Integration auf Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Integrale auf einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit verallgemeinern die klassischen Begriffe der Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale erster und zweiter Art. Der Verwendung einer Parameterdarstellung entspricht die Umrechnung auf eine Karte. Wenn es keine Karte gibt, deren Definitionsbereich den Träger des Integranden umfasst, muss die Funktion konstant 1 in Summanden zerlegt werden, deren Träger in Definitionsbereichen von Karten liegen. Dann lässt sich das Integral als Summe von Integralen darstellen, für deren Berechnung die entsprechende Karte verwendet werden kann. Für berandete Mannigfaltigkeiten lässt sich ein sehr eleganter Integralsatz beweisen, der als Spezialfälle die klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes umfasst. Mit dem allgemeinen Integralbegriff lässt sich ein Extremalproblem formulieren, dessen Lösung die Einsteinsche Feldgleichung ist.