Elektrische Felder in Materie

Zusammenfassung

Die Maxwell-Gleichungen, wie wir sie bis jetzt diskutiert haben, sind fundamentale, auf mikroskopischem Niveau gültige Grundgleichungen. Sobald man es mit makroskopischen Körpern zu tun hat, sind die tatsächlichen auf atomarer oder molekularer Ebene vorliegenden Ladungsverteilungen natürlich viel zu komplex, als dass man direkt mit ihnen Berechnungen anstellen könnte. Zudem sind alle mikroskopischen Ladungsträger in permanenter thermischer Bewegung. Eine Beschreibung mit den Methoden der Elektrostatik kann also nur im Mittel gültig sein.

In Abschn. 4.1 werden wir eine entsprechende Mittelungsprozedur einführen und dabei finden, dass das Verhalten von Materie in Anwesenheit von elektrischen Feldern phänomenologisch durch Polarisationsfelder und dielektrische Verschiebungsfelder beschrieben werden kann. In Kap. 5 werden wir dann sehen, dass sich dieser Zugang auch auf die Magnetostatik und eine komplette makroskopische Elektrodynamik ausdehnen lässt.

Da Materie in der Wirklichkeit immer endliche Ausdehnung besitzt, kommt den Anschlussbedingungen an Grenzflächen von Materie eine wichtige Rolle zu. Diese werden in Abschn. 4.2 hergeleitet, bevor die Methoden der Potenzialtheorie in Abschn. 4.3 auf den Fall verallgemeinert werden, dass elektrisch polarisierbare Materie vorhanden ist. In Abschn. 4.4 wird diskutiert, wie sich Energiebetrachtungen in Anwesenheit von Materie im elektrostatischen Fall verallgemeinern; die endgültige Verallgemeinerung in der vollen Elektrodynamik ist Kap. 5 vorbehalten.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

• leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

•• mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

••• anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

4.1 • Die phänomenologischen Maxwell-Gleichungen im SI-System

Wiederholen Sie die Herleitung der phänomenologischen Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik im SI-System.

4.2 • Polarisationsflächenladungsdichte

Zeigen Sie, dass, auch wenn (bzw. gerade wenn) an einer Grenzfläche von zwei Dielektrika mit $\epsilon_{1}\not=\epsilon_{2}$ keine freie Oberflächenladungsdichte verliegt, die Polarisationsflächenladungsdichte im Allgemeinen nicht verschwindet, und drücken Sie diese durch den Wert von ${\boldsymbol{D}}$ auf der Grenzfläche aus.

4.3 •• Dielektrischer Zylinder im elektrischen Feld und vollständige Funktionensysteme in der Ebene

In Abschn. 4.3 wurde eine dielektrische Kugel in einem ursprünglich homogenen Feld behandelt, indem die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten herangezogen wurde. Lösen Sie das analoge Problem für einen unendlich langen dielektrischen Zylinder mit der $z$-Achse als Symmetrieachse und Radius $a$, der sich in einem ursprünglich homogenen Feld ${\boldsymbol{E}}=E_{0}{\boldsymbol{\hat{x}}}$ befindet, und berechnen Sie das elektrostatische Potenzial im Innen- und Außenraum des Zylinders.

Zeigen Sie zunächst, dass die allgemeinste Lösung der Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten Bd. 1, (2.109), wenn keine $z$-Abhängigkeit vorliegt, durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\phi(\varrho,\varphi)&\displaystyle=A_{0}+B_{0}\ln\varrho\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\sum_{m=1}^{\infty}\left[A_{m}\,\varrho^{m}+B_{m}\frac{1}{\varrho^{m}}\right]\cos(m\varphi)\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\sum_{m=1}^{\infty}\left[A^{\prime}_{m}\,\varrho^{m}+B^{\prime}_{m}\frac{1}{\varrho^{m}}\right]\sin(m\varphi)\end{aligned}$$

(4.95)

gegeben ist.

Lösungshinweis:

Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten $\varrho,\varphi,z$ lautet

$${\varDelta}=\frac{1}{\varrho}\frac{{\partial}}{{\partial}\varrho}\varrho\frac{{\partial}}{{\partial}\varrho}+\frac{1}{\varrho^{2}}\frac{{\partial}^{2}}{{\partial}\varphi^{2}}+\frac{{\partial}^{2}}{{\partial}z^{2}}.$$

(4.96)

Ein Separationsansatz $\phi(\varrho,\varphi)=R(\varrho)\Phi(\varphi)$ (siehe den „Mathematischen Hintergrund“ 3.5.1.1) führt auf das benötigte vollständige Funktionensystem für $z$-unabhängige Probleme.

4.4 ••• Ladung vor dielektrischer Kugel

Eine Punktladung $q$ befinde sich vor einer dielektrischen Kugel mit Radius $R$ und Dielektrizitätskonstante $\epsilon$. Der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel sei $d> R$. Man berechne das Potenzial $\phi$ und die Felder ${\boldsymbol{E}}$ und ${\boldsymbol{P}}$ im ganzen Raum sowie die Polarisationsraumladungsdichte und Polarisationsflächenladungsdichte mit zugehörigen Gesamtladungen. Betrachten Sie den Grenzfall $\epsilon\to\infty$, der das Problem auf das einer Punktladung vor einem idealen Leiter reduziert.

