Lineare Abbildungen und Matrizen – abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedrückt

Zusammenfassung

Eine Abbildung zwischen Vektorräumen, also zwischen Mengen mit einer Vektoraddition und einer skalaren Multiplikation, werden wir lineare Abbildung oder Homomorphismus nennen, wenn sie die Struktur der Vektorräume berücksichtigt, d. h., wenn sie additiv und multiplikativ ist. Diese Gleichheit der Strukturen besagt der Begriff Homomorphie.

In dieser Sichtweise ist eine lineare Abbildung durchaus abstrakt. Um so mehr, wenn man berücksichtigt, dass als Vektoren z. B. auch Polynome infrage kommen. Ein Beispiel einer linearen Abbildung ist hier etwa das aus der Analysis bekannte Differenzieren.

Jedoch gelingt es in endlichdimensionalen Vektorräumen, nach Wahl einer Basis jeder linearen Abbildung eine sehr anschauliche und vertraute Gestalt zu geben. Zu jeder linearen Abbildung gehört bezüglich gewählter Basen der Vektorräume eine Matrix. Diese die Abbildung darstellende Matrix charakterisiert die Abbildung eindeutig. Wir können so lineare Abbildungen endlichdimensionaler Vektorräume mit Matrizen identifizieren. Das Abbilden ist letztlich eine einfache Matrizenmultiplikation.

Durch diesen Prozess werden lineare Abbildungen auf Matrizen zurückgeführt, für die wir bereits ein Kalkül entwickelt haben.

Appendices

Zusammenfassung

Lineare Abbildungen sind jene Abbildungen zwischen Vektorräumen, die additiv und homogen sind.

Lineare Abbildung

Eine Abbildung $\varphi:V\to W$ zwischen $\mathbb{K}$-Vektorräumen $V$ und $W$ heißt lineare Abbildung oder Homomorphismus, wenn für alle $\boldsymbol{v},\,\boldsymbol{w}\in V$ und $\lambda\in\mathbb{K}$ gilt:

• $\varphi(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})=\varphi(\boldsymbol{v})+\varphi(\boldsymbol{w})$ (Additivität),

• $\varphi(\lambda\,\boldsymbol{v})=\lambda\,\varphi(\boldsymbol{v})$ (Homogenität).

Jede lineare Abbildung von einem Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$ hat einen Kern und ein Bild. Der Kern ist ein Untervektorraum von $V$, das Bild ein Untervektorraum von $W$.

1.1 Der Kern von $\varphi$ besteht aus jenen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden

Der Kern und das Bild einer linearen Abbildung

Ist $\varphi$ eine lineare Abbildung von einem $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ in einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $W$, so nennt man

$$\displaystyle\varphi^{-1}(\{\mathbf{0}\})=\{\boldsymbol{v}\in V\,|\,\varphi(\boldsymbol{v})=\mathbf{0}\}\subseteq V$$

den Kern von $\varphi$ und

$$\displaystyle\varphi(V)=\{\varphi(\boldsymbol{v})\,|\,\boldsymbol{v}\in V\}\subseteq W$$

das Bild von $\varphi$.

Für ein endlichdimensionales $V$ gilt die Dimensionsformel.

Die Dimensionsformel

Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, so gilt für jede lineare Abbildung $\varphi:V\to W$ die Gleichung

$$\displaystyle\dim(V)=\dim(\underbrace{\varphi^{-1}(\{\mathbf{0}\})}_{\text{Kern}})+\dim(\underbrace{\varphi(V)}_{\text{Bild}})\,.$$

Jede lineare Abbildung vom $\mathbb{K}^{n}$ in den $\mathbb{K}^{m}$ ist durch eine Matrix gegeben.

