Zusammenfassung
Aus dem Vorgängerkapitel ist bekannt, wie sich die elektromagnetischen Feldgrößen zwischen zwei Inertialsystemen transformieren. Diese Kenntnis erlaubt es nun im vorliegenden Kapitel, Induktionsphänomene, die durch die Bewegung von Bauteilen auftreten, besser zu verstehen. Dabei wird die Geschwindigkeit des jeweiligen Bauteils zunächst als Konstante im Sinne der Lorentztransformation interpretiert. Als Beispiele dienen eine Leiterschleife, die im Magnetfeld bewegt wird, sowie die sogenannte unipolare Induktion. Anschließend wird das Induktionsgesetz für den Fall diskutiert, dass die Geschwindigkeit als die der jeweiligen Materie interpretiert wird. Hierfür werden dieselben Anwendungsbeispiele betrachtet wie zuvor. Schließlich werden Induktionsspannungsberechnungen diskutiert, die auf Änderungen des magnetischen Flusses basieren.
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Notes
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Man fragt sich nun vielleicht, in welcher Weise das Flächenelement \(\mathrm{d}\vec{A}\) zu transformieren ist, da die Fläche \(A(t)\) natürlich gekrümmt sein darf. Man kann jeden Punkt \((x,y,z)\) der Integrationsfläche \(A(t)\) durch eine Parametrisierung beschreiben, sodass die kartesischen Koordinaten Funktionen von den beiden Parametern \(\alpha\) und \(\beta\) werden. Es gilt also \(x=\bar{x}(\alpha,\beta)\), \(y=\bar{y}(\alpha,\beta)\) und \(z=\bar{z}(\alpha,\beta)\), wobei sich die kartesischen Koordinaten zu einem Ortsvektor \(\vec{f}=x\vec{e}_{x}+y\vec{e}_{y}+z\vec{e}_{z}\) zusammenfassen lassen. Damit lässt sich das Flächenelement gemäß (B.26) bestimmen zu \(\mathrm{d}\vec{A}=\left(\frac{\partial\vec{f}}{\partial\alpha}\times\frac{\partial\vec{f}}{\partial\beta}\right)\;\mathrm{d}\alpha\;\mathrm{d}\beta\). Das Flächenintegral geht hierbei in ein Doppelintegral über. Betrachtet man nun statt der Koordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) die Koordinaten \(\tilde{x}\), \(\tilde{y}\) und \(\tilde{z}\) sowie statt der Fläche \(A(t)\) die Fläche \(A(0)\), so stellt man fest, dass sich diese Fläche durch exakt dieselbe Parametrisierung \(\tilde{x}=\bar{x}(\alpha,\beta)-v_{x}t\), \(\tilde{y}=\bar{y}(\alpha,\beta)-v_{y}t\), \(\tilde{z}=\bar{z}(\alpha,\beta)-v_{z}t\) darstellen lassen muss, da beide Flächen kongruent sind. Es gilt also \(\mathrm{d}\vec{\tilde{A}}=\left(\frac{\partial\vec{f}}{\partial\alpha}\times\frac{\partial\vec{f}}{\partial\beta}\right)\;\mathrm{d}\alpha\;\mathrm{d}\beta\), wobei es sich bei \(\frac{\partial\vec{f}}{\partial\alpha}\times\frac{\partial\vec{f}}{\partial\beta}\) um dieselbe Funktion wie oben handelt. Bei der Koordinatentransformation darf also einfach \(\mathrm{d}\vec{A}\) durch \(\mathrm{d}\vec{\tilde{A}}\) ersetzt werden.
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Man beachte, dass sich die Form der Integrationsfläche zeitlich nicht ändern darf, wenn (7.20) gelten soll.
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\(\vec{v}_{\alpha,\text{min}}\) und \(\vec{v}_{\alpha,\text{max}}\) müssen der in \(\alpha\)-Richtung zeigenden Komponente von \(\vec{v}\) entsprechen, \(\vec{v}_{\beta,\text{min}}\) und \(\vec{v}_{\beta,\text{max}}\) der in \(\beta\)-Richtung weisenden Komponente.
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Klingbeil, H. (2018). Induktionsgesetz für bewegte Körper. In: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene . Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56598-8_7
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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