Integrale – vom Sammeln und Bilanzieren

Zusammenfassung

Die Rekonstruktion der Größe einer Population aus der Geburten- und Sterberate, der Flächeninhalt krumm begrenzter Flächen, das Volumen von beliebig geformten Körpern, die Länge von Kurven, die bei Bewegung in einem Kraftfeld geleistete Arbeit, der Fluss einer Strömung durch ein Flächenstück – all diese Dinge lassen sich mit einem Konzept beschreiben und berechnen: dem Integral.

Neben der Differenzialrechnung ist die Integralrechnung die zweite tragende Säule der Analysis. Während sich die Differenzialrechnung in erster Linie mit dem lokalen Änderungsverhalten von Funktionen, also dem Verhalten im Kleinen befasst, macht die Integralrechnung globale Aussagen, behandelt also Aspekte im Großen. Es ist das Werkzeug, um zu bilanzieren, also aus Veränderungen, die im Lauf der Zeit passieren, einen Gesamtstand zu ermitteln. Entscheidend ist der enge Zusammenhang zwischen beiden Konzepten. Das Integrieren lässt sich als Umkehrung des Differenzierens auffassen.

Der Ansatzpunkt für den Integralbegriff ist das Problem der Fläche unter einem Graphen. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, sinnvoll zu einem Integralbegriff zu gelangen, wobei verschiedene Definitionen durchaus subtile Unterschiede aufweisen können. Diese Unterschiede sollen uns aber weniger kümmern. Deshalb wird ein Integralbegriff vorgestellt, der nach dem französischen Mathematiker Henri Leon Lebesgue (1875–1941) benannt ist. Dieser liefert relativ anschaulich die passende theoretische Grundlage für die vielfältigen Anwendungen der Integralrechnung.

Appendices

Zusammenfassung

Flächeninhalte unter Funktionsgraphen spielen in vielen Anwendungen eine große Rolle; sie erlauben eine Art Bilanzierung.

1.1 Die Integralrechnung fragt nach Flächeninhalten

Ausgehend vom Flächeninhalt unter dem Graphen einer Treppenfunktion, ist die Idee des Lebesgue’schen Integralbegriffs, den Flächeninhalt unter dem Graph einer Funktion durch Approximation des Integranden durch Treppenfunktionen zu definieren. Um die dem Problem angemessene Art der Approximation beschreiben zu können, müssen Nullmengen eingeführt werden.

1.2 Nullmengen in $\mathbb{R}$ sind Mengen der Länge null

Dabei nennen wir eine Menge $M\subseteq\mathbb{R}$ eine Nullmenge, wenn man sie mit abzählbar vielen Intervallen beliebig kleiner Gesamtlänge überdecken kann. Ein schönes Beispiel für eine Nullmenge sind die rationalen Zahlen.

Letztendlich definieren wir Integrale über einen speziellen Grenzprozess durch

$$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{k\to\infty}\int_{a}^{b}\varphi_{k}(x)\,\mathrm{d}x,$$

wobei mit $\varphi_{n}$ entsprechende Folgen von Treppenfunktionen bezeichnet sind.

1.3 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind integrierbar

Die Integrierbarkeit von Treppenfunktionen kann ohne Probleme auf stetige Funktionen ausgedehnt werden, solange der Integrationsbereich beschränkt und abgeschlossen ist.

1.4 Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens

Die wichtigsten Eigenschaften des Integrierens lassen sich in drei Merksätzen zusammenfassen. Der Mittelwertsatz,

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Zu einer stetigen Funktion $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ gibt es ein $z\in[a,b]$ mit

$$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=f(z)(b-a).$$

der erste Hauptsatz,

1. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Die Funktion $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ mit

$$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$$

zu einer stetigen Funktion $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ ist differenzierbar auf $(a,b)$ und es gilt

$$\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)\quad\text{f{\"u}r }x\in(a,b).$$

und der zweiten Hauptsatz, der eng mit dem Begriff der Stammfunktion verknüpft ist.

Definition der Stammfunktion

Es bezeichne $f$ eine auf einem offenen Intervall $(a,b)$ definierte Funktion. Jede differenzierbare Funktion $F:(a,b)\to\mathbb{R}$ mit $F^{\prime}=f$ heißt Stammfunktion von $f$.

Stammfunktionen einer Funktion unterscheiden sich höchstens um eine Konstante.