Darstellung linearer Abbildungen vom $\mathbb{K}^{n}$ in $\mathbb{K}^{m}$ bezüglich der Standardbasen

Zu jeder linearen Abbildung $\varphi$ von $\mathbb{K}^{n}$ in $\mathbb{K}^{m}$ gibt es eine Matrix $\boldsymbol{A}\in\mathbb{K}^{m\times n}$ mit $\varphi=\varphi_{\boldsymbol{A}}$. Diese Matrix $\boldsymbol{A}$ ist gegeben als

$$\displaystyle\boldsymbol{A}=((\varphi(\boldsymbol{e}_{1}),\,\ldots,\,\varphi(\boldsymbol{e}_{n})))\in\mathbb{K}^{m\times n}\,.$$

Die $i$-te Spalte von $\boldsymbol{A}$ ist das Bild des $i$-ten Basisvektors der Standardbasis.

Diese Darstellung einer linearen Abbildung durch eine Matrix kann man auf beliebige endlichdimensionale Vektorräume verallgemeinern. Dazu führt man den Begriff des Koordinatenvektors ein.

1.2 Durch Koordinatenvektoren wird jeder Vektor zu einem Spaltenvektor

Ist $B=(\boldsymbol{b}_{1},\,\ldots,\,\boldsymbol{b}_{n})$ eine geordnete Basis eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$, so besitzt jedes $\boldsymbol{v}\in V$ genau eine Darstellung

$$\displaystyle\boldsymbol{v}=v_{1}\,\boldsymbol{b}_{1}+\cdots+v_{n}\,\boldsymbol{b}_{n}$$

mit $v_{1},\,\ldots,\,v_{n}\in\mathbb{K}$. Es heißt ${}_{B}\boldsymbol{v}=\smash[b]{\begin{pmatrix}v_{1}\\ \vdots\\ v_{n}\end{pmatrix}}\in\mathbb{K}^{n}$ der Koordinatenvektor von $\boldsymbol{v}$ bezüglich $B$.

1.3 Die Matrix, die eine lineare Abbildung darstellt, erhält man spaltenweise

Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Man nennt die Matrix

$$\displaystyle_{C}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}=(({}_{C}\varphi(\boldsymbol{b}_{1}),\,\ldots,\,{}_{C}\varphi(\boldsymbol{b}_{n})))$$

die Darstellungsmatrix von $\varphi$ bezüglich der Basen $B$ und $C$.

Die $i$-te Spalte von ${}_{C}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}$ ist der Koordinatenvektor bezüglich $C$ des Bildes des $i$-ten Basisvektors aus $B$.

Darstellungsmatrizen sind nicht eindeutig. Bei Wahl verschiedener Basen haben sie im Allgemeinen verschiedenes Aussehen. Tatsächlich ist der Unterschied aber nicht groß.

1.4 Je zwei Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung sind ähnlich

Die Basistransformationsformel zeigt den Zusammenhang zwischen Darstellungsmatrizen ein und derselben linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen.

Die Basistransformationsformel

Sind $\varphi:V\to V$ eine lineare Abbildung und $B$ und $C$ zwei geordnete Basen von $V$, so gilt

$$\displaystyle_{C}\boldsymbol{M}(\varphi)_{C}=\boldsymbol{S}^{-1}\,{}_{B}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}\,\boldsymbol{S}\,,$$

wobei $\boldsymbol{S}={}_{B}\boldsymbol{M}(\text{id}_{V})_{C}$ gilt.

Bonusmaterial

Im Bonusmaterial entwickeln wir eine Decodierregel des Bauer-Codes, den wir im Bonusmaterial zu Kap. 15 vorgestellt haben. Die Decodierregel korrigiert Codewörter, die durch Störungen im Übertragungskanal verfälscht werden.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

17.1

• Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

• (a) $\varphi_{1}:\left\{\begin{array}[]{@{}lll@{}}\mathbb{R}^{2}&\to&\mathbb{R}^{2}\\ \begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix}&\mapsto&\begin{pmatrix}v_{2}-1\\ -v_{1}+2\end{pmatrix}\end{array}\right.$