Lösungshinweis:

Die Methode der Bildladungen ist in diesem Beispiel nicht zielführend. Verwenden Sie daher eine Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen (3.171), bei der die Zylindersymmetrie ausgenutzt werden kann, wenn die Punktladung auf die $z$-Achse gesetzt wird. Die Reihenentwicklung für das Potenzial einer Punktladung wurde bereits in (3.201) hergeleitet.

4.5 •• Teilweise gefüllter Kugelkondensator

Betrachten Sie den Kugelkondensator aus Abschn. 2.5 mit innerem und äußeren Radius $R_{1}$ bzw. $R_{2}$, dessen Kapazität in (2.80) angegeben ist. Nehmen Sie an, dass gerade halb so viel Dielektrikum zur Verfügung steht, wie nötig wäre, um ihn ganz zu füllen. Berechnen Sie die Kapazität für die Fälle, dass das Dielektrikum (Abb. 4.10)

Abb. 4.10

Drei Möglichkeiten, das Innere eines Kugelkondensators zur Hälfte mit Dielektrikum zu füllen, die unterschiedliche Kapazität ergeben

• (a) den Kugelkondensator bis zum Äquator der beiden Kugeln ausfüllt,

• (b) symmetrisch die innere Kugeloberfläche umschließt,

• (c) symmetrisch die äußere Kugeloberfläche auskleidet.

Diskutieren Sie, welche Konfiguration die größte Kapazität erzielt.

4.6 •• Flüssigkeit hebender Zylinderkondensator

Ein Kondensator, der aus zwei langen, koaxialen zylindrischen Leitern mit Radien $a$ und $b$, $b> a$, besteht und durch eine Batterie auf einer Spannung $U$ gehalten wird, taucht senkrecht in eine dielektrische Flüssigkeit mit Massendichte $\mu$ ein. Berechnen Sie aus der Höhe $h$, auf die die Flüssigkeit im Inneren entgegen der Schwerkraft gehoben wird, die elektrische Suszeptibilität bzw. die Dielektrizitätskonstante der Flüssigkeit (Abb. 4.11).

Abb. 4.11

Ein in eine dielektrische Flüssigkeit eingetauchter Zylinderkondensator hebt diese gegen die Schwerkraft. Aus der Steighöhe lässt sich auf die Dielektrizitätskonstante schließen

Lösungshinweis:

Bestimmen Sie zuerst Potenzial und Feldstärke eines Zylinderkondensators, der teilweise mit Dielektrikum ausgefüllt ist, und betrachten Sie dann die Energiebilanz bestehend aus den Energiebeiträgen des Feldes und der Batterie sowie der potenziellen Energie im Gravitationsfeld.

4.7 • Dünne Platte und dünner Stab in einem äußeren elektrischen Feld

Gegeben sei ein ursprünglich homogenes elektrisches Feld ${\boldsymbol{E}}_{0}$, in das

• (a) eine dünne dielektrische Platte senkrecht zu ${\boldsymbol{E}}_{0}$ (d. h. Normalenvektor parallel zu ${\boldsymbol{E}}_{0}$),

• (b) ein dünner dielektrischer Stab parallel zu ${\boldsymbol{E}}_{0}$

eingebracht wird. („Dünn“ bedeutet hier, dass die Ausdehnung von Platte und Stab so groß im Vergleich zu deren Dicke sein soll, dass Randeffekte vernachlässigt werden können.) Berechnen Sie das elektrische Feld im Inneren dieser Objekte und vergleichen Sie mit dem Ergebnis (4.69) für eine dielektrische Kugel im äußeren Feld.

Lösungshinweis:

Vernachlässigung der Randeffekte bedeutet hier, dass das Feld im Äußeren der dielektrischen Objekte allein durch $\boldsymbol{E}_{0}$ gegeben ist.

4.8 ••• Homogen polarisiertes Ellipsoid

Ein gestrecktes Rotationsellipsoid, d. h. ein Körper, der durch eine um ihre längere Achse rotierte Ellipse gebildet wird, sei permanent polarisiert mit konstantem Polarisationsvektorfeld ${\boldsymbol{P}}$, das in Richtung der Rotationsachse zeigt.

Man berechne das elektrostatische Potenzial innerhalb und außerhalb des Ellipsoids, dessen längere Halbachse mit Länge $Z$ in $z$-Richtung zeigt, und dessen Radius in der $xy$-Ebene den Betrag $R<Z$ hat, durch Lösen der Laplace-Gleichung in einem Koordinatensystem der Form

$$\begin{aligned}\displaystyle x&\displaystyle=a\sinh u\,\sin v\,\cos\varphi,\\ \displaystyle y&\displaystyle=a\sinh u\,\sin v\,\sin\varphi,\\ \displaystyle z&\displaystyle=a\cosh u\,\cos v\end{aligned}$$

(4.97)

mit $0\leq u<\infty$, $0\leq v\leq\uppi$ und $0\leq\varphi<2\uppi$ sowie einer geeignet zu wählenden Konstante $a$. Diese Koordinaten heißen gestreckt-sphäroidale oder auch prolat-sphäroidale Koordinaten Abb. 4.12 ). (Bei oblaten (gestauchten) sphäroidalen Koordinaten sind sinh und cosh auszutauschen.)