1.5 Mithilfe von Stammfunktionen lassen sich bestimmte Integrale berechnen

2. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Wenn $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ eine stetige und auf $(a,b)$ stetig differenzierbare Funktion ist mit integrierbarer Ableitung $F^{\prime}$, d. h. $F^{\prime}\in L((a,b))$, dann gilt

$$\displaystyle\int_{a}^{b}F^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$

1.6 Integrale über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen

Treppenfunktionen lassen sich auch auf unbeschränkten Intervallen erklären. Man definiert Integrale über unbeschränkte Intervalle als Grenzwerte von Integralen über beschränkte Mengen.

Konvergenzkriterium für Integrale

Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ ist integrierbar über einem offenen Intervall $I$, d. h. $f\in L(I)$, wenn $f$ auf Teilintervallen $I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq\dots\subseteq I\subseteq\mathbb{R}$ mit $I=\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}I_{j}$ integrierbar ist, kurz $f\in L(I_{j})$ für $j\in\mathbb{N}$, und die Folge der Integrale

$$\displaystyle\left(\int_{I_{j}}|f(x)|\,\mathrm{d}x\right)_{j\in\mathbb{N}}$$

beschränkt ist. In diesem Fall gilt

$$\displaystyle\int_{I}f\,\mathrm{d}x=\lim_{j\rightarrow\infty}\int_{I_{j}}f\,\mathrm{d}x.$$

Zudem gibt es unbeschränkte, aber dennoch integrierbare Funktionen. Mit einer Majorante lässt sich die Existenz eines Integrals auch ohne Kenntnis einer Stammfunktion klären. Dazu sind Vergleichsfunktionen wie die Funktionen $f_{\alpha}$: $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, mit $f_{\alpha}(x)=1/x^{\alpha}$ besonders nützlich.

1.7 Geometrische Anwendungen des Integrals

Mittels Integration lassen sich verschiedene geometrische Größen bestimmen, etwa Volumen $V$ und Mantelfläche $M$ von Rotationskörpern, die durch Rotation des Graphen einer stetigen Funktion $f$ entstehen. Auch Bogenlängen von Funktionsgraphen zu einer differenzierbaren Funktion lassen sich bestimmen.

1.8 Parameterintegrale

Integrale, die von einem Parameter abhängen, sind nur unter gewissen Voraussetzungen stetig oder sogar stetig differenzierbar bezüglich dieses Parameters. Hinreichende Voraussetzungen ergeben sich dabei aus dem Lebesgue’schen Konvergenzsatz, der besagt, dass ein Grenzprozess mit einer Integration vertauscht werden darf, wenn eine integrierbare Majorante existiert.

1.9 Differenzierbarkeit nach einem Parameter

Die Ableitung eines Parameterintegrals

Sind $f(\,{\cdot}\,,x)$ für fast alle $x\in I$ differenzierbare Funktionen auf $[a,b]$ mit Ableitungen $f_{t}(\,{\cdot}\,,x)=(f(\,{\cdot}\,,x))^{\prime}$ und es gibt für alle $t\in[a,b]$ eine integrierbare Funktion $g\in L(I)$ mit $|f_{t}(t,x)|\leq g(x)$ für fast alle $x\in I$, so ist das Parameterintegral $G$ differenzierbar und es gilt

$$\displaystyle G^{\prime}(t)=\int_{I}\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\,\mathrm{d}x,\quad t\in[a,b].$$

Bonusmaterial

Die in diesem Kapitel zusammengestellte Lebesgue-Theorie erfordert einige Beweise, auf deren Darstellung wir im Text verzichtet haben. Das Bonusmaterial zu diesem Kapitel füllt diese Lücke. Die Aussagen des Kapitels werden wieder aufgegriffen. Es wird diskutiert, was im Einzelnen zu beweisen ist für eine sinnvolle Definition des Lebesgue-Integrals. Auch die zum Teil aufwendigen Beweise der Konsequenzen aus der Definition, bis hin zum Lebesgueschen Konvergenzsatz, werden vollständig präsentiert. Damit bietet sich dem Leser die Möglichkeit, seine Vorstellung vom Integralbegriff zu untermauern.

Aufgaben

Die Aufgaben gliedern sich in drei Kategorien: Anhand der Verständnisfragen können Sie prüfen, ob Sie die Begriffe und zentralen Aussagen verstanden haben, mit den Rechenaufgaben üben Sie Ihre technischen Fertigkeiten und die Anwendungsprobleme geben Ihnen Gelegenheit, das Gelernte an praktischen Fragestellungen auszuprobieren.

