Tangentenvektoren

Zusammenfassung

Was ein Tangentenvektor in einem Punkt einer glatten Fläche im dreidimensionalen Raum ist, ist anschaulich klar. Die Menge aller Tangentenvektoren in diesem Punkt bilden einen zweidimensionalen Raum, den Tangentialraum. Jeder Tangentenvektor erzeugt eine Richtungsableitung. Das ist eine lineare Abbildung auf der Menge aller differenzierbaren reellwertigen Funktionen, für die außerdem eine Produktregel gilt. Jeder Tangentenvektor lässt sich durch die Wirkung, die er als Richtungsableitung auf die differenzierbaren Funktionen hat, identifizieren. Das ermöglicht die Übertragung des Begriffs des Tangentenvektors auf Mannigfaltigkeiten. Ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit ordnet jedem Punkt einen Tangentenvektor in diesem Punkt zu. Eine besondere Rolle spielen die Koordinatenvektorfelder. Die Lie-Klammer ist eine bilineare Operation in der Menge der Vektorfelder. Sie erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität.