Eigenwerte und Eigenvektoren – oder wie man Matrizen diagonalisiert

Zusammenfassung

Ein rotierender Körper ohne äußere Kräfte verbleibt in seiner Bewegung, wenn er um seine Symmetrieachse rotiert. Dann liegen nämlich Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit auf einer Achse. Stört man den Körper jedoch, indem man ihn anstößt, bleibt zwar weiterhin der Drehimpuls konstant, da aber die Symmetrieachse und damit die Hauptträgheitsachse durch die Rotation verdreht werden, ändert auch die Winkelgeschwindigkeit permanent ihre Richtung. Der Körper fängt an zu nicken. Diese als Nutation bezeichnete Bewegung lässt sich berechnen. Denn man erhält die Hauptträgheitsachsen eines Körpers als Eigenvektoren des zugehörigen Trägheitstensors. Er ist eine symmetrische Matrix.

Der Trägheitstensor kann wie jede quadratische Matrix als eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung aufgefasst werden. Der Wunsch nach einer besonders einfachen Darstellungsmatrix dieser linearen Abbildung führt auf die Frage, welche Vektoren auf skalare Vielfache von sich selbst abgebildet werden. Man nennt solche Vektoren Eigenvektoren der linearen Abbildung. Wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert, so ist die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix – im Fall des Trägheitstensors sind die Hauptträgheitsachsen dann eine Basis aus Eigenvektoren.

Aber nicht zu jeder Matrix existiert eine Basis aus Eigenvektoren. Jedoch lässt sich zeigen, dass eine solche Basis aus Eigenvektoren stets dann existiert, wenn die Matrix symmetrisch ist.

Appendices

Zusammenfassung

Man nennt ein Element $\lambda\in\mathbb{K}$ einen Eigenwert einer quadratischen Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$, wenn es einen Vektor $\boldsymbol{v}\in\mathbb{K}^{n}\setminus\{\mathbf{0}\}$ mit

$$\displaystyle\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{v}=\lambda\,\boldsymbol{v}$$

gibt. Der Vektor $\boldsymbol{v}$ heißt in diesem Fall Eigenvektor von $\boldsymbol{A}$ zum Eigenwert $\lambda$.

1.1 Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist

Eine Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix $\boldsymbol{S}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ gibt, sodass

$$\displaystyle\boldsymbol{D}=\boldsymbol{S}^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{S}$$

eine Diagonalmatrix ist.

Kriterium für Diagonalisierbarkeit

Eine Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis $B$ des $\mathbb{K}^{n}$ aus Eigenvektoren von $\boldsymbol{A}$ gibt.

Ist $B=(\boldsymbol{b}_{1},\,\ldots,\,\boldsymbol{b}_{n})$ eine geordnete Basis des $\mathbb{K}^{n}$ aus Eigenvektoren der Matrix $\boldsymbol{A}$, so ist die Matrix

$$\displaystyle\boldsymbol{D}=\boldsymbol{S}^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{S}$$

mit $\boldsymbol{S}=((\boldsymbol{b}_{1},\,\ldots,\,\boldsymbol{b}_{n}))$ eine Diagonalmatrix.

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix lassen sich nach einem festen Schema ermitteln.

1.2 Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Das Polynom

$$\displaystyle\chi_{\boldsymbol{A}}=|\boldsymbol{A}-X\,\mathbf{E}_{n}|\in\mathbb{K}[X]$$

vom Grad $n$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Es gilt:

$$\displaystyle\lambda\in\mathbb{K}\text{ ist ein Eigenwert von }\boldsymbol{A}\ \Leftrightarrow\ \chi_{\boldsymbol{A}}(\lambda)=0\,.$$

1.3 Die Eigenvektoren erhält man durch Lösen eines homogenen linearen Gleichungssystems

Bestimmung des Eigenraums zum Eigenwert $\lambda$

Ist $\lambda$ ein Eigenwert von $\boldsymbol{A}$, so ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems

$$\displaystyle(\boldsymbol{A}-\lambda\,\mathbf{E}_{n})\,\boldsymbol{v}=\mathbf{0}$$

der Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$.

Ob eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix $\boldsymbol{A}$ existiert (d. h., die Matrix $\boldsymbol{A}$ ist diagonalisierbar), lässt sich durch einen Vergleich der algebraischen Vielfachheiten mit den geometrischen Vielfachheiten entscheiden.

Kriterium für Diagonalisierbarkeit

Zerfällt das charakteristische Polynom $\chi_{\boldsymbol{A}}$ der Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ in Linearfaktoren, so ist $\boldsymbol{A}$ genau dann diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen ist.

