Zusammenfassung
Im letzten Kapitel wird im Rahmen der Rungetheorie das Cauchytheorem aufgegriffen, um verschiedene Ergebnisse über die gleichmäßige und die lokal gleichmäßige Approximation holomorpher Funktionen durch rationale Funktionen beziehungsweise Polynome zu beweisen. Anwendung findet der Rungesatz für polynomiale Approximation unter anderem im letzten Abschnitt. Dort wird in zwei Situationen ein Eindruck davon vermittelt, wie kompliziert die Verhältnisse typischerweise werden, wenn es um das Randverhalten holomorpher Funktionen geht.
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Notes
- 1.
Die Theorie der gleichmäßigen Approximation auf kompakten Teilmengen von \(\mathbb {C}\) durch Polynome oder rationale Funktionen ist tiefliegend und facettenreich, wie etwa [2] zu entnehmen ist.
- 2.
Genaueres dazu und zur Rungetheorie allgemein findet sich zum Beispiel in [5].
- 3.
Wir haben es hier zu tun mit einem typischen Beispiel von linearem Chaos. Eine systematische Einführung in die spannende Theorie findet man in [3].
- 4.
Man könnte in diesem Sinne von der Menge solcher komplizierten Objekte als einer Art ,,dunkler Materie“ in der Mathematik sprechen.
- 5.
- 6.
Der berühmte und sehr tiefliegende Satz von Carleson impliziert, dass für alle \(f \in A(\overline {\mathbb {D}})\) die Teilsummenfolge (s n f) fast überall auf \(\mathbb {S}\) gegen f konvergiert.
Literatur
Erdös, P., Herzog, F., Piranian, G.: On Taylor series of functions regular in Gaier regions. Arch. Math. 5, 39–52 (1954)
Gaier, D.: Vorlesungen über Approximation im Komplexen. Birkhäuser, Basel (1980)
Grosse-Erdmann, K.-G., Peris-Manguillot, A.: Linear Chaos. Springer, London (2011)
Herzog, G., Kunstmann, P.C.: Universally divergent Fourier series via Landau’s extremal functions. Comment. Math. Univ. Carol. 56, 159–168 (2015)
Remmert, R.: Funktionentheorie II. Springer, Berlin (1991)
Rudin, W.: Real and Complex Analysis. 3. Aufl. McGraw-Hill, New York (1987)
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Müller, J. (2018). Extras: Rungetheorie und Anwendungen. In: Konzepte der Funktionentheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56260-4_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56260-4_7
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-56259-8
Online ISBN: 978-3-662-56260-4
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