• (b) $\varphi_{2}:\left\{\begin{array}[]{@{}lll@{}}\mathbb{R}^{2}&\to&\mathbb{R}^{3}\\ \begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix}&\mapsto&\begin{pmatrix}13\,v_{2}\\ 11\,v_{1}\\ -4\,v_{2}-2\,v_{1}\end{pmatrix}\end{array}\right.$

• (c) $\varphi_{3}:\left\{\begin{array}[]{@{}lll@{}}\mathbb{R}^{2}&\to&\mathbb{R}^{3}\\ \begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix}&\mapsto&\begin{pmatrix}v_{1}\\ -v_{1}^{2}\,v_{2}\\ v_{2}-v_{1}\end{pmatrix}\end{array}\right.$

17.2

• Für welche $\boldsymbol{u}\in\mathbb{R}^{2}$ ist die Abbildung

$$\displaystyle\varphi:\left\{\begin{array}[]{@{}lll@{}}\mathbb{R}^{2}&\to&\mathbb{R}^{2}\\ \boldsymbol{v}&\mapsto&\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\end{array}\right.$$

linear?

17.3

• Gibt es eine lineare Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ mit

• (a)
  $$\displaystyle\varphi\left(\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix},\,\varphi\left(\begin{pmatrix}2\\ 0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\,\varphi\left(\begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\ 3\end{pmatrix}$$

  bzw.

• (b)
  $$\displaystyle\varphi\left(\begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix},\,\varphi\left(\begin{pmatrix}2\\ 0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\,\varphi\left(\begin{pmatrix}5\\ 3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4\\ 3\end{pmatrix}\,?$$

17.4

• Welche Dimensionen haben Kern und Bild der folgenden linearen Abbildung?

$$\displaystyle\varphi:\left\{\begin{array}[]{@{}lll@{}}\mathbb{R}^{2}&\to&\mathbb{R}^{2}\\ \begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix}&\mapsto&\begin{pmatrix}v_{1}+v_{2}\\ v_{1}+v_{2}\end{pmatrix}\end{array}\right.$$

17.5

•• Begründen Sie die auf S. 622 gemachte Behauptung: Sind $\varphi:V\to V^{\prime}$ und $\psi:V^{\prime}\to V^{\prime\prime}$ linear, so ist auch die Hintereinanderausführung $\psi\circ\varphi:V\to V^{\prime\prime}$ linear, und ist $\varphi$ eine bijektive lineare Abbildung, so ist auch $\varphi^{-1}:V^{\prime}\to V$ eine solche.

17.6

•• Wenn $A$ eine linear unabhängige Menge eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ ist und $\varphi$ ein injektiver Endomorphismus von $V$ ist, ist dann auch $A^{\prime}=\{\varphi(\boldsymbol{v})\,|\,\boldsymbol{v}\in A\}$ linear unabhängig?

17.7

• Folgt aus der linearen Abhängigkeit der Zeilen einer reellen $11\times 11$-Matrix $\boldsymbol{A}$ die lineare Abhängigkeit der Spalten von $\boldsymbol{A}$?

17.8

••• Gegeben ist eine lineare Abbildung $\varphi\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ mit $\varphi\circ\varphi=\text{id}_{\mathbb{R}^{2}}$ (d. h., für alle $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{2}$ gilt $\varphi(\varphi(\boldsymbol{v}))=\boldsymbol{v})$, aber $\varphi\neq\pm\text{id}_{\mathbb{R}^{2}}$ (d. h. $\varphi\notin\{\boldsymbol{v}\mapsto\boldsymbol{v},\ \boldsymbol{v}\mapsto-\boldsymbol{v}\}$). Zeigen Sie:

• (a) Es gibt eine Basis $B=\{\boldsymbol{b}_{1},\,\boldsymbol{b}_{2}\}$ des $\mathbb{R}^{2}$ mit $\varphi(\boldsymbol{b}_{1})=\boldsymbol{b}_{1}$, $\varphi(\boldsymbol{b}_{2})=-\boldsymbol{b}_{2}$.