Im Allgemeinen ist es also erst nach einem oft nicht ganz unerheblichen Rechenaufwand zu entscheiden, ob eine Matrix diagonalisierbar ist. Jedoch gilt Folgendes.

Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen

Reelle symmetrische und hermitesche Matrizen sind stets diagonalisierbar. Die sie auf Diagonalgestalt transformierenden Matrizen können dabei orthogonal bzw. unitär gewählt werden.

Dabei heißt eine quadratische Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$

• symmetrisch, wenn $\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}$ gilt;

• orthogonal, wenn $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ und $\boldsymbol{A}^{T}\,\boldsymbol{A}=\mathbf{E}_{n}$ gilt;

• hermitesch, wenn $\boldsymbol{A}^{T}=\overline{\boldsymbol{A}}$ gilt;

• unitär, wenn $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ und $\boldsymbol{A}^{T}\,\overline{\boldsymbol{A}}=\mathbf{E}_{n}$ gilt.

Für reelle symmetrische und hermitesche Matrizen sollte man sich merken:

• Eigenwerte reeller symmetrischer bzw. hermitescher Matrizen sind reell.

• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht zueinander.

1.4 Die Exponentialfunktion für Matrizen ist durch eine Reihe definiert

Für diagonalisierbare Matrizen lässt sich $\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}}$ explizit angeben. Ist nämlich $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_{1},\,\ldots,\lambda_{n}$ und Eigenvektoren $\boldsymbol{s}_{1},\,\ldots,\boldsymbol{s}_{n}$, so gilt mit $\boldsymbol{S}=((\boldsymbol{s}_{1},\,\ldots,\boldsymbol{s}_{n}))$

$$\displaystyle\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{S}\,\text{diag}(\mathrm{e}^{\lambda_{1}},\ldots,\,\mathrm{e}^{\lambda_{n}})\,\boldsymbol{S}^{-1}\,.$$

1.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen löst Anfangswertprobleme

Lösung von Anfangswertproblemen

Die Abbildung

$$\displaystyle\boldsymbol{y}\colon\left\{\begin{array}[]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{C}^{n}\\ t&\mapsto&\mathrm{e}^{t\,\boldsymbol{A}}\,\boldsymbol{v}\end{array}\right.$$

ist die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems

$$\displaystyle\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{y},\enspace\boldsymbol{y}(\mathbf{0})=\boldsymbol{v}\,,\ \boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}\,,\enspace\boldsymbol{v}\in\mathbb{C}^{n}\,.$$

Bonusmaterial

Der Satz von Gerschgorin bietet eine Möglichkeit, die Eigenwerte einer Matrix (grob) abzuschätzen. Wir begründen diesen Satz und geben eine verschärfte Version an.

Auch für Endomorphismen lassen sich die Begriffe Eigenwerte und Eigenvektoren definieren. Für einen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums können wir auch den Begriff der Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus erklären. Dazu betrachten wir die Darstellungsmatrix des Endomorphismus bezüglich einer (beliebig) gewählten Basis.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

18.1

• Gegeben ist ein Eigenvektor $\boldsymbol{v}$ zum Eigenwert $\lambda$ einer Matrix $\boldsymbol{A}$.

• (a) Ist $\boldsymbol{v}$ auch Eigenvektor von $\boldsymbol{A}^{2}$? Zu welchem Eigenwert?

• (b) Wenn $\boldsymbol{A}$ zudem invertierbar ist, ist dann $\boldsymbol{v}$ auch ein Eigenvektor zu $\boldsymbol{A}^{-1}$? Zu welchem Eigenwert?

18.2

•• Wieso hat jede Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ mit $\boldsymbol{A}^{2}=\mathbf{E}_{n}$ einen der Eigenwerte $\pm 1$ und keine weiteren?

18.3

• In der folgenden Abbildung zeigt das erste Bild ein aus den Punkten $A,B,C,D$ gebildetes Quadrat um den Ursprung. Die folgenden Abbildungen zeigen Bilder des Quadrats unter drei verschiedenen linearen Abbildungen $\Phi_{1,2,3}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\nobreak\mathbb{R}^{2}$:

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Abbildungen und zeichnen Sie, soweit möglich, Eigenvektoren ein.

18.4

• Wieso ist für jede beliebige Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ die Matrix $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\,\overline{\boldsymbol{A}}^{T}$ hermitesch?