Abb. 4.12

Gestreckte (prolate) sphäroidale Koordinaten. Flächen mit konstantem $u$ bzw. konstantem $v$ bilden Ellipsoide bzw. Hyperboloide mit gemeinsamen Brennpunkten auf der $z$-Achse bei $z=\pm a$. Die horizontale Achse wird durch $\varrho/a=\sqrt{x^{2}+y^{2}}/a$ gebildet

Dazu separiere man die Laplace-Gleichung unter Ausnützen der $\varphi$-Unabhängigkeit des Problems in den Variablen

$$\eta:=\cosh u\,\in[1,\infty),\quad\zeta:=\cos v\,\in[-1,1]$$

(4.98)

und zeige, dass die allgemeine $\varphi$-unabhängige Lösung gegeben ist durch

$$\phi(\eta,\zeta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[A_{l}P_{l}(\eta)+B_{l}Q_{l}(\eta)\right]\,P_{l}(\zeta),$$

(4.99)

wobei die Funktionen $P_{l}$ Legendre-Polynome und die $Q_{l}$ Legendre-Funktionen zweiter Art sind. Letztere sind ebenfalls Lösungen der Legendre’schen Differenzialgleichung, verschwinden aber im Gegensatz zu den Legendre-Polynomen für $\eta\to\infty$ (während die Legendre-Polynome mit $l> 0$ divergieren).

Die niedrigsten Legendre-Funktionen zweiter Art lauten

$$Q_{0}(\eta) =\frac{1}{2}\ln\frac{\eta+1}{\eta-1},$$

(4.100)

$$Q_{1}(\eta) =\frac{\eta}{2}\ln\frac{\eta+1}{\eta-1}-1,$$

(4.101)

$$Q_{2}(\eta) =\frac{1}{2}P_{2}(\eta)\ln\frac{\eta+1}{\eta-1}-\frac{3}{2}\eta,$$

(4.102)

wobei die $Q_{l}(\eta)$ für große $\eta$ bis auf Vorfaktoren wie $\eta^{-(l+1)}$ abfallen. (Anmerkung: die Legendre-Funktionen zweiter Art werden in der Literatur oft mit einem anderen Vorzeichen im Argument des Logarithmus definiert; die hier verwendete Definition ist so gewählt, dass die $Q_{l}$ für $\eta> 1$ reell sind.)

Lösungshinweis:

In den prolat-sphäroidalen Koordinaten stellen Flächen mit konstantem $u$ oder alternativ $\eta$ Ellipsoide mit Halbachsen $a\sinh u$ (senkrecht zur $z$-Achse) und $a\cosh u$ (entlang der $z$-Achse) dar. Das Verhältnis $R/Z<1$ bestimmt daher den Wert der Variablen $\eta=\eta_{0}\equiv\cosh u_{0}$, bei der sich die Oberfläche des Ellipsoids befindet:

$$\tanh u_{0}=\frac{\sinh u_{0}}{\cosh u_{0}}\equiv\frac{\sqrt{\eta_{0}^{2}-1}}{\eta_{0}}=\frac{R}{Z}.$$

(4.103)

($\eta_{0}$ ist gerade die inverse Exzentrizität, $\eta_{0}^{-1}=\sqrt{1-R^{2}/Z^{2}}$.) Die Konstante $a$ in den angepassten Koordinaten (4.97) ist damit so zu wählen, dass

$$Z=a\eta_{0}=a\cosh u_{0},\quad R=a\sqrt{\eta_{0}^{2}-1}=a\sinh u_{0}$$

(4.104)

ist.

Der niedrigstmögliche Wert $\eta=1$ gehört dann zum Intervall $-a\leq z\leq a$ auf der $z$-Achse, das ein entartetes Ellipsoid darstellt, während für Ellipsoide mit nichtverschwindendem Volumen $a<Z$ ist.

Beginnen Sie damit, den Laplace-Operator mit den Formeln aus Bd. 1, Abschn. 2.5 in die Koordinaten $\eta$ und $\zeta$ umzurechnen.

Lösungen zu den Aufgaben

4.2

$$\sigma_{P}=\frac{1}{4\uppi}\left(\frac{1}{\epsilon}_{2}-\frac{1}{\epsilon}_{1}\right){\boldsymbol{n}}\cdot{\boldsymbol{D}}$$

(4.105)

4.3

Für $\varrho<a$ ist ${\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}=\frac{2}{\epsilon+1}{\boldsymbol{E}}_{0}$, ${\boldsymbol{P}}=\frac{1}{2\uppi}\frac{\epsilon-1}{\epsilon+1}{\boldsymbol{E}}_{0}$.

4.4

Die Felder können nicht durch elementare Funktionen, sondern nur in Form einer Reihenentwicklung angegeben werden. Für die Polarisationsladungen erhält man ${\rho_{\mathrm{P}}}\equiv 0$, $Q_{\mathrm{P}}=\oint\mathrm{d}f\,\sigma_{\mathrm{P}}=0$.

