^{\pi w}\,\mathrm{d}x+z^{2}\,\mathrm{d}y+2yz\,\mathrm{d}z\right\}$

  mit $\boldsymbol{a}=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ und $\boldsymbol{b}=(1,-1,2,0)^{\mathrm{T}}$

27.9

•• Man berechne das Kurvenintegral

$$\displaystyle L=\int_{C}\left\{(x-2y^{2}z)\mathrm{d}x+(x^{3}-z^{2})\mathrm{d}y+(x^{2}+y^{2})\mathrm{d}z\right\},$$

wobei $C$ die Schnittkurve der beiden Flächen $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ und $z=\frac{8}{x^{2}+y^{2}}$ ist.

27.10

•• Man berechne das Kurvenintegral

$$\displaystyle K=\int_{\partial B}(xy^{2}\,\mathrm{d}x+xy\,\mathrm{d}y),$$

wobei $\partial B$ der positiv orientierte Rand jenes Bereiches $B$ ist, der von

• $y=\sqrt{2x-x^{2}}$ für $0\leq x<2$,

• $y=0$ für $2\leq x\leq 4$ und

• $y=\sqrt{4x-x^{2}}$ für $0\leq x\leq 4$

begrenzt wird.

27.11

•• Wir betrachten den Bereich $S\subset\mathbb{R}^{2}$,

$$\displaystyle S=\left\{(x,y)\,|\,x\geq 0,\;0\leq y\leq x,\;1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\right\}$$

Über $S$ ist durch $z(x,y)=x^{2}+y^{2}$ explizit eine Fläche $F$ gegeben. Skizzieren Sie die Menge $S$ und berechnen Sie das Oberflächenintegral $I=\int_{F}G\,\mathrm{d}\sigma$ mit $G(x,\,y,\,z)=\arctan\frac{y}{x}$.

27.12

• Man berechne den Oberflächeninhalt der Fläche $F$ mit Parametrisierung

$$\displaystyle\boldsymbol{x}(u,v)=\begin{pmatrix}\sin^{2}u\,\cos v\\ \sin^{2}u\,\sin v\\ \sin u\,\cos u\end{pmatrix}\qquad u\in[0,\pi],\;v\in[0,2\pi]\,.$$

27.13

•• Man berechne das Oberflächenintegral

$$\displaystyle I=\iint_{\partial B}(x+z^{2})\,\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+(z-y)\,\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+x^{2}z\,\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y,$$

wobei der Bereich $B$ von den Flächen $x^{2}+z^{2}=1$ und $x^{2}+y^{2}=1$ begrenzt wird.

27.14

•• Durch $z(x,y)=y^{2}$ ist über der Menge

$$\displaystyle S=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;\big|\;0\leq x\leq 2,\,0\leq y\leq\sqrt{x}\right\}$$

eine Fläche $F$ gegeben. Man berechne den Wert des Oberflächenintegrals $I=\int_{F}y\,\mathrm{d}\boldsymbol{\sigma}$.

27.15

•• Man berechne das Oberflächenintegral $\int_{F}G\,\mathrm{d}\sigma$ der Funktion

$$\displaystyle G(x,y,z)=\frac{yz}{\sqrt{1+x}}$$

über der Fläche

$$\displaystyle F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\,|\,0\leq x\leq 2,0\leq y\leq 2\sqrt{x},z=\sqrt{4x-y^{2}}\}\,.$$

27.16

•• Berechnen Sie für das Vektorfeld

$$\displaystyle\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}x^{2}+\frac{\cosh y}{\cosh z}\\ y^{2}+2xz-x^{2}\sin z\\ x^{2}z^{2}-\mathrm{e}^{\sin y}\end{pmatrix}$$

das Oberflächenintegral über die Oberfläche der oberen Halbkugel mit Mittelpunkt $(0,0,0)$, Radius $2$ und nach außen orientiertem Normalvektor.

27.17

•• Man berechne den Fluss des Vektorfeldes

$$\displaystyle\boldsymbol{V}=\begin{pmatrix}x^{3}+xy^{2}\\ x^{2}y+y^{3}\\ x^{2}y\end{pmatrix}$$

durch die Fläche

$$\displaystyle F:\,z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}<2,$$

die so orientiert ist, dass die $z$-Komponente ihres Normalenvektors negativ ist.

27.18

•• Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes

$$\displaystyle\boldsymbol{V}=\left(x^{3}y,\,x^{2}y^{2},\,x\right)^{\mathrm{T}}$$

durch die Fläche $F$, die durch

$$\displaystyle z=2x^{2}+2y^{2},\quad 2\leq z\leq 8,\quad x\geq 0,\quad y\geq 0$$

gegeben und dabei so orientiert ist, dass die $z$-Komponente des Normalenvektors immer negativ ist.

27.19

•• Man berechne das Oberflächenintegral

$$\displaystyle I=\iint_{\partial B}\begin{pmatrix}x+\mathrm{e}^{\left(z^{2}\right)}\\ x^{2}-y^{2}+z^{2}\\ 1-xyz\end{pmatrix}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}\,,$$

wobei $B$ jener Bereich ist, der von den Flächen $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ und $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ eingeschlossen wird.

