Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Vereinfachungen der Maxwellgleichungen besprochen, die sich unter Zugrundelegung bestimmter Annahmen ergeben. Dazu gehören die Elektrostatik, das stationäre Strömungsfeld sowie die Magnetostatik. Im Bereich der Elektrostatik werden zunächst einfache symmetrische Ladungsverteilungen behandelt und das Skalarpotential eingeführt. Anschließend werden Randwert- und Ganzraumprobleme für die Laplace- und Poissongleichung diskutiert, was auch Eindeutigkeitsfragen beinhaltet. Der Begriff der Fundamentallösung wird eingeführt. Nach der Elektrostatik wird auf das stationäre Strömungsfeld eingegangen. Im Bereich der Magnetostatik werden das Vektorpotential, das Skalarpotential und verschiedene Formen des Gesetzes von Biot-Savart behandelt. Schließlich werden einige Grundlagen im Bereich der Elektrodynamik präsentiert.
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Notes
- 1.
In den folgenden Abschnitten wird noch formell gezeigt, dass elektrostatische Probleme immer nur eine eindeutige Lösung besitzen können (vgl. Regel 4.1).
- 2.
Aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen ist bekannt, dass eine solche Vorgehensweise zulässig ist, obwohl Differentialquotienten keine echten Quotienten sind.
- 3.
Dies werden wir in Abschn. 4.1.12 ausführlicher begründen.
- 4.
Auf der Oberfläche von Leitern muss das Potential konstant sein, da sich andernfalls gemäß \(\vec{E}=-\operatorname{grad}\Phi\) ein elektrisches Feld ausbilden würde, das zu einer Verschiebung der Ladungen führen würde. Diese Ladungsbewegung widerspricht aber der Annahme statischer Bedingungen. In der Elektrostatik müssen solche Ausgleichsvorgänge also bereits abgeschlossen sein, die Oberfläche der Elektrode ist eine Äquipotentialfläche; unabhängig davon, ob deren Leitfähigkeit endlich oder unendlich ist.
- 5.
Im strengen Sinne der Distributionentheorie handelt es sich hierbei um das direkte Produkt bzw. Tensorprodukt, sodass man ein spezielles Multiplikationssymbol zwischen die Faktoren setzen würde.
- 6.
- 7.
Hierzu betrachtet man vom äußeren Gebiet \(V\) den Teil, der innerhalb einer Kugel mit dem Radius \(R\) liegt. Wählt man den Radius \(R\) hinreichend groß, dann kann man den Rand dieses neuen Gebietes in den Rand des Inneren \(\partial G_{i}\) sowie in den Rand der Kugel \(\partial K\) zerlegen. Das Integral auf der rechten Seite von (4.31) zerfällt dann in zwei Integrale über \(\partial G_{i}\) und \(\partial K\). Für das Integral über \(\partial G_{i}\) kann man über die Randbedingungen wie beim Innenraumproblem zeigen, dass es verschwindet. Beim Integral über \(\partial K\) kann man die Randbedingung
$$\Phi=\mathcal{O}(|\vec{r}|^{-1})\Rightarrow\frac{\partial\Phi}{\partial n}=\frac{\partial\Phi}{\partial r}=\mathcal{O}(|\vec{r}|^{-2})$$im Unendlichen ausnutzen, sodass
$$\left|{}\int_{\partial K}\Psi\frac{\partial\Psi}{\partial n}\mathrm{d}A\right|\leq\int_{\partial K}|\Psi|\left|\frac{\partial\Psi}{\partial n}\right|\mathrm{d}A\leq\int_{\partial K}\frac{C}{R^{3}}\mathrm{d}A\leq\frac{4\pi R^{2}C}{R^{3}}$$gilt. Das Integral über \(\partial K\) verschwindet also für \(R\rightarrow\infty\). Diese Beweisskizze zeigt somit, wie man die Eindeutigkeit der Lösung auch für Außenraumprobleme nachweist.
- 8.
Doppelschichten schließen wir wieder aus.
- 9.
s. dazu auch Anhang A.6.
- 10.
Diese Festlegung der Divergenz des Vektorpotentials nach (4.45) bezeichnet man als Coulombeichung.
- 11.
Alternativ kann man das betrachtete Gebiet auch durch andersartige geeignete Schnitte so wählen, dass keine geschlossene Kurve Aussparungen umschließen kann, die einen Nettostrom führen.
- 12.
Nur auf dem Leiter ist \(\vec{J}(\vec{r}_{0})\) ungleich null, sodass auch nur über das vom Leiter eingenommene Volumen integriert werden muss.
- 13.
s. dazu auch Anhang A.6.
- 14.
Diese Festlegung der Divergenz des Vektorpotentials nach (4.81) bezeichnen die meisten Bücher als Lorentzeichung. In Jackson 2002 wird darauf hingewiesen, dass diese Eichung nicht auf H. A. Lorentz, sondern auf L. V. Lorenz zurückgeht.
- 15.
Dass es sich bei \(c\) tatsächlich um die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle handelt, wenn \(-1/c^{2}\) der Koeffizient von \(\ddot{\vec{A}}\) ist, wird in Abschn. 5.13 bestätigt werden.
- 16.
\(\vec{A}\) und \(A_{x}\) sind komplexe Amplituden; auf den Unterstrich wird der Einfachheit wegen verzichtet.
- 17.
Wenn auch Randbedingungen am Anfang und am Ende des Hohlleiters, also auf dem gesamten Rand des betreffenden Gebietes, angegeben werden, lässt sich natürlich auch in der Elektrodynamik eine eindeutige Lösung erzwingen.
- 18.
Ein solcher Ansatz, der \(\operatorname{div}\vec{E}=0\) impliziert, ist möglich, weil das Innere des Hohlleiters ladungsfrei ist.
- 19.
Nicht nur die Phasengeschwindigkeit, sondern auch die Gruppengeschwindigkeit
$$v_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\beta}=\left(\frac{\mathrm{d}\beta}{\mathrm{d}\omega}\right)^{-1}$$wird als Ausbreitungsgeschwindigkeit oder Fortpflanzungsgeschwindigkeit bezeichnet. Oftmals, aber nicht immer, kann sie als Signalübertragungsgeschwindigkeit gedeutet werden. Damit dies sichergestellt ist, muss man geeignete Forderungen aufstellen, wie zum Beispiel das Vorliegen normaler Dispersion (das heißt, die Gruppengeschwindigkeit \(v_{\mathrm{g}}\) ist kleiner als die Phasengeschwindigkeit \(v_{\mathrm{p}}\)), schmalbandige Signale, geringe Dispersion, nur langsam zerfließende Signale, verlustarme Ausbreitungsmedien, hinreichende Linearität von \(\beta(\omega)\) im betrachteten Frequenzbereich, etc.
- 20.
Der Ansatz \(\vec{H}\sim\operatorname{rot}\vec{A}\) ist allerdings allgemeiner, da keine Raumladungsfreiheit vorausgesetzt werden muss.
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Klingbeil, H. (2018). Klassifikation feldtheoretischer Probleme und Potentialansätze. In: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie . Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56600-8_4
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