4.6

$$\chi_{\mathrm{e}}=\frac{\epsilon-1}{4\uppi}=\frac{g\mu h(b^{2}-a^{2})\ln(b/a)}{U^{2}}$$

(4.106)

4.7

Für die Platte ist ${\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}=\frac{1}{\epsilon}{\boldsymbol{E}}_{0}$, für den Stab ${\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}={\boldsymbol{E}}_{0}$. Das analoge Ergebnis für die Kugel liegt zwischen diesen Werten.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

4.1

Im SI-System steht auf den rechten Seiten von (4.4) und (4.8) gemäß (1.90) und (1.92) ein Vorfaktor $1/(4\uppi\epsilon_{0})$. Damit ist

$${\boldsymbol{\nabla}}\cdot\langle\epsilon_{0}{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{mol}}^{\mathrm{[SI]}}({\boldsymbol{r}})\rangle=\langle\rho_{\mathrm{mol}}^{\mathrm{[SI]}}({\boldsymbol{r}})\rangle-{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\langle{\boldsymbol{\uppi}}_{\mathrm{mol}}^{\mathrm{[SI]}}({\boldsymbol{r}})\rangle.$$

(4.107)

Mit den gleichen Identifikationen wie (4.11) und (4.13), nämlich

$${\rho_{\mathrm{f}}}^{\mathrm{[SI]}}=\langle\rho_{\mathrm{mol}}^{\mathrm{[SI]}}\rangle+\rho_{\mathrm{ext}}^{\mathrm{[SI]}},\quad{\boldsymbol{P}}^{\mathrm{[SI]}}=\langle{\boldsymbol{\uppi}}_{\mathrm{mol}}^{\mathrm{[SI]}}\rangle,$$

(4.108)

wird nun ${\boldsymbol{D}}^{\mathrm{[SI]}}=\epsilon_{0}{\boldsymbol{E}}^{\mathrm{[SI]}}+{\boldsymbol{P}}^{\mathrm{[SI]}}$ definiert, was auf

$${\mathrm{div}\,}{\boldsymbol{D}}^{\mathrm{[SI]}}={\rho_{\mathrm{f}}}^{\mathrm{[SI]}}$$

(4.109)

führt. Die homogenen Maxwell-Gleichungen sind weiterhin durch (1.81) gegeben, nur sind die Felder nun einer Mittelung über atomare Skalen unterworfen.

4.2

In Abwesenheit einer freien Flächenladungsdichte $\sigma_{\mathrm{f}}$ gilt gemäß (4.42) ${\boldsymbol{n}}\cdot{\boldsymbol{D}}_{2}={\boldsymbol{n}}\cdot{\boldsymbol{D}}_{1}$. Wegen ${\boldsymbol{P}}=({\boldsymbol{D}}-{\boldsymbol{E}})/(4\uppi)$ und (4.38) ist $\sigma_{\mathrm{P}}=-{\boldsymbol{n}}\cdot({\boldsymbol{P}}_{2}-{\boldsymbol{P}}_{1})=+{\boldsymbol{n}}\cdot({\boldsymbol{E}}_{2}-{\boldsymbol{E}}_{1})/(4\uppi)$, was durch ${\boldsymbol{E}}_{1,2}={\boldsymbol{D}}_{1,2}/\epsilon_{1,2}$ auf ${\boldsymbol{D}}$ umgeschrieben (4.105) ergibt, wobei wegen der Stetigkeit von ${\boldsymbol{n}}\cdot{\boldsymbol{D}}$ für diese Komponente nicht mehr zwischen Medium 1 und 2 unterschieden werden muss.

4.3

Separation der Variablen der effektiv zweidimensionalen Laplace-Gleichung ${\varDelta}\phi(\varrho,\varphi)=0$ führt auf die Gleichungen

$$\Phi^{\prime\prime}(\varphi)+\lambda\Phi(\varphi) =0,$$

(4.110)

$$R^{\prime\prime}(\varrho)+\frac{1}{\varrho}R^{\prime}(\varrho)-\frac{\lambda}{\varrho^{2}}R(\varrho) =0.$$

(4.111)

Verlangt man Periodizität $\phi(\varrho,\varphi)=\phi(\varrho,\varphi+2\uppi)$, wird die erste Gleichung durch trigonometrische Funktionen $\sin(\sqrt{\lambda}\varphi)$ und $\cos(\sqrt{\lambda}\varphi)$ mit $\sqrt{\lambda}=m\in\mathbb{Z}$ und die zweite Gleichung durch $\varrho^{\pm m}$ gelöst. Für den Fall $m=0$ hat die zweite Gleichung neben der Konstanten $\varrho^{0}$ auch noch die Lösung $\ln\varrho$. Damit ergibt sich die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung für das effektiv zweidimensionale Problem mit Periodizität in $\varphi$ durch die Reihenentwicklung (4.95).