18.5

•• Gegeben ist eine nilpotente Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit Nilpotenzindex $p\in\mathbb{NN}$, d. h., es gilt

$$\displaystyle\boldsymbol{A}^{p}=\mathbf{0}\quad\text{und}\quad\boldsymbol{A}^{p-1}\neq\mathbf{0}.$$

Begründen Sie:

• (a) Die Matrix $\boldsymbol{A}$ ist nicht invertierbar.

• (b) Die Matrix $\boldsymbol{A}$ hat einen Eigenwert der Vielfachheit $n$.

• (c) Es gilt $p\leq n$.

18.6

•• Haben ähnliche Matrizen dieselben Eigenwerte? Haben diese dann gegebenenfalls auch dieselben algebraischen und geometrischen Vielfachheiten?

18.7

•• Haben die quadratischen $n\times n$-Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{A}^{T}$ dieselben Eigenwerte? Haben diese gegebenenfalls auch dieselben algebraischen und geometrischen Vielfachheiten?

18.8

• Gegeben ist eine Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Sind die Eigenwerte der quadratischen Matrix $\boldsymbol{A}^{T}\,\boldsymbol{A}$ die Quadrate der Eigenwerte von $\boldsymbol{A}$?

3.2 Rechenaufgaben

18.9

• Geben Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen an:

• (a) $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3&-1\\ 1&1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}$,

• (b) $\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{2\times 2}$.

• (c) $\boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}a&b\\ b&d\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}$.

18.10

•• Welche der folgenden Matrizen sind diagonalisierbar? Geben Sie gegebenenfalls eine invertierbare Matrix $\boldsymbol{S}$ an, sodass $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{S}^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{S}$ Diagonalgestalt hat.

• (a) $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&\mathrm{i}\\ \mathrm{i}&-1\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{2\times 2}$,

• (b) $\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}3&0&7\\ 0&1&0\\ 7&0&3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}$,

• (c) $\boldsymbol{C}=\frac{1}{3}\,\begin{pmatrix}1&2&2\\ 2&-2&1\\ 2&1&-2\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{3\times 3}$.

18.11

•• Gegeben ist die reelle, symmetrische Matrix

$$\displaystyle\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}10&8&8\\ 8&10&8\\ 8&8&10\end{pmatrix}\,.$$

Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix $\boldsymbol{S}\in\mathbb{R}^{3\times 3}$, sodass $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{S}^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{S}$ eine Diagonalmatrix ist.

18.12

•• Im Vektorraum $\mathbb{R}[X]_{3}$ der reellen Polynome vom Grad höchstens $3$ ist für ein $a\in\mathbb{R}$ die Abbildung $\varphi\colon\mathbb{R}[X]_{3}\to\mathbb{R}[X]_{3}$ durch

$$\displaystyle\varphi(\boldsymbol{p})=\boldsymbol{p}(a)+\boldsymbol{p}^{\prime}(a)(X-a)$$

erklärt.

• (a) Begründen Sie, dass $\varphi$ linear ist.

• (b) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix von $\varphi$ bezüglich der Basis $E_{3}=(1,\,X,\,X^{2},\,X^{3})$ von $\mathbb{R}[X]_{3}$.

• (c) Bestimmen Sie eine geordnete Basis $B$ von $\mathbb{R}[X]_{3}$, bezüglich der die Darstellungsmatrix von $\varphi$ Diagonalgestalt hat.

3.3 Anwendungsprobleme

18.13

•• Wir betrachten vier Populationen unterschiedlicher Arten $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}$. Vereinfacht nehmen wir an, dass bei einem Fortpflanzungszyklus, der für alle vier Arten gleichzeitig stattfindet, die vier Arten mit einer gewissen Häufigkeit mutieren, aber es entstehen bei jedem solchen Zyklus wieder nur diese vier Arten. Mit $f_{ij}$ bezeichnen wir die Häufigkeit, mit der $a_{i}$ zu $a_{j}$ mutiert. Die folgende Matrix gibt diese Häufigkeiten wieder – dabei gelte $0\leq t\leq 1$:

$$\displaystyle\boldsymbol{F}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1-t&t&t\\ 0&t&1-t&t\\ 0&t&t&1-t\\ \end{pmatrix}$$

Gibt es nach hinreichend vielen Fortpflanzungszyklen eine Art, die dominiert?

18.14

•• Die zur Zeit $t$ im Blutkreislauf befindliche Dosis $b(t)$ und die vom Magen absorbierte Dosis $d(t)$ eines Herzmedikaments gehorchen dem Differenzialgleichungssystem

$$\begin{aligned}\displaystyle d(t)^{\prime}&\displaystyle=-d(t)\,,\\ \displaystyle b(t)^{\prime}&\displaystyle=d(t)-\frac{1}{10}\,b(t)\,.\end{aligned}$$

Bestimmen Sie die Funktionen $b(t)$ und $d(t)$ unter den Anfangsbedingungen $d(0)=1$ und $b(0)=0$.