• (b) Ist $B^{\prime}=\{\boldsymbol{a}_{1},\,\boldsymbol{a}_{2}\}$ eine weitere Basis mit der in (a) angegebenen Eigenschaft, so existieren $\lambda,\,\mu\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ mit $\boldsymbol{a}_{1}=\lambda\,\boldsymbol{b}_{1}$, $\boldsymbol{a}_{2}=\mu\,\boldsymbol{b}_{2}$.

3.2 Rechenaufgaben

17.9

• Wir betrachten die lineare Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^{4}\,\to\,\mathbb{R}^{4}$, $\boldsymbol{v}\,\mapsto\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{v}$ mit der Matrix

$$\displaystyle\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3&1&1&-1\\ 1&3&-1&1\\ 1&-1&3&1\\ -1&1&1&3\\ \end{pmatrix}\,.$$

Gegeben sind weiter die Vektoren

$$\displaystyle\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}4\\ 4\\ 4\\ 4\end{pmatrix}.$$

• (a) Berechnen Sie $\varphi(\boldsymbol{a})$ und begründen Sie, dass $\boldsymbol{b}$ im Kern von $\varphi$ liegt. Ist $\varphi$ injektiv?

• (b) Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern und Bild der linearen Abbildung $\varphi$.

• (c) Bestimmen Sie Basen des Kerns und des Bildes von $\varphi$.

• (d) Bestimmen Sie die Menge $L$ aller $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{4}$ mit $\varphi(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{c}$.

17.10

• Wir betrachten den reellen Vektorraum $\mathbb{R}[X]_{3}$ aller Polynome über $\mathbb{R}$ vom Grad kleiner oder gleich 3, und es bezeichne $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}:\mathbb{R}[X]_{3}\rightarrow\mathbb{R}[X]_{3}$ die Differenziation. Weiter sei $E=(1,\,X,\,X^{2},\,X^{3})$ die Standardbasis von $\mathbb{R}[X]_{3}$.

• (a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${}_{E}\boldsymbol{M}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X})_{E}$.

• (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${}_{B}\boldsymbol{M}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X})_{B}$ von $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}$ bezüglich der geordneten Basis $B=(X^{3},\,3\,X^{2},\,6\,X,\,6)$ von $\mathbb{R}[X]_{3}$.

17.11

•• Gegeben sind die geordnete Standardbasis

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle E_{2}&\displaystyle=\left(\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}\right)&\displaystyle&\displaystyle\text{des }\mathbb{R}^{2},\\ \displaystyle B&\displaystyle=\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right)&\displaystyle&\displaystyle\text{des }\mathbb{R}^{3}\quad\text{und}\\ \displaystyle C&\displaystyle=\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right)&\displaystyle&\displaystyle\text{des }\mathbb{R}^{4}.\end{aligned}$$

Nun betrachten wir zwei lineare Abbildungen $\varphi:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ und $\psi:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{4}$ definiert durch

$$\displaystyle\varphi\left(\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}v_{1}-v_{2}\\ 0\\ 2\,v_{1}-v_{2}\end{pmatrix}\text{ und }\psi\left(\begin{pmatrix}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}v_{1}+2\,v_{3}\\ v_{2}-v_{3}\\ v_{1}+v_{2}\\ 2\,v_{1}+3\,v_{3}\end{pmatrix}.$$

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen ${}_{B}\boldsymbol{M}(\varphi)_{E_{2}}$, ${}_{C}\boldsymbol{M}(\psi)_{B}$ und ${}_{C}\boldsymbol{M}(\psi\circ\varphi)_{E_{2}}$.

17.12

•• Gegeben ist eine lineare Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$. Die Darstellungsmatrix von $\varphi$ bezüglich der geordneten Standardbasis $E_{3}=(\boldsymbol{e}_{1},\,\boldsymbol{e}_{2},\,\boldsymbol{e}_{3})$ des $\mathbb{R}^{3}$ lautet:

$$\displaystyle_{E_{3}}\boldsymbol{M}(\varphi)_{E_{3}}=\begin{pmatrix}4&0&-2\\ 1&3&-2\\ 1&2&-1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}$$

• (a) Begründen Sie: $B=\smash[b]{\left(\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 3\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right)}$ ist eine geordnete Basis des $\mathbb{R}^{3}$.

