Krümmung

Zusammenfassung

Der Krümmungsoperator wird als eine Kombination von kovarianten Ableitungen von Vektorfeldern eingeführt und impliziert den Krümmungstensor, der dann auch mit den Christoffel-Symbolen dargestellt werden kann. Die Jacobi-Identität impliziert eine Eigenschaft des Krümmungsoperators, die erste Bianchi-Identität genannt wird. Der Krümmungstensor wird auf den kovarianten Krümmungstensor umgerechnet, dessen Eigenschaften aufgelistet werden. Auf einer gekrümmten Fläche wird die Krümmung (Schnittkrümmungen, mittlere Krümmung,Gauß-Krümmung) mit der Weingarten-Abbildung beschrieben. Der Krümmungsskalar und damit auch die Gauß-Krümmung erweisen sich als biegeinvariant (theorema egregium von Gauß). Die Komponenten des Krümmungstensors werden für die Schwarzschild-Raumzeit berechnet. Effektiver ist die Berechnung des Krümmungstensors mit den Zusammenhangsformen und den Krümmungsformen.