18.15

•• Gegeben sind die verschiedenen Eigenwerte $\lambda_{1},\,\ldots,\,\lambda_{r}$ einer Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Für jedes $j\in\{1,\,\ldots,\,r\}$ bezeichnen wir mit $\boldsymbol{v}_{j}\in\mathbb{C}^{n}$ einen Eigenvektor von $\boldsymbol{A}$ zum Eigenwert $\lambda_{j}$. Weiter erklären wir für jedes $j\in\{1,\,\ldots,\,r\}$ die Abbildung $\boldsymbol{y}_{j}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}^{n}$ durch

$$\displaystyle\boldsymbol{y}_{j}(t)=\mathrm{e}^{\lambda_{j}\,t}\,\boldsymbol{v}_{j}\,.$$

Begründen Sie, dass $\boldsymbol{y}_{1},\,\ldots,\,\boldsymbol{y}_{r}$ Lösungen der Differenzialgleichung $\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{y}$ sind. Zeigen Sie auch, dass die Abbildungen $\boldsymbol{y}_{1},\,\ldots,\,\boldsymbol{y}_{r}$ linear unabhängig sind.

18.16

••• Gegeben ist der Trägheitstensor

$$\displaystyle\boldsymbol{J}=\begin{pmatrix}24&-4&-8\\ -4&60&-2\\ -8&-2&60\end{pmatrix}\,[\mathrm{kg\,m^{2}}].$$

Bestimmen Sie die Menge aller Winkelgeschwindigkeiten $\boldsymbol{\omega}$ bezüglich derer die Rotationsenergie $T_{0}=\frac{1}{2}\,\boldsymbol{\omega}^{T}\,\boldsymbol{J}\,\boldsymbol{\omega}=1{.}0\frac{\text{kg \, m}^{2}}{\text{s}^{2}}$ ist.

18.17

•• Gegeben ist eine elastische Membran im $\mathbb{R}^{2}$, die von der Einheitskreislinie $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ berandet wird. Bei ihrer (als lineare Abbildung angenommene) Verformung gehe der Punkt $\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix}$ in den Punkt $\begin{pmatrix}5\,v_{1}+3\,v_{2}\\ 3\,v_{1}+5\,v_{2}\end{pmatrix}$ über.

• (a) Welche Form und Lage hat die ausgedehnte Membran?

• (b) Welche Geraden durch den Ursprung werden auf sich abgebildet?

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Die Drehung mit $\alpha=0$ ist die Identität, hierbei wird jeder Vektor auf sich selbst abgebildet, sodass die Darstellungsmatrix bezüglich jeder geordneten Basis Diagonalgestalt hat – sie ist die Einheitsmatrix $\mathbf{E}_{2}$. Bei der Drehung mit $\alpha=\pi$ wird jeder Vektor $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{2}$ auf sein entgegengesetztes Element $-\boldsymbol{v}$ abgebildet. Damit ist diese Abbildung auch diagonalisierbar, die Darstellungsmatrix ist bezüglich jeder geordneten Basis das Negative der Einheitsmatrix $-\mathbf{E}_{2}$.

Antwort 2

Nein.

Antwort 3

Sie hat den einzigen Eigenwert $0$, da für jeden Vektor $\boldsymbol{v}\in\mathbb{K}^{n}$

$$\displaystyle\mathbf{0}\,\boldsymbol{v}=0\,\boldsymbol{v}$$

gilt. Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor des $\mathbb{K}^{n}$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $0$.

Antwort 4

Unter Kern der Matrix $\boldsymbol{A}$.

Antwort 5

Weil die Matrix $\boldsymbol{A}$ als invertierbar vorausgesetzt ist und somit die Null nicht Eigenwert von $\boldsymbol{A}$ ist.

Antwort 6

Das Gleichungssystem ist jeweils das triviale Gleichungssystem

$$\displaystyle\mathbf{0}=\mathbf{0}$$

zu dem jeweils einzigen Eigenwert $1$ bzw. $0$, und der Lösungsraum ist somit jeweils der ganze $\mathbb{K}^{n}$. Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ der Einheitsmatrix bzw. zum Eigenwert $0$ der Nullmatrix.

