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Theoretische Grundlagen

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Verallgemeinerte newtonsche Fluide

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Zusammenfassung

Um einen theoretischen Überblick über die in dieser Arbeit auftretenden Transportmechanismen und deren Annahmen zu erhalten, werden zu Beginn die kontinuumsmechanischen Grundlagen des Stoff- und Wärmetransportes erläutert. Dazu werden basierend auf der Kontinuumsannahme die kinematischen Grundlagen der Strömungsmechanik eingeführt. Es folgen die Fachbegriffe der Kinematik und der Verformungskinematik mit ihren Maßen. Die auf das Fluid einwirkenden und eine Fluidbbewegung auslösenden äußeren und inneren Kräfte werden in der Dynamik behandelt. Die Interaktion der Kräfte und Strömungsgrößen führt auf die Herleitung der Bilanz- bzw. Erhaltungsgleichungen. Zudem wird auf die Zustandsgleichungen, den Wärme- und Temperaturtransport eingegangen.

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Notes

  1. 1.

    Wobei er selbst auf Euler verweist.

  2. 2.

    Hier beispielhaft eine skalare Größe betrachtet.

  3. 3.

    Im Englischen findet sich auch der Begriff fluid-frame time derivative.

  4. 4.

    Es findet sich häufig auch das Symbol \(\frac{d}{dt}\), das hier jedoch als raumfeste totale Ableitung verstanden werden soll.

  5. 5.

    Die partiellen Ableitungen werden durch das Symbol \(\partial\) gekennzeichnet.

  6. 6.

    Da die Gibbsche Notation verwendet wird, wird der räumliche Ableitungsoperator mit \(grad\) bezeichnet, alternativ findet man in der Literatur eine Notation in Nabla-Scheibweise mit dem Symbol ∇.

  7. 7.

    Auch hier wird der Notation von Böhme [6] gefolgt.

  8. 8.

    Es wird die Gibbsche Notation verwendet, daher die Schreibweise div.

  9. 9.

    Man findet auch die Bezeichnung Rotationstensor, doch diese kann verwirren, denn im Englischen ist der „rotatation tensor“ der Drehtensor, der in Abschn. 2.3.5.3 beschrieben wird. Der „spin tensor“ ist der Drehgeschwindigkeitstensor.

  10. 10.

    Da die Gibbsche Notation verwendet wird, wird für die räumliche Ableitung in lagrangescher Betrachtung das Symbol Grad verwendet.

  11. 11.

    Häufig wird anstelle von \(\mathbf{E}\) die Bezeichnung \(\mathbf{H}\) benutzt, da auch der Begriff Hamel-Almansi Dehnungsmaß geläufig ist.

  12. 12.

    Die Geschwindigkeitskomponenten im Kartesischen werden hier mit u, v, w bezeichnet.

  13. 13.

    In der Literatur findet sich häufig auch eine Definition des Deformationstensors ohne den Vorfaktor \(\frac{1}{2}\), dieser muss in den Berechnungen entsprechend berücksichtigt werden.

  14. 14.

    Im Englischen findet sich daher auch der Begriff strain rate für die Verzerrungsrate, manchmal auch mean shear rate für die allg. Scherrate.

  15. 15.

    Uniaxial wird mit u indiziert, biaxial mit b.

  16. 16.

    Mit dem Symbol \(\eth\) wird hier die allgemeine objektive Ableitung gekennzeichnet.

  17. 17.

    Häufig wird nicht sauber unterschieden, jedoch bezieht sich der Begriff Scherspannung auf die Wirkung der Kraft, diese löst eine Scherung aus, was z. B. zu einer Schichtenströmung führt. Dahingegen zielt der Begriff Schubspannung darauf ab, dass mit dieser Kraft Material auch verschoben werden kann.

  18. 18.

    Der Begriff Reibung wird in der Regel mit Schub- bzw. Scherspannungen verbunden, weniger mit Normalspannungen, diese treten jedoch im Extraspannungs- bzw. Reibungsspannungstensor weiterhin auf.