Wird ein endliches Gebiet betrachtet und Regularität im Ursprung gefordert, dann sind die Koeffizienten $B_{0}$, $B_{m}$ und $B_{m}^{\prime}$ null zu setzen. Bei natürlichen Randbedingungen in einem unendlichen Gebiet, das den Ursprung nicht enthält, werden nur die Terme mit den Koeffizienten $B_{m}$ und $B^{\prime}_{m}$ behalten. Der logarithmische Term mit Koeffizient $B_{0}$ ist nur relevant, wenn ein endliches Gebiet betrachtet wird, in dem der Ursprung nicht enthalten ist (z. B. ein Kreisring).

Im vorliegenden Problem betrachten wir einmal den Außenraum und einmal den Innenraum des Zylinders. Im Innenraum setzen wir an:

$$\phi_{\mathrm{i}}(\varrho,\varphi)=A_{0}+\sum_{m=1}^{\infty}\left[A_{m}\,\varrho^{m}\cos(m\varphi)+A^{\prime}_{m}\,\varrho^{m}\sin(m\varphi)\right].$$

(4.112)

Im Außenraum liegt asymptotisch ein homogenes elektrisches Feld vor, das die Randbedingung

$$\phi\to-E_{0}\,x=-E_{0}\,\varrho\,\cos\varphi$$

(4.113)

vorgibt (eine noch mögliche Konstante kann null gesetzt werden). Damit ist die allgemeine Lösung im Außenraum

$$\phi_{\mathrm{a}}(\varrho,\varphi) =-E_{0}\,\varrho\,\cos\varphi$$

(4.114)

$$ \quad+\sum_{m=1}^{\infty}\left[B_{m}\frac{1}{\varrho^{m}}\cos(m\varphi)+B^{\prime}_{m}\frac{1}{\varrho^{m}}\sin(m\varphi)\right].$$

Die Anschlussbedingungen (4.42) (mit $\sigma_{\mathrm{f}}=0$) und (4.43) implizieren

$$\left.\epsilon\,\frac{\partial\phi_{\mathrm{i}}}{\partial\varrho}\right|_{\varrho=a}=\left.\frac{\partial\phi_{\mathrm{a}}}{\partial\varrho}\right|_{\varrho=a},\quad\left.\frac{\partial\phi_{\mathrm{i}}}{\partial\varphi}\right|_{\varrho=a}=\left.\frac{\partial\phi_{\mathrm{a}}}{\partial\varphi}\right|_{\varrho=a}.$$

(4.115)

Für alle Koeffizienten mit $m\not=1$ und auch für $A_{1}^{\prime}$ und $B_{1}^{\prime}$ liefert dies ein homogenes Gleichungssystem, das nur die triviale Lösung besitzt. Die Koeffizienten ungleich null folgen aus

$$\epsilon A_{1}=-E_{0}-B_{1}\frac{1}{a^{2}},\quad A_{1}=-E_{0}+B_{1}\frac{1}{a^{2}}$$

(4.116)

und lauten

$$A_{1}=-\frac{2}{\epsilon+1}E_{0},\quad B_{1}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon+1}{E_{0}}\,{a^{2}}.$$

(4.117)

Im Innenraum liegt damit wieder ein homogenes elektrisches Feld vor,

$${\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}=\frac{2}{\epsilon+1}{\boldsymbol{E}}_{0},$$

(4.118)

das gegenüber dem ursprünglich vorhandenen reduziert ist. Im Zylinder liegt eine homogene Polarisation vor:

$${\boldsymbol{P}}=\frac{1}{4\uppi}({\boldsymbol{D}}-{\boldsymbol{E}})=\frac{\epsilon-1}{4\uppi}{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}=\frac{1}{2\uppi}\frac{\epsilon-1}{\epsilon+1}{\boldsymbol{E}}_{0}.$$

(4.119)

Im Außenraum $\varrho> a$ wird dem ursprünglich homogenen Feld ein Feld überlagert, das zu einem Potenzial der Form

$$\phi_{\mathrm{a}}^{P}=2\uppi a^{2}|{\boldsymbol{P}}|\,\frac{\cos\varphi}{\varrho}=2\uppi a^{2}|{\boldsymbol{P}}|\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$$

(4.120)

gehört. (Zum Vergleich: Ein Dipolfeld, wie es bei der homogen polarisierten Kugel auftrat, fällt invers proportional zum Quadrat der radialen Koordinate ab.) In kartesischen Koordinaten lautet das zusätzliche ${\boldsymbol{E}}$-Feld

$${\boldsymbol{E}}_{\mathrm{a}}^{P}=\frac{2\uppi a^{2}|{\boldsymbol{P}}|}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\ 2xy\\ 0\end{pmatrix}.$$

(4.121)

4.4

Im Außenraum der Kugel erfüllt das Potenzial die Poisson-Gleichung

$${\varDelta}\phi=-4\uppi q\delta({\boldsymbol{r}}-d{\boldsymbol{\hat{z}}}),$$

(4.122)

wobei wir die Punktladung auf der $z$-Achse bei $z=d$ angenommen haben. Da das Problem dann rotationsinvariant um die $z$-Achse ist, können wir in Kugelkoordinaten $\varphi$-unabhängige Lösungsansätze machen. Die allgemeine Lösung für $r> R$ ist somit gegeben durch

$$\phi_{\mathrm{a}}(r,\vartheta)=\frac{q}{|{\boldsymbol{r}}-d{\boldsymbol{\hat{z}}}|}+\sum_{l=0}^{\infty}B_{l}\frac{1}{r^{l+1}}P_{l}(\cos\vartheta),$$

(4.123)

wobei der erste Term das Potenzial der Punktladung bei natürlichen Randbedingungen ist und die unendliche Summe der im Unendlichen reguläre Anteil der allgemeinen Lösung der homogenen Laplace-Gleichung bei Zylindersymmetrie von (3.171).