• (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${}_{B}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}$ und die Transformationsmatrix $\boldsymbol{S}$ mit ${}_{B}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}=\boldsymbol{S}^{-1}\,{}_{E_{3}}\boldsymbol{M}(\varphi)_{E_{3}}\,\boldsymbol{S}$.

17.13

•• Gegeben sind zwei geordnete Basen $A$ und $B$ des $\mathbb{R}^{3}$

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=\left(\begin{pmatrix}8\\ -6\\ 7\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}-16\\ 7\\ -13\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}9\\ -3\\ 7\end{pmatrix}\right)\\ \displaystyle B&\displaystyle=\left(\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 2\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\right)\end{aligned}$$

und eine lineare Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^{3}\,\to\,\mathbb{R}^{3}$, welche bezüglich der Basis $A$ die folgende Darstellungsmatrix hat

$$\displaystyle_{A}\boldsymbol{M}(\varphi)_{A}=\begin{pmatrix}1&-18&15\\ -1&-22&15\\ 1&-25&22\end{pmatrix}\,.$$

• (a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix ${}_{B}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}$ von $\varphi$ bezüglich der geordneten Basis $B$.

• (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen ${}_{A}\boldsymbol{M}(\varphi)_{B}$ und ${}_{B}\boldsymbol{M}(\varphi)_{A}$.

17.14

••• Es bezeichne $\triangle\colon\mathbb{R}[X]_{4}\to\mathbb{R}[X]_{4}$ den durch $\triangle(f)=f(X+1)-f(X)$ erklärte Differenzenoperator.

• (a) Begründen Sie, dass $\triangle$ linear ist, und berechnen Sie die Darstellungsmatrix ${}_{E}\boldsymbol{M}(\triangle)_{E}$ von $\triangle$ bezüglich der kanonischen Basis $E=(1,\,X,\,X^{2},\,X^{3},\,X^{4})$ von $\mathbb{R}[X]_{4}$ sowie die Dimensionen des Bildes und des Kerns von $\triangle$.

• (b) Begründen Sie, dass

  $$\begin{aligned}\displaystyle B=\biggl(&\displaystyle 1,X,\,\frac{X(X-1)}{2},\\ \displaystyle&\displaystyle\frac{X(X-1)(X-2)}{6},\,\frac{X(X-1)(X-2)(X-3)}{24}\biggr)\end{aligned}$$

  eine geordnete Basis von $\mathbb{R}[X]_{4}$ ist, und berechnen Sie die Darstellungsmatrix ${}_{B}\boldsymbol{M}(\triangle)_{B}$ von $\triangle$ bezüglich $B$.

• (c) Angenommen, Sie sollten auch noch die Darstellungsmatrizen der Endomorphismen $\triangle^{2}$, $\triangle^{3}$, $\triangle^{4}$, $\triangle^{5}$ berechnen – es bedeutet hierbei $\triangle^{k}=\underbrace{\triangle\circ\cdots\circ\triangle}_{k\text{-mal}}$ – Ihnen sei dafür aber die Wahl der Basis von $\mathbb{R}[X]_{4}$ freigestellt. Welche Basis würden Sie nehmen? Begründen Sie Ihre Wahl.

3.3 Anwendungsprobleme

17.15

• Auf S. 622 wurde das Katzenauge für drei Spiegel in den Koordinatenebenen betrachtet. Verallgemeinern Sie das dortige Vorgehen für drei zueinander senkrechte Spiegel $S_{1}$, $S_{2}$ bzw. $S_{3}$ mit den Normalenvektoren $\boldsymbol{n}_{1}$, $\boldsymbol{n}_{2}$ bzw. $\boldsymbol{n}_{3}$.

