Ganzzahlige Probleme

Zusammenfassung

Probleme mit ganzzahligen Variablen sind weitaus schwieriger zu lösen als Probleme mit reellen Variablen. Bei ganzzahligen Problemen kann mit wachsender Anzahl von Variablen der Lösungsaufwand, d. h. der Speicherplatzbedarf und die Laufzeit, exponentiell ansteigen. Für viele Probleme reicht es aus, wenn man sich auf das Berechnen einer reellen Lösung beschränkt, auch wenn die Variablen streng genommen ganzzahlig sein sollten. Man rundet dann einfach auf die nächste ganze Zahl und erhält so eine zwar nicht exakte, aber dennoch zufriedenstellende Lösung. Für andere Probleme, z. B. das Knapsack-Problem, ist die Bedingung der Ganzzahligkeit unabdingbar. In diesem Abschnitt wollen wir diesen Sachverhalt etwas genauer untersuchen und ein Verfahren zur Lösung ganzzahliger Probleme vorstellen.

Aufgaben

Aufgabe A.1 (Cutting-Plane-Verfahren)

Berechnen Sie eine optimale ganzzahlige Lösung des Beispielproblems aus Abschn. 8.2

$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+2x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad 6x_{1}+5x_{2}&\displaystyle\leq 30\qquad\text{(I)}\\ \displaystyle 4x_{1}+9x_{2}&\displaystyle\leq 36\qquad\text{(II)}\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0,\end{aligned}$$

mit dem Cutting-Plane-Verfahren und verwenden Sie für die Schnittrestriktionen jedoch diesmal das zweite Auswahlkriterium.

Hinweis: Diese Aufgabe erfordert viel Geduld und sorgfältiges Rechnen. Sie zeigt, dass die Wahl der Schnittrestriktion für das Verfahren sehr wesentlich ist.  □

Aufgabe A.2 (Cutting-Plane-Verfahren)

Lösen Sie das Beispiel 8.1 aus der Einführung in Abschn. 8.1 mit dem Cutting-Plane-Verfahren. Verwenden Sie für das Verfahren das erste Auswahlkriterium.  □

Aufgabe A.3 (Knapsack-Problem)

Ein Wanderer hat vier Gegenstände mit den Gewichten 2, 3, 5 und 4 kg, die er mit auf eine Bergtour nehmen möchte. Die Nutzen der Gegenstände bewertet er mit 1, 3, 2 und 1. Er kann maximal 9 kg transportieren. Welche Gegenstände soll er mitnehmen, um einen maximalen Nutzen zu erzielen? Berechnen Sie mit dem Cutting-Plane-Verfahren unter Verwendung des ersten Auswahlkriteriums für die Schnittrestriktionen eine optimale Lösung.  □

Aufgabe A.4 (Branch-and-Bound-Verfahren)

Bestimmen Sie sämtliche ganzzahligen Lösungen des folgenden Problems mithilfe des Branch-and-Bound-Verfahrens. Veranschaulichen Sie sich den durch die Verzweigungen entstandenen Baum anhand einer Skizze.

$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad 7x_{1}+\phantom{9}6x_{2}&\displaystyle\leq 42\\ \displaystyle 5x_{1}+10x_{2}&\displaystyle\leq 50\\ \displaystyle 2x_{1}&\displaystyle\leq 7\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$$

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Aufgabe A.5 (Branch-and-Bound-Verfahren)

Lösen Sie das folgende ganzzahlige Optimierungsproblem:

$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+3x_{2}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad 2x_{1}-\phantom{7}x_{2}&\displaystyle\geq\phantom{8}2\\ \displaystyle 4x_{1}+7x_{2}&\displaystyle\leq 28\\ \displaystyle x_{1},x_{2}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$$

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Aufgabe A.6 (Branch-and-Bound-Verfahren)

Lösen Sie das folgende ganzzahlige Optimierungsproblem:

$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}+2x_{2}+x_{3}&\displaystyle\rightarrow\text{Max!}\\ \displaystyle\text{u.\,d.\,N.}\quad 2x_{1}+\phantom{2}x_{2}+2x_{3}&\displaystyle\leq\phantom{0}9\\ \displaystyle x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&\displaystyle\leq 10\\ \displaystyle-x_{1}+2x_{2}+\phantom{2}x_{3}&\displaystyle\leq\phantom{0}2\\ \displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}&\displaystyle\geq 0\end{aligned}$$

Diese Aufgabe erfordert eine längere, sorgfältige Rechnung. Verwenden Sie für die Teilprobleme ggf. den Excel-Solver.  □