  19. 19.

    Es sei zu Gl. (2.214) noch angemerkt, dass es sich auch eine Schreibweise findet, wo der Divergenzterm auf der rechten Seite auch ein negatives Vorzeichen besitzt, siehe z. B. die Ausführungen im Lehrbuch von Durst [16]. Das negative Vorzeichen liegt darin begründet, dass der Reibungsspannungsterm als Reaktionsterm interpretiert wird, da er der Strömung sozusagen entgegenwirkt. Hier jedoch wird der Schnittuferkonvention der Mechanik gefolgt, daher das positive Vorzeichen. Welcher der beiden Argumentationen gefolgt wird, sollte sich nicht nur aus den Gleichungen entnehmen lassen sondern auch in den verwendeten Skizzen kenntlich gemacht werden.

  20. 20.

    Manchmal verschwimmt in der Literatur die Unterscheidung in die Zustandsgröße Energie E, in die Prozessgröße Arbeit W und in die Flussgröße Wärmestrom \(\dot{Q}\).

  21. 21.

    U ist das in der Thermodynamik verwendete Symbol.

  22. 22.

    Die Gesamtwärmemenge wird mit dem Symbol Q belegt.

  23. 23.

    In dieser Arbeit wird das Schnittprinzip der Mechanik als Konvention für die Vorzeichen herangezogen.

  24. 24.

    In der Thermodynamik wird die Größe meist mit dem Buchstaben u gekennzeichnet.

  25. 25.

    Auch hier ist die Schreibweise nicht einheitlich, daher findet man auch andere Symbole wie z. B. γ.

  26. 26.

    Daher wird häufig auch der Begriff Wandwärmefluss verwendet.

  27. 27.

    Vom Lateinischen convectum – mitgetragen.

  28. 28.

    Es sollen hier keine Lösungen verschiedener Spezies oder Konzentrationsunterschiede betrachtet werden.

  29. 29.

    Anstelle der normalerweise zu verwendenden vektoriellen Größe \(\dot{\mathbf{q}}_W\) wird sich hier nur auf die wandnormale Komponente konzentriert, die mit \(\dot{q}_W\) bezeichnet wird.

  30. 30.

    Je nach Problemstellung, Kühl- oder Heizfall, kann die Temperaturdifferenz umgekehrt definiert sein. Hier ist der ins Fluid einfließender Wärmestrom positiv definiert.

  31. 31.

    Bei niedrigviskosen Fluiden ist die durch Dissipation erzeugte Wärme gering, dies ändert sich für höherviskose Fluide in Abhängigkeit von der Strömung.

  32. 32.

    Für Fluide verschiedener Spezies entspricht dies dem Polytropenexponenten.

  33. 33.

    Anstelle des korrekten Begriffes Temperaturtransportgleichung wird häufig für diese Gleichung auch der Begriff Wärmetransportgleichung verwendet.

  34. 34.

    Diese Form der Gleichung ist für die später betrachtete Finite Volumen Methode wesentlich.

  35. 35.

    unter der speziellen Annahme, dass der Koordinateneinheitsvektor \(\mathbf{e}_z\) entsprechend der Wirklinie der Gravitation ausgerichtet ist.

Literatur

  1. H. Altenbach, Kontinuumsmechanik: Einführung in die Materialunabhängigen und Materialabhängigen Gleichungen (Springer, Berlin, Heidelberg, 2015). ISBN 9783662470701

    Google Scholar 

  2. R. Aris, Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1962)

    Google Scholar 

  3. H. D. Baehr, S. Kabelac, Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen. Springer-Lehrbuch (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2012). ISBN 9783642241604

    Chapter  Google Scholar 

  4. H. D. Baehr, K. Stephan, Wärme- und Stoffübertragung (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2010). ISBN 9783642101946

    Chapter  Google Scholar 

  5. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Mathematical Library (Cambridge University Press, Cambridge, 2000). ISBN 9780521663960

    Google Scholar 

  6. G. Böhme, Strömungsmechanik nichtnewtonscher Fluide. Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik (Teubner, Stuttgart, 2000). ISBN 9783519123545