Im Inneren der Kugel erfüllt das Potenzial die homogene Laplace-Gleichung, da dort keine freien Ladungen vorliegen und $\epsilon$ konstant ist. Deshalb kann dort der im Ursprung reguläre Anteil von (3.171) angesetzt werden:

$$\phi_{\mathrm{i}}(r,\vartheta)=\sum_{l=0}^{\infty}A_{l}r^{l}P_{l}(\cos\vartheta)$$

(4.124)

für $r<R$.

Die Anschlussbedingungen an der Kugeloberfläche sind dieselben wie in (4.61) bis (4.63). Um daraus die Koeffizienten $A_{l}$, $B_{l}$ zu bestimmen, muss auch der erste Term in (4.123) nach Legendre-Polynomen entwickelt werden. Die Lösung dazu wurde bereits in (3.201) angegeben und lautet:

$$\frac{1}{|{\boldsymbol{r}}-d{\boldsymbol{\hat{z}}}|}=\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r_{<}^{l}}{r_{> }^{l+1}}P_{l}(\cos\vartheta),$$

(4.125)

wobei $r_{<}=\min(r,d)$ und $r_{> }=\max(r,d)$ ist. Für die Anschlussbedingungen ist $r=R$ zu setzen, daher $r_{<}=R$ und $r_{> }=d$. Diese implizieren

$$\sum_{l=0}^{\infty}A_{l}R^{l}P_{l} =\sum_{l=0}^{\infty}\left[\frac{qR^{l}}{d^{l+1}}+\frac{B_{l}}{R^{l+1}}\right]P_{l},$$

(4.126)

$$\epsilon\sum_{l=0}^{\infty}lA_{l}R^{l-1}P_{l} =\sum_{l=0}^{\infty}\left[\frac{lqR^{l-1}}{d^{l+1}}-\frac{(l+1)B_{l}}{R^{l+2}}\right]P_{l}$$

(4.127)

und ergeben

$$A_{l}=\frac{2l+1}{(\epsilon+1)l+1}\frac{q}{d^{l+1}},\quad B_{l}=-\frac{(\epsilon-1)l}{(\epsilon+1)l+1}\frac{q\,R^{2l+1}}{d^{l+1}}.$$

(4.128)

Das Potenzial im Innen- und Außenraum der Kugel ist damit bestimmt. Wäre die homogene Lösung im Außenraum, die durch die Reihe mit den Koeffizienten $B_{l}$ beigesteuert wird, dort äquivalent zu einer fiktiven Punktladung auf der Symmetrieachse im Inneren der Kugel bei $z=d^{\prime}$, so müsste $B_{l}\propto d^{\prime l}$ ohne weitere $l$-Abhängigkeit sein. Offenbar ist hier die Bildladungsmethode nicht zielführend, auch nicht mit mehreren solchen diskreten Bildladungen.

Die Felder ${\boldsymbol{E}}$, ${\boldsymbol{P}}$ lassen sich mit

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{r}&\displaystyle=-\frac{{\partial}\phi}{{\partial}r},\;E_{\vartheta}=-\frac{1}{r}\frac{{\partial}\phi}{{\partial}\vartheta},\;E_{\varphi}=0,\\ \displaystyle{\boldsymbol{P}}&\displaystyle=\frac{\epsilon-1}{4\uppi}{\boldsymbol{E}}\end{aligned}$$

(4.129)

durch ähnliche Reihendarstellungen angeben.

Die Polarisationsraumladungsdichte verschwindet,

$${\rho_{\mathrm{P}}}=-{\mathrm{div}\,}{\boldsymbol{P}}=-\frac{\epsilon-1}{4\uppi}{\mathrm{div}\,}{\boldsymbol{E}}=\frac{\epsilon-1}{4\uppi}{\varDelta}\phi=0,$$

(4.130)

weil im Innenraum die homogene Laplace-Gleichung erfüllt ist. An der Oberfläche der Kugel ist die Polarisationsflächenladungsdichte $\sigma_{\mathrm{P}}$ gegeben durch

$$\sigma_{\mathrm{P}} =-{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\cdot\left.({\boldsymbol{P}}_{\mathrm{a}}-{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{i}})\right|_{r=R}$$

(4.131)

$$ =-\frac{\epsilon-1}{4\uppi R^{2}}q\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(2l+1)l}{(\epsilon+1)l+1}\left(\frac{R}{d}\right)^{l+1}P_{l}(\cos\vartheta).\qquad$$