Antwort 7

Im ersten Beispiel gilt etwa

$$\displaystyle\boldsymbol{A}\,\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=2\,\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\,.$$

Antwort 8

Die Eigenwerte sind die konjugiert komplexen Zahlen $\pm\mathrm{i}$, Eigenvektoren sind die konjugiert komplexen Vektoren $\begin{pmatrix}1\\ \pm\mathrm{i}\end{pmatrix}$.

Antwort 9

Der Eigenwert $1$ von $\boldsymbol{A}$ hat die algebraische Vielfachheit $2$ und der Eigenwert $-3$ die algebraische Vielfachheit $4$. Und die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte $-1/2\pm\mathrm{i}\,\sqrt{3}$ haben jeweils die algebraische Vielfachheit $1$.

Antwort 10

Weil in diesem Fall das charakteristische Polynom zerfällt und für jeden Eigenwert die algebraische Vielfachheit, die gleich 1 ist, mit der geometrischen Vielfachheit, die größer gleich 1 sein muss, übereinstimmt.

Antwort 11

Es gilt

$$\displaystyle\boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1&0&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\text{ und }\boldsymbol{S}^{-1}=\frac{1}{12}\,\begin{pmatrix}4&2&2\\ -2&-1&5\\ -2&5&-1\end{pmatrix}\,.$$

Und weiter

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{1}{12}\,\begin{pmatrix}4&2&2\\ -2&-1&5\\ -2&5&-1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&2&2\\ 2&-2&1\\ 2&1&-2\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ 1&0&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle=\begin{pmatrix}3&0&0\\ 0&-3&0\\ 0&0&-3\end{pmatrix}\,.\end{aligned}$$

Antwort 12

Es vertauschen sich die zugehörigen Eigenwerte in der Diagonalmatrix.

Antwort 13

Es gilt etwa für die komplexe Matrix $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}$ mit dem charakteristischen Polynom $\chi_{\boldsymbol{A}}=(\mathrm{i}-X)\,(-\mathrm{i}-X)$ und den beiden Eigenwerten $-\mathrm{i},\,\mathrm{i}$:

$$\displaystyle\det\boldsymbol{A}=1=(-\mathrm{i})\,\mathrm{i}\text{ und }\mathop{\mathrm{Sp}}\boldsymbol{A}=0=-\mathrm{i}+\mathrm{i}\,.$$

Antwort 14

Weil die geometrische Vielfachheit des einzigen Eigenwertes $\lambda$ gleich $1$ ist. Diese ist also echt kleiner der algebraischen Vielfachheit, die ist nämlich $3$.

Antwort 15

$$\displaystyle\boldsymbol{J}=\left(\!\begin{array}[]{c@{}c@{}c}\boxed{\begin{matrix}1\end{matrix}}&&\\ &\boxed{\begin{matrix}1\end{matrix}}&\\ &&\boxed{\begin{matrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{matrix}}\end{array}\!\right)$$

und jede andere Reihenfolge dieser drei Kästchen.

Antwort 16

$\boldsymbol{J}=\begin{pmatrix}\mathrm{i}&1\\ 0&\mathrm{i}\end{pmatrix}$.

Antwort 17

Nein, die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basis ist $\begin{pmatrix}\mathrm{i}&0\\ 1&\mathrm{i}\end{pmatrix}$. Bei unserer Definition stehen die Einsen oberhalb der Hauptdiagonalen, in manchen Lehrbüchern wählt man aber die umgekehrte Reihenfolge – es stehen dann die Einsen, so wie hier, unterhalb der Hauptdiagonalen.

Antwort 18

Es bilden in diesem Fall etwa $\boldsymbol{b}_{1}=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$, $\boldsymbol{b}_{2}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}$ und $\boldsymbol{b}_{3}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$ eine Jordan-Basis, und es ist $\boldsymbol{J}=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}$ die Jordan-Normalform.

Antwort 19

Ist $\boldsymbol{J}$ eine Jordan-Normalform zu $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{S}^{-1}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{S}$, so gilt $(\boldsymbol{J}-\lambda\,\mathbf{E}_{n})^{k}=\boldsymbol{S}^{-1}\,(\boldsymbol{A}-\lambda\,\mathbf{E}_{n})^{k}\,\boldsymbol{S}$ für alle $k\in\mathbb{N}$. Dies beantwortet die erste Frage. Nun zur zweiten Frage: Diese Frage streng und korrekt zu beantworten ist außerordentlich schwierig, wir belassen es bei einer saloppen Formulierung: Bei jedem Durchlauf dieser Kette von hinten nach vorne, entsteht ein Jordankästchen. Das Durchlaufen bedeutet dabei die sukzessive Multiplikation mit der Matrix $\boldsymbol{N}$, beginnend mit einem gewählten Basisvektor.