    Book  Google Scholar 

  7. J. Boussinesq, Théorie de l écoulement tourbillant. Mem. Présentés par Divers Savants Acad. Sci. Inst. 23(46), (1877)

    Google Scholar 

  8. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik (Harri Deutsch, Frankfurt/M, 2008). ISBN 9783817120079

    Google Scholar 

  9. K. Burg, F. Wille, H. Haf, Höhere Mathematik für Ingenieure, Vektoranalysis und Funktionentheorie, Bd. 4. (B. G. Teubner, Stuttgart, 1990). ISBN 9783834812186

    Google Scholar 

  10. S. Childress, An Introduction to Theoretical Fluid Mechanics. Courant Lecture Notes (Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, 2009). ISBN 9780821848883

    Google Scholar 

  11. M. S. Chong, A. E. Perry, A general classification of three-dimensional flow fields. Phys. Fluids A2(2), 765–777 (1990)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  12. A. J. Chorin, J. E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Texts in Applied Mathematics (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1993). ISBN 9780387979182

    Book  Google Scholar 

  13. U. Dallmann, Topological structures of three-dimensional flow separations. Technical report (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, Köln, 1982)

    Google Scholar 

  14. U. Dallmann, On the formation of three-dimensional vortex flow structures. Technical report (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, Köln, 1985)

    Google Scholar 

  15. J. M. Dealy, K. F. Wissbrun, Melt Rheology and Its Role in Plastics Processing – Theory and Applications (Kluwer Academics Publisher, Dordrecht, 1999)

    Chapter  Google Scholar 

  16. F. Durst, Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömung von Fluiden (Springer, Berlin, Heidelberg, 2006). ISBN 9783540313236

    Google Scholar 

  17. J. B. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur (Chez Firmin Didot, pére et fils, Paris, 1822)

    Google Scholar 

  18. G. Galdi, A. M. Robertson, Mathematical Modeling of Non-Newtonian Fluids with Applications. (World Scientific Publishing Company, Singapur, 2011). ISBN 9789812838032

    Google Scholar 

  19. H. Giesekus, Phänomenologische Rheologie: Eine Einführung (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1994). ISBN 9783540575139

    Book  Google Scholar 

  20. D. D. Gray, A. Giorgino, The validity of the Boussinesq approximation for liquids and gases. Int. J. Heat Mass Transf. 19, 545–551 (1975)

    Article  Google Scholar 

  21. A. E. Green, P. M. Naghdi. A note on invariance under superposed rigid body motions. J. Elast. 9, 1–8 (1979)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  22. P. Haupt, Continuum Mechanics and Theory of Materials. Advanced Texts in Physics (Springer, Berlin, Heidelberg, 2002). ISBN 9783540431114

    Book  Google Scholar 

  23. C. A. Hieber, Modelling the pvt behavior of isotactic polypropylene. Intern. Polym. Proc. XII(3), 249–256 (1997)

    Article  Google Scholar 

  24. G. Jaumann, Geschlossenes System physikalischer und chemischer Differentialgesetze. Sitzgsberichte. Akad. Wiss. Wien (IIa) 120, 385–530 (1911)

    Google Scholar 

  25. J. L. Lagrange, Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides. Oeuvres de Lagrange 4, 695–748 (1781)

    Google Scholar 

  26. W. H. Müller, Streifzüge durch die Kontinuumsmechanik (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2011). ISBN 978-3-642-19869-4

    Google Scholar 

  27. P. M. Naghdi, Paul M. Naghdi Papers (College of Engineering, University of California, Berkeley, CA, 1943)

    Google Scholar 

  28. P. M. Naghdi, Mechanics of solids, ch. the theory of shells and plates. In Handbuch der Physik, Bd. VIa/2, Hrsg. C. Truesdell (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1972), S. 425–640