Wegen des bei der Differenziation entstandenen Faktors $l$ haben wir die untere Summationsgrenze auf $l=1$ gesetzt. Das Fehlen des Monopolanteils $l=0$ hat zur Folge, dass die gesamte auf der Kugeloberfläche induzierte Polarisationsladung null ist, denn

$$\begin{aligned}\displaystyle Q_{\mathrm{P}}&\displaystyle=\oint\mathrm{d}f\,\sigma_{\mathrm{P}}=2\uppi R^{2}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}(\cos\vartheta)\,\sigma_{\mathrm{P}}(\vartheta)\\ \displaystyle&\displaystyle\equiv 2\uppi R^{2}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}(\cos\vartheta)\,P_{0}(\cos\vartheta)\,\sigma_{\mathrm{P}}(\vartheta)=0\end{aligned}$$

(4.132)

wegen

$$\int_{-1}^{1}\mathrm{d}x\,P_{0}(x)P_{l}(x)=\frac{2}{(2l+1)}\delta_{0l}.$$

(4.133)

Betrachten wir schließlich $\epsilon\to\infty$ als Grenzfall, der der leitenden Kugel entspricht, dann verschwinden alle $A_{l}$ für $l> 0$, und es bleibt nur die von $\epsilon$ unabhängige Konstante $A_{0}$, sodass

$$\phi_{\mathrm{i}}\to A_{0}=\frac{q}{d}.$$

(4.134)

Bei den $B_{l}$ müssen wir ebenfalls $l=0$ und $l> 0$ im Limes $\epsilon\to\infty$ separat berechnen. Für $l> 0$ erhalten wir

$$B_{l}\to-\frac{qR}{d}\left(\frac{R^{2}}{d}\right)^{l},$$

(4.135)

aber $B_{0}=0$. Die Außenraumlösung hat damit die Form (4.125) mit $d\to d^{\prime}=R^{2}/d$ und Ladung $q^{\prime}=-qR/d$, allerdings abzüglich des Terms mit $l=0$. Dies entspricht genau der Lösung einer ungeladenen leitenden Kugel im Feld einer Punktladung, die wir in Abschn. 2.4 diskutiert haben, wo zusätzlich zur Bildladung $q^{\prime}$ bei $z=d^{\prime}$ eine weitere mit $q^{\prime\prime}=-q^{\prime}$ bei $z=0$ einzuführen war.

4.5

Im Fall (a) liegt die Grenzfläche zwischen Dielektrikum und Vakuum parallel zur radialen Richtung, in die auch das elektrische Feld zeigt. Das elektrische Feld ist also bei gegebener Potenzialdifferenz dasselbe wie ohne Dielektrikum, aber wegen $\sigma_{\mathrm{f}}=D_{r}/(4\uppi)$ erhöht sich die freie Flächenladungsdichte auf den bedeckten Halbkugelschalen um einen Faktor $\epsilon$:

$$C^{\mathrm{(a)}}=\frac{1+\epsilon}{2}C$$

(4.136)

mit $C=(1/R_{1}-1/R_{2})^{-1}$ aus dem Ergebnis für den Vakuumfall (2.80).

In den beiden anderen Fällen interpoliert das Potenzial nicht glatt mit einem $1/r$-Verhalten zwischen den Kugelschalen, die weiterhin Äquipotenzialflächen mit $\phi_{1,2}$ bilden, sondern mit einem Knick, erzwungen durch die Stetigkeit von $D_{r}=\epsilon E_{r}=-\epsilon{\partial}_{r}\phi$ bei $r=R_{\epsilon}$, wo die Dielektrizitätskonstante von 1 auf $\epsilon$ springt. Die Bedingung, dass $R_{\epsilon}$ das Innere des Kugelkondensators durch eine weitere Kugeloberfläche in gleiche Volumina teilt, ergibt

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{4\uppi}{3}(R_{\epsilon}^{3}-R_{1}^{3})=\frac{1}{2}\frac{4\uppi}{3}(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\\ \displaystyle&\displaystyle\Rightarrow R_{\epsilon}=\left(\frac{R_{1}^{3}+R_{2}^{3}}{2}\right)^{1/3}.\end{aligned}$$

(4.137)

Das Potenzial $\phi(R_{\epsilon})$ kann durch die Anschlussbedingung durch eine einfache, wenn auch etwas längliche Rechnung bestimmt werden, wodurch die Feldstärken und die freien Flächenladungsdichten und somit die Ladung des Kugelkondensators in Abhängigkeit der Potenzialdifferenz $\phi_{1}-\phi_{2}$ bestimmt werden können. Weiterhin gilt $Q_{2}=-Q_{1}$, und die Kapazität kann aus $Q_{1}/(\phi_{1}-\phi_{2})$ abgelesen werden.