27.20

•• Bestimmen Sie das Linienelement ${\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{s}$, das Oberflächenelement ${\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}$, das Volumenelement $\mathrm{d}\boldsymbol{x}$ sowie die Differenzialoperatoren $\mathop{\mathbf{grad}}$, $\mathop{\mathbf{rot}}$, $\mathop{\mathrm{div}}$ und $\Delta$ in polaren elliptische Koordinaten

$$\displaystyle\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}c\,\sinh\alpha\,\sin\beta\,\cos\varphi\\ c\,\sinh\alpha\,\sin\beta\,\sin\varphi\\ c\,\cosh\alpha\,\cos\beta\end{pmatrix}$$

mit $\alpha\in\mathbb{R}_{\geq 0}$, $0\leq\beta\leq\pi$ und $-\pi<\varphi\leq\pi$. Die Konstante $c> 0$ ist ein Maßstabsfaktor. (Vergleiche dazu auch Aufgabe 27.14.)

27.21

•• Bestimmen Sie den Fluss von

$$\displaystyle\boldsymbol{V}(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\begin{pmatrix}x^{3}-y^{3}\\ x^{2}y+xy^{2}\\ x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}$$

durch die nach außen orientierte Oberfläche des Zylinders $x^{2}+y^{2}=\frac{9}{4}$, $-\frac{1}{2}\leq z\leq\frac{1}{2}$. Bestimmen Sie zudem die Kurvenintegrale

$$\displaystyle\oint_{C_{z_{0}}}\boldsymbol{V}\cdot\mathbf{d}\boldsymbol{s}\,,$$

wobei $C_{z_{0}}$ die Kreise $x^{2}+y^{2}=\frac{9}{4}$, $z=z_{0}$ sind, die so durchlaufen werden, dass im Punkt $(\frac{3}{2},\,0,\,z_{0})$ die $y$-Komponente des Tangentenvektors positiv ist, $\dot{y}> 0$.

27.22

•• Bestimmen Sie die Komponenten des Vektorfeldes

$$\displaystyle\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\ 0\\ \frac{xz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{pmatrix}$$

bei Darstellung in Kugelkoordinaten, d.h. $V_{r}$, $V_{\vartheta}$ und $V_{\varphi}$ für

$$\displaystyle\boldsymbol{V}=V_{r}\,\boldsymbol{e}_{r}+V_{\vartheta}\,\boldsymbol{e}_{\vartheta}+V_{\varphi}\,\boldsymbol{e}_{\varphi}\,.$$

Bestimmen Sie für das Vektorfeld $\boldsymbol{V}$ den Fluss

$$\displaystyle\oint_{\mathcal{K}}\boldsymbol{V}\cdot\mathbf{d}\boldsymbol{\sigma}\,,$$

wobei $\mathcal{K}$ die nach außen orientierte Kugeloberfläche $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ ist.

3.3 Anwendungsprobleme

27.23

••• Ein Dipol sind zwei in festem Abstand $2a$ zueinander gehaltene gegengleiche (d. h. betragsmäßig gleiche, entgegengesetzte) Ladungen $\pm q$.

Bestimmen Sie jeweils die auf einen Dipol wirkende Kraft $\boldsymbol{F}$ und Drehmoment $\boldsymbol{T}=\sum_{i}(\boldsymbol{x}-\tilde{\boldsymbol{x}})\times\boldsymbol{F}_{i}$ (mit Bezugspunkt $\tilde{\boldsymbol{x}}$) in einem

• homogenen elektrischen Feld $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})=E_{0}\,\boldsymbol{e}_{3}$,

• radialen elektrischen Feld

  $$\displaystyle\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\,\varepsilon_{0}}\,\frac{Q}{r^{2}}\,\boldsymbol{e}_{r}$$

  mit $Q\gg q$.

Bestimmen Sie im zweiten Fall Näherungsausdrücke für $a\ll\|\tilde{\boldsymbol{x}}\|$. Diskutieren Sie das Verhalten eines drehbaren, beweglichen Dipols in den angegebenen Feldern. (Hinweis: als Bezugspunkt $\tilde{\boldsymbol{x}}$ für die Bestimmung des Drehmoments wählen Sie günstigerweise den Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Ladungen.)

27.24

•• Wir haben auf S. 1009 die potenzielle Energie eines in Form einer Kettenlinie gebogenen Drahtes bestimmt. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Energie für einen Draht der gleichen Länge, der an den gleichen Punkten befestigt ist, nun aber die Form

• eines „V“s (stückweise gerade) oder

• einer nach oben offenen Parabel

hat. (Hinweis: Im Fall der Parabel erhält man eine transzendente Gleichung, die sich nur näherungsweise lösen lässt.)