17.16

•• In der Physik sind aus den verschiedensten Gründen Änderungen des Bezugssystems – das ist ein System, auf das sich die Orts- und Zeitangaben beziehen – nötig. Mathematisch betrachtet ist dies eine Koordinatentransformation, also eine lineare Abbildung.

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis $E_{3}$ der Koordinatentransformation, bei der das neue Bezugssystem aus dem alten durch eine Drehung um den Winkel $\alpha$ und der Drehachse $\boldsymbol{e}_{1}$ bzw. $\boldsymbol{e}_{2}$ bzw. $\boldsymbol{e}_{3}$ entsteht.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Die Gleichung

$$\displaystyle\varphi(\underbrace{\lambda\,\boldsymbol{v}}_{\in V})=\lambda\,\underbrace{\varphi(\boldsymbol{v})}_{\in W}$$

wäre bei verschiedenen Körpern nicht immer sinnvoll. Wäre etwa $V$ ein $\mathbb{C}$-Vektorraum und $W$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum, so würde $\lambda=\mathrm{i}$ die Homogenität unmöglich machen.

Antwort 2

Ja, man schreibe $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}+(-1)\,\boldsymbol{w}$.

Antwort 3

In der Tat kann man in dem berechneten Produkt die drei Matrizen $\mathbf{E}_{3}-2\,\boldsymbol{e}_{3}\,\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}}$, $\mathbf{E}_{3}-2\,\boldsymbol{e}_{2}\,\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}$, $\mathbf{E}_{3}-2\,\boldsymbol{e}_{1}\,\boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}$ miteinander vertauschen, es kommt immer dasselbe heraus.

Antwort 4

Ja, man wähle die lineare Fortsetzung von $\sigma$ mit $\sigma(\boldsymbol{e}_{1})=\boldsymbol{e}_{2}$ und $\sigma(\boldsymbol{e}_{2})=\mathbf{0}$.

Antwort 5

Im endlichdimensionalen Fall irgendwie schon, als Maß könnte etwa die Dimension dienen.

Antwort 6

Injektiv sind die erste und die dritte Abbildung. Nicht injektiv sind die zweite, vierte und sechste Abbildung. Bei der fünften Abbildung hängt die Injektivität von der Matrix $\boldsymbol{A}$ ab. Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn $\mathop{\mathrm{rg}}\boldsymbol{A}=n$ gilt. Man betrachte jeweils den Kern der linearen Abbildung.

Antwort 7

Nein, man beachte die Dimensionsformel.

Antwort 8

Ja. Die Darstellungsmatrix ist etwa dann eine Zeile, wenn man eine Abbildung vom eindimensionalen $\mathbb{K}$-Vektorraum $\mathbb{K}$ in einen $n$-dimensionalen $\mathbb{K}$-Vektorraum hat, z. B.

$$\displaystyle\varphi:v\mapsto\begin{pmatrix}v\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}\,.$$

Und sie ist z. B. dann eine Spalte, wenn man eine Abbildung von einem $n$-dimensionalen $\mathbb{K}$-Vektorraum in den eindimensionalen $\mathbb{K}$-Vektorraum $\mathbb{K}$ hat, z. B.

$$\displaystyle\varphi:\begin{pmatrix}v_{1}\\ \vdots\\ v_{n}\end{pmatrix}\mapsto v_{1}\,.$$

Antwort 9

Dort sind $V=\mathbb{K}^{n}$, $W=\mathbb{K}^{m}$ und $B$ und $C$ die jeweiligen Standardbasen.

Antwort 10

Das bedeutet, dass $C=B$ gilt.

Antwort 11

Der Kern ist der eindimensionale Untervektorraum $\langle\boldsymbol{n}\rangle$ des $\mathbb{R}^{3}$ und das Bild ist die zweidimensionale Ebene $E$ als Untervektorraum des $\mathbb{R}^{3}$.

Antwort 12

Ja, sie stellen lineare Abbildungen eines $n$-dimensionalen Raumes in einen $n$-dimensionalen Vektorraum dar.

Antwort 13

Jene Abbildungen mit Determinante $|\det\varphi|=1$.