Tensoren

Zusammenfassung

Zu einem linearen Raum E ist ein p-fach kontravarianter und q-fach kovarianter Tensor (kürzer (p,q)-Tensor) eine Abbildung, die p Linearformen auf E und q Vektoren aus E multilinear eine reelle Zahl zuordnet. Die Menge Epq aller (p,q)-Tensoren zu E ist ein linearer Raum der Dimension np+q, wobei n die Dimension von E ist. Das Tensorprodukt von zwei Tensoren zum gleichen Raum E ist das punktweise Produkt dieser beiden Abbildungen. Weitere Manipulationen sind das Kontrahieren und Überschieben. Wenn in E eine Basis ausgewählt wird, ergibt sich daraus in naheliegender Weise eine Basis in Epq. Ein Basiswechsel in E erzeugt einen Basiswechsel in Epq und damit eine Umrechnungsvorschrift für die Komponenten der Tensoren. Diese Formeln werden in der Physik häufig zur Einführung des Tensorbegriffs benutzt. Wenn E ein euklidischer Raum ist, gibt es dort das Skalarprodukt g. Das ist ein (0,2)-Tensor, der dann das Indexziehen ermöglicht.