Ein Punktesystem unterscheidet leichte Aufgaben •, mittelschwere •• und anspruchsvolle ••• Aufgaben. Lösungshinweise am Ende des Buches helfen Ihnen, falls Sie bei einer Aufgabe partout nicht weiterkommen. Dort finden Sie auch die Lösungen – betrügen Sie sich aber nicht selbst und schlagen Sie erst nach, wenn Sie selber zu einer Lösung gekommen sind. Ausführliche Lösungswege, Beweise und Abbildungen finden Sie auf der Website zum Buch.

Viel Spaß und Erfolg bei den Aufgaben!

3.1 Verständnisfragen

11.1

• Zeigen Sie, dass sich zwei verschiedene Stammfunktionen $F_{1}$ und $F_{2}$ einer gegebenen Funktion $f$ höchstens um eine additive Konstante unterscheiden.

11.2

•• Wir betrachten eine in $[a,\,b]$ stetige Funktion $f$. Zeigen Sie, dass, wenn für alle in $[a,\,b]$ stetigen Funktionen $g$ mit $g(a)=g(b)=0$ stets

$$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x=0$$

ist, $f$ identisch null sein muss.

11.3

• Die folgenden Aussagen über Integrale über unbeschränkte Integranden oder unbeschränkte Bereiche sind falsch. Geben Sie jeweils ein Gegenbeispiel an.

• 1. Wenn $\int_{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}\,\mathrm{d}x$ existiert, dann existieren auch $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$ und $\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$.

• 2. Wenn $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$ und $\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$ existieren, dann existiert auch $\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x$.

• 3. Wenn $\int_{a}^{b}f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x$ existiert, dann existieren auch $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$ und $\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x$.

11.4

•• Bestimmen Sie für eine beliebige stetig differenzierbare Funktion $f$

$$\displaystyle\mathrm{e}^{x}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f(x)\,\mathrm{e}^{-x}\right)$$

und beweisen Sie: Ist $f$ auf $[0,\,1]$ stetig differenzierbar und gilt $f(0)=0$ sowie $f(1)=1$, so erhält man die Abschätzung

$$\displaystyle\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x\geq\frac{1}{\mathrm{e}}$$

11.5

•• Die Funktion $f$ sei integrierbar in $[a,\,b]$. Muss dann $f$ in $[a,\,b]$ eine Stammfunktion besitzen?

11.6

•• Finden Sie eine auf $[0,\,1]$ definierte Funktion $f$, die für alle $n\in\mathbb{N}_{0}$

$$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,x^{n}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+2}$$

erfüllt. Ist diese Funktion eindeutig?

11.7

•• Bestimmen Sie den Grenzwert

$$\displaystyle\lim_{\alpha\to-1}\int_{a}^{b}x^{\alpha}\,\mathrm{d}x$$

für $0<a<b$ und vergleichen Sie ihn mit dem Wert von $\int_{a}^{b}x^{-1}\,\mathrm{d}x$.

3.2 Rechenaufgaben

11.8

• Bestimmen Sie je eine Stammfunktion zu den Funktionen $f_{1}$ bis $f_{4}$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und Vorschrift:

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{1}(x)&\displaystyle=x^{3}\\ \displaystyle f_{2}(x)&\displaystyle=x^{3}+x^{2}+x+1\\ \displaystyle f_{3}(x)&\displaystyle=\mathrm{e}^{x}+\cos x\\ \displaystyle f_{4}(x)&\displaystyle=\mathrm{e}^{5x}-\frac{2}{1+x^{2}}+1\end{aligned}$$

11.9

•• Betrachten Sie eine beliebige auf $[a,\,b]$ stetige und streng monoton wachsende Funktion $f$. Finden Sie die Stelle $m\in(a,\,b)$, für die die Fläche, die vom Graphen $y=f(x)$ sowie den Geraden $x=a$, $x=b$ und $y=f(m)$ eingeschlossen wird, extremal ist.

11.10

•• Die Fresnel’schen Integrale $C$ und $S$ sind auf $\mathbb{R}$ gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle C(x)&\displaystyle=\int_{0}^{x}\cos(t^{2})\,\mathrm{d}t\\ \displaystyle S(x)&\displaystyle=\int_{0}^{x}\sin(t^{2})\,\mathrm{d}t\,.\end{aligned}$$

Bestimmen und klassifizieren Sie alle Extrema dieser Funktionen.

11.11

• Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ der auf $\mathbb{R}$ durch

$$\displaystyle f(x)=\cos x+\int_{0}^{x}\frac{\cos t}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t$$

definierten Funktion.