27.25

•• Das Strömungsfeld in einem Fluid mit zwei entgegengesetzten Linienwirbel ist durch

$$\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\begin{pmatrix}\frac{x_{2}}{(x_{1}+a)^{2}+x_{2}^{2}}-\frac{x_{2}}{(x_{1}-a)^{2}+x_{2}^{2}}\\ \frac{x_{1}-a}{(x_{1}-a)^{2}+x_{2}^{2}}-\frac{x_{1}+a}{(x_{1}+a)^{2}+x_{2}^{2}}\end{pmatrix}$$

gegeben.

Wo liegen die Wirbel? Bestimmen Sie die Arbeit, die bei Umlauf der folgenden positiv orientierten Kreise gewonnen wird:

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle C_{1}&\displaystyle:&\displaystyle(x_{1}-a)^{2}+x_{2}^{2}&\displaystyle=a^{2}\\ \displaystyle C_{2}&\displaystyle:&\displaystyle(x_{1}+a)^{2}+x_{2}^{2}&\displaystyle=a^{2}\\ \displaystyle C_{3}&\displaystyle:&\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&\displaystyle=\frac{1}{4}a^{2}\\ \displaystyle C_{4}&\displaystyle:&\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&\displaystyle=4a^{2}\end{aligned}$$

27.26

•••

• Bestimmen Sie die Gravitationskraft, die eine Kugelschale mit homogener Dichte $\rho$ auf eine Probemasse $m$ (a) außerhalb, (b) innerhalb der Kugelschale ausübt.

• Durch die (als homogen und kugelförmig angenommene) Erde wird ein Tunnel vom Nord- zum Südpol gegraben. Beschreiben Sie den (reibungsfreien) Fall eines Körpers durch diesen Tunnel mit einer geeigneten Differenzialgleichung. Lösen Sie diese Gleichung für einen am Nordpol mit Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}=0$ losgelassenen Körper.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Aus

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_{i}}r=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}=\frac{x_{i}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$$

erhält man

$$\begin{aligned}\displaystyle\nabla r&\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\,\sin\vartheta\,\cos\varphi\\ r\,\sin\vartheta\,\sin\varphi\\ r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}\sin\vartheta\,\cos\varphi\\ \sin\vartheta\,\sin\varphi\\ \cos\vartheta\end{pmatrix}=\boldsymbol{e}_{r}\,.\end{aligned}$$

Antwort 2

Ja, da die Vorschrift zur Bildung der Rotation nur Elemente der Form $\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}$ enthält, die auch alle in der Ableitung vorkommen.

Die Ableitung enthält wesentlich mehr Informationen als die Rotation; in der Rotation sind allerdings die Aussagen über die Wirbelstruktur des Vektorfeldes „komprimiert“, während sie aus den neun Komponenten der Ableitung erst mühsam herausgesucht werden müssten.

Antwort 3

Wir erhalten in drei Dimensionen

$$\displaystyle\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{x}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}x_{1}+\frac{\partial}{\partial x_{2}}x_{2}+\frac{\partial}{\partial x_{3}}x_{3}=3\,,$$

allgemein gilt in $n$ Dimensionen $\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{x}=n$.

Antwort 4

Die Divergenz führt Vektor- in Skalarfelder über, $\mathop{\mathrm{div}}\boldsymbol{A}$ ist also bereits ein Skalarfeld, von dem keine Divergenz oder Rotation mehr gebildet werden kann – sehr wohl hingegen ein Gradient.

Antwort 5

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}&\displaystyle=\mathop{\mathrm{div}}\begin{pmatrix}\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{3}}\\ \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{1}}\\ \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}}\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}-\frac{\partial^{2}v_{2}}{\partial x_{1}\,\partial x_{3}}+\frac{\partial^{2}v_{1}}{\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad-\frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}+\frac{\partial^{2}v_{2}}{\partial x_{3}\,\partial x_{1}}-\frac{\partial^{2}v_{1}}{\partial x_{3}\,\partial x_{2}}\\ \displaystyle&\displaystyle=0\end{aligned}$$

Antwort 6

Ja. Beispielsweise hat jedes konstante Vektorfeld verschwindende Divergenz und Rotation.

Antwort 7

Ja. Man kann ja aus der Definitionsmenge eines völlig gutartigen Feldes, etwa $\boldsymbol{v}$ mit $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=(x_{1},\,x_{2})^{\mathrm{T}}$, willkürlich Punkte ausnehmen. Die Eigenschaft, ein Gradientenfeld zu sein, bleibt dabei erhalten. Eine „Garantie“ für die Gradientenfeldeigenschaft erhält man allerdings nur in einem einfach zusammenhängenden Gebiet.

Antwort 8

Der Rand einer Kurve sind nur zwei Punkte – Anfangs- und Endpunkt. Ist die Kurve geschlossen, ist der Rand die leere Menge.

Antwort 9

Der Satz von Gauß liefert für den von $F$ eingeschlossenen Bereich $B$

$$\displaystyle\oint_{F}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}\cdot{\boldsymbol{\mathrm{d}}}\boldsymbol{\sigma}=\iiint_{B}\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}=0\,,$$

weil $\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathbf{rot}}\boldsymbol{v}=0$ ist – unter der Voraussetzung, dass $\boldsymbol{v}$ in $B$ zweimal stetig differenzierbar ist.