    Chapter  Google Scholar 

  29. I. S. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Royal Society of London, London, 1687)

    Google Scholar 

  30. I. S. Newton, Scala graduum caloris. Philos. Trans. 12, 824-829 (1701)

    Google Scholar 

  31. J. G. Oldroyd, A rational formulation of the equations of plastic flow for a Bingham solid. Proc. Camb. Philos. Soc. 43, 100–105 (1947)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  32. J. G. Oldroyd, On the formulation of rheological equations of state. Proc. R. Soc. Lond. 200(1063), 523–541 (1950)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  33. R. A. Orwoll, Densities, coefficients of thermal expansion, and compressibilities of amorphous polymers, in Physical Properties of Polymers Handbook, Hrsg. J. E. Mark (Springer, New York, 2007), S. 93–101. ISBN 978-0-387-31235-4

    Chapter  Google Scholar 

  34. W. Polifke, J. Kopitz, Wärmeübertragung (Pearson Studium, München, 2005). ISBN 978-3-8273-7104-1

    Google Scholar 

  35. W. J. Reyn, Classification and description of the singular points of a system of three linear differential equations. ZAMM J. Appl. Math. Mech. 15, 540–557 (1964)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  36. R. L. Ricca, An Introduction to the Geometry and Topology of Fluid Flows. North Atlantic Treaty Organization. Scientific Affairs Division, NATO Science Series: Mathematics, Physics, and Chemistry (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001). ISBN 9781402002076

    Google Scholar 

  37. G. Schenkel, Zur Entwicklung und praktischen Anwendung der thermischen Zustandsgleichung für Kunststoffe (VDI Verlag GmbH, Düsseldorf, 1979)

    Google Scholar 

  38. W. R. Schowalter, Mechanics of Non-Newtonian Fluids (Pergamon Press, London, 1978)

    Google Scholar 

  39. J. Spurk, N. Aksel, Fluid Mechanics (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2010). ISBN 9783642092671

    Google Scholar 

  40. J. F. Stevenson, Elongational flow of polymer melts. AIChE J. 18(3), 540–547 (1972)

    Article  Google Scholar 

  41. P. G. Tait, Report on Some of the Physical Properties of Fresh Water and Sea Water, report on the scientific results of the voyage of H.M.S. Challenger during the years 1873–76. Phys. Chem. 2, 1–76 (1888)

    Google Scholar 

  42. D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics (Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, 1988). ISBN 9780198544937

    Google Scholar 

  43. E. Truckenbrodt, Fluidmechanik: Band 1: Grundlagen und elementare Stromungsvorgänge dichtebeständiger Fluide. Fluidmechanik (Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1996). ISBN 9783540585121

    Google Scholar 

  44. C. Truesdell, A New Definition of a Fluid: The Stokesian fluid. Number Teil 1 in NRL report. (Naval Research Laboratory, Washington, 1949)

    Google Scholar 

  45. C. Truesdell, W. Noll, The Non-Linear Field Theories of Mechanics, Bd. 3 (Springer, Berlin, 2004). ISBN 9783540027799

    Chapter  Google Scholar 

  46. C. Truesdell, K. R. Rajagopal, An Introduction to the Mechanics of Fluids. Modern Birkhäuser Classics (Birkhäuser, Boston, 2008). ISBN 9780817648459

    Google Scholar 

  47. K. Wieghardt. Theoretische Strömungslehre. Göttinger Klassiker der Strömungmechanik. (Univ.-Verlag, Göttingen, 2006). ISBN 9783938616338

    Google Scholar 

  48. H. Xiao, O. T. Bruhns, A. Meyers. A natural generalization of hypoelasticity and eulerian rate type formulation of hyperelasticity. J. Elast. 56, 59-93 (1999)

    Google Scholar 

  49. S. Zaremba. Sur la forme perfectionée de la théorie de la relaxation. Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie. C1. Sci. Math. Nat. 8, 594–614 (1903)

    Google Scholar 

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  1. Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt, Göttingen, Deutschland

    Markus Rütten

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Rütten, M. (2019). Theoretische Grundlagen. In: Verallgemeinerte newtonsche Fluide. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56226-0_2

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