11.12

• Zeigen Sie für alle $x\in\mathbb{R}$

$$\displaystyle\int_{0}^{x}|t|\,\mathrm{d}t=\frac{x\,|x|}{2}\,.$$

11.13

•• Bestimmen Sie den Grenzwert

$$\displaystyle G=\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t\right)\,.$$

11.14

•• Bestimmen und klassifizieren Sie alle Extrema der auf $\mathbb{R}$ durch

$$\begin{aligned}\displaystyle f(x)&\displaystyle=x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}-\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t\,,\\ \displaystyle g(x)&\displaystyle=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t\end{aligned}$$

definierten Funktionen.

11.15

•• Ist die Funktion $f$ in $[0,\,1]$ integrierbar, so gilt wegen der Approximierbarkeit durch Treppenfunktionen

$$\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\,.$$

Bestimmen Sie damit die Grenzwerte

$$\begin{aligned}\displaystyle G_{1}&\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}\,,\\ \displaystyle G_{2}&\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{\alpha}}{n^{\alpha+1}}\;\;\mathrm{mit}\;\;\alpha> 0\,.\end{aligned}$$

11.16

• Man bestimme den Wert des Integrals

$$\displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{-2x}+\mathrm{e}^{-3x}+\mathrm{e}^{-4x}\right)\mathrm{d}x\,.$$

11.17

•• Überprüfen Sie die folgenden Integrale auf Existenz:

$$\begin{aligned}\displaystyle I_{1}&\displaystyle=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{e}^{x}\,(\sqrt{x}+x)}\\ \displaystyle I_{2}&\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+\sqrt{x}}\\ \displaystyle I_{3}&\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\,(1+\sqrt{x})}\end{aligned}$$

11.18

•• Zeigen Sie unter Benutzung von

$$\displaystyle\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{1+x}}\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=2\,,$$

dass das Integral

$$\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

existiert, und geben Sie eine Abschätzung an.

11.19

•• Man überprüfe das Integral

$$\displaystyle I=\int_{0}^{1/\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,|\ln x|}$$

auf Existenz.

11.20

•• Man zeige mittels Vergleichskriterium, dass das Integral

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{\sin x}$$

nicht existiert.

11.21

•• Überprüfen Sie, ob der folgende Grenzwert existiert:

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{-\infty}^{0}\mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x$$

11.22

••• Berechnen Sie das Parameterintegral

$$\displaystyle J(t)=\int\limits_{0}^{1}\,\arcsin(tx)\,\mathrm{d}x\,,\qquad 0\leq t<1\,,$$

indem Sie zunächst dessen Ableitung $J^{\prime}(t)$ im offenen Intervall $0<t<1$ bestimmen. Schließen Sie hieraus auf $J(t),\leavevmode\nobreak\ 0\leq t<1$, zurück und bestimmen Sie die Integrationskonstante durch den Wert des Integrals an der Stelle $t=0$. Ist $J(t)$ nach $t=1$ stetig fortsetzbar?

11.23

••• Aus dem Intervall $[0,\,1]$ wird das offene Mittelintervall der Länge $\frac{1}{4}$, $(\frac{3}{8},\,\frac{5}{8})$, entfernt. Es bleiben die beiden Intervalle

$$\displaystyle I_{11}=\left[0,\,\tfrac{3}{8}\right]\qquad\text{und}\qquad I_{12}=\left[\tfrac{5}{8},\,1\right]$$

übrig, aus denen jeweils das offene Mittelintervall der Länge $\frac{1}{4^{2}}$ entfernt wird. Dies liefert die vier Intervalle

$$\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle I_{21}&\displaystyle=\left[0,\,\tfrac{5}{32}\right],&\displaystyle I_{22}&\displaystyle=\left[\tfrac{7}{32}\,\tfrac{12}{32}\right],\\ \displaystyle I_{23}&\displaystyle=\left[\tfrac{20}{32}\,\tfrac{25}{32}\right],&\displaystyle I_{24}&\displaystyle=\left[\tfrac{27}{32},\,1\right]\,.\end{aligned}$$

Analoges Fortfahren liefert im $n$-ten Schritt $2^{n}$ Intervalle. Im Grenzübergang wird die Vereinigung dieser Intervalle zu einer Cantormenge $C$, ähnlich wie auf S. 380 beschrieben. Bestimmen Sie das Maß $\mu(C)$ dieser Menge.

3.3 Anwendungsprobleme

11.24

• Nach der Meinung mancher Professoren ist die Lernrate $r$ vieler Studierender indirekt proportional zur Zeit $t$, die noch bis zur Prüfung übrig ist,

$$\displaystyle r(t)=\frac{\alpha}{t}$$

(mit einer Konstanten $\alpha> 0$). Was sind Ihrer Meinung nach die Probleme dieses Modells, würden Sie seinen Vorhersagen vertrauen? Wie würden Sie das Modell modifizieren, um es realistischer zu machen?

11.25

•• Im Folgenden sind alle Koordinaten in cm angegeben: Ein Glas entsteht durch Rotation des durch $y> 0$ bestimmten Astes der Hyperbel

$$\displaystyle y^{2}-x^{2}=1$$

(Innenfläche) sowie Rotation der Halbgeraden

$$\displaystyle y=x,\quad x\geq 0$$

(Außenfläche). Es wird nach oben durch die Ebene

$$\displaystyle y=c> 1$$

begrenzt. Bestimmen Sie für $c=3$ das Flüssigkeitsvolumen, das in dem Glas maximal Platz findet, sowie die Masse des leeren Glases, wenn dieses aus einem Material der Dichte

$$\displaystyle\rho=2.2\frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}$$

besteht. Ermitteln Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Masse eines leeren Glases mit Höhe $c$ und Dichte $\rho$.

11.26

••• Ein Spielkegel soll durch einen Rotationskörper beschrieben werden. Die Oberfläche dieses Körpers entsteht, indem der Graph von $f$ im Intervall $[0,\,5]$ um die $x$-Achse rotiert, wobei $f$ eine möglichst einfache differenzierbare Funktion sein soll, die folgende Eigenschaften besitzt:

• ein Randminimum an $x=0$ mit $f(0)=0$,

• ein lokales Maximum an $x=1$ mit $f(1)=1$,

• ein lokales Minimum an $x=\frac{3}{2}$ mit $f(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}$,

• ein lokales Maximum an $x=3$ mit $f(3)=2$,

• ein Randminimum an $x=5$ mit $f(5)=\frac{3}{2}$,

• keine weiteren Extrema in $(0,\,5)$.

Bestimmen Sie das Volumen des Kegels für Ihre Modellfunktion. Geben Sie den Bereich an, in dem das Volumen eines solchen Kegels für alle zulässigen Modellfunktionen liegen muss.

Antworten der Selbstfragen

Antwort 1

Einsetzen der Treppenfunktion $f$ liefert das Integral

$$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{10}(-1+2-3+\dots-9+10)=\frac{1}{2}.$$

Antwort 2

Für $a<b$ und eine Überdeckung, $\{J_{k}\,|\,k\in\mathbb{N}\}$, des Intervalls $(a,b)$ ist

$$\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}|J_{k}|\geq b-a\neq 0$$

Also gibt es etwa zu $\varepsilon=(b-a)/2$ keine abzählbare Überdeckung. Die Menge ist keine Nullmenge. Nur im Fall $a=b$, d. h. $(a,b)=\emptyset$, handelt es sich um eine Nullmenge.

Antwort 3

Um zu zeigen, dass $F$ Stammfunktion zu $f$ ist, berechnen wir die Ableitung

$$\displaystyle F^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x^{2}+1-x^{2}}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}.$$

Die zweite Stammfunktion sehen wir aus

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-\frac{1}{\mathrm{i}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}&\displaystyle=-\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos x-\mathrm{i}\sin x)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{\mathrm{i}}\sin x+\cos x=\cos x-\mathrm{i}\sin x=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}.\end{aligned}$$

Antwort 4

Aus der Tabelle der Stammfunktionen sehen wir sofort

$$\begin{aligned}\displaystyle I_{1}&\displaystyle=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-\int_{0}^{1}(-\mathrm{e}^{-x})\,\mathrm{d}x=-\left.\mathrm{e}^{-x}\right|_{0}^{1}\\ \displaystyle&\displaystyle=\left.\mathrm{e}^{-x}\right|_{1}^{0}=\mathrm{e}^{0}-\mathrm{e}^{-1}=1-\frac{1}{\mathrm{e}}\end{aligned}$$

und

$$\begin{aligned}\displaystyle I_{2}&\displaystyle=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x=\left.\arctan x\right|_{0}^{1}\\ \displaystyle&\displaystyle=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}.\end{aligned}$$

Antwort 5

5. ist richtig. Es ist kein Problem, Funktionen anzugeben, für die das entstehende Volumen größer oder kleiner ist. Sicher ist das erfüllt, wenn überall außer an den Randpunkten $f(x)> f(a)$ bzw. $0\leq f(x)<f(a)$ ist.

Antwort 6

3. ist richtig, der Oberflächeninhalt des Zylinders ist minimal. Gleichheit gilt nur für die konstante Funktion mit $f(x)=f(a)$ für alle $x\in[a,\,b]$.