Diese Rechnung kann aber durch folgende Überlegung etwas abgekürzt werden: Die Fälle (b) und (c) stellen gleichsam eine serielle Schaltung von zwei Kondensatoren dar, denn die Trennfläche bei $r=R_{\epsilon}$ ist eine Äquipotenzialfläche, und man kann sich vorstellen, dass für die nach innen gewandte Seite eine Ladung $-Q_{1}$ und für die nach außen gewandte Seite $+Q_{1}=-Q_{2}$ vorliegt, sodass in Summe null Ladung vorhanden ist. Bei einer seriellen Schaltung von zwei Kapazitäten addieren sich die Kehrwerte. Ohne Dielektrikum gilt

$$C^{-1}=C^{-1}_{\mathrm{I}}+C^{-1}_{\mathrm{II}}:=\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{\epsilon}}\right)+\left(\frac{1}{R_{\epsilon}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$$

(4.138)

in Übereinstimmung mit $C^{-1}=(1/R_{1}-1/R_{2})$. Durch ein Dielektrikum in einem der beiden Teilkondensatoren wird in den Fällen (b) und (c) die Teilkapazität $C_{\mathrm{I}}$ bzw. $C_{\mathrm{II}}$ um einen Faktor $\epsilon$ erhöht. Dies ergibt

$$C^{\mathrm{(b)}}=\frac{\epsilon C_{\mathrm{I}}C_{\mathrm{II}}}{\epsilon C_{\mathrm{I}}+C_{\mathrm{II}}},\quad C^{\mathrm{(c)}}=\frac{\epsilon C_{\mathrm{I}}C_{\mathrm{II}}}{C_{\mathrm{I}}+\epsilon C_{\mathrm{II}}}.$$

(4.139)

Daraus kann man ablesen, dass es für den Zweck einer Maximierung der Gesamtkapazität am günstigsten ist, den kleineren der beiden Werte $C_{\mathrm{I}}$ und $C_{\mathrm{II}}$ durch einen Faktor $\epsilon> 1$ zu vergrößern. Mit obigem Wert für $R_{\epsilon}$ stellt sich heraus, dass immer $C_{\mathrm{II}}> C_{\mathrm{I}}$ und daher immer $C^{\mathrm{(b)}}> C^{\mathrm{(c)}}$ ist.

Ob $C^{\mathrm{(a)}}$ größer oder kleiner als $C^{\mathrm{(b)}}$ ist, hängt dagegen sowohl von $\epsilon$ als auch vom Verhältnis $R_{2}/R_{1}$ ab. Es ist leicht einzusehen, dass für hinreichend große $\epsilon$ immer Fall (a) gewinnt, denn $C^{\mathrm{(a)}}$ wächst für große $\epsilon$ linear und unbeschränkt, während $C^{\mathrm{(b)}}$ für $\epsilon\to\infty$ gegen $C_{\mathrm{II}}$ konvergiert, denn in diesem Limes wird der Kugelkondensator effektiv auf die zwei Radien $R_{2}$ und $R_{\epsilon}$ verkleinert. Für hinreichend kleines $\epsilon-1$ gewinnt dagegen immer $C^{\mathrm{(b)}}$, wie man durch eine Taylor-Entwicklung nachweisen kann:

$$C^{\mathrm{(a)}}/C =1+\frac{1}{2}(\epsilon-1),$$

(4.140)

$$C^{\mathrm{(b)}}/C =1+f\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)\,(\epsilon-1)+O((\epsilon-1)^{2})$$

(4.141)

mit der Funktion

$$f(x)=\frac{x}{x-1}\left[1-\left(\frac{2}{1+x}\right)^{1/3}\right].$$

(4.142)

Diese interpoliert für $x\in(1,\infty)$ zwischen $\frac{1}{2}$ und 1.

4.6

Das elektrische Feld ist in einem Zylinderkondensator radial orientiert. Mit dem Gauß’schen Integralsatz findet man leicht, dass es invers proportional zum Abstand $\varrho$ von der Zylinderachse geht und daher das Potenzial $\phi$ proportional zu $\ln\varrho$ ist (siehe die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung für effektiv zweidimensionale Probleme, (4.95), wonach die allgemeine Lösung bei $\varphi$-Unabhängigkeit $\phi=A_{0}+B_{0}\ln\varrho$ lautet). Mit $\phi(\varrho=a)-\phi(\varrho=b)=U$ ist bis auf eine irrelevante Konstante

$$\phi(\varrho)=-\frac{U}{\ln(b/a)}\ln\varrho,\quad{\boldsymbol{E}}=\frac{U}{\ln(b/a)}\frac{1}{\varrho}\hat{\boldsymbol{e}}_{\varrho}.$$

(4.143)

Im Bereich des Kondensators mit dielektrischer Flüssigkeit ist ${\boldsymbol{D}}=\epsilon{\boldsymbol{E}}$. An der Grenzfläche ist die Anschlussbedingung, dass das ${\boldsymbol{E}}$-Feld stetige Tangentialkomponenten haben muss, durch obige Lösung erfüllt; die anderen Komponenten sind alle null.

Wie wir in Abschn. 4.4 gesehen haben, wird ein Dielektrikum in den Kondensator gezogen, wobei bei konstanter Ladung die Feldenergie vermindert wird, während bei konstant gehaltenem Potenzial die notwendige mechanische Energie von der Batterie geliefert und die Feldenergie weiter erhöht wird.

Die Steighöhe der dielektrischen Flüssigkeit lässt sich durch die Energiebilanz

$$\delta W_{\mathrm{B}}=\delta W+\delta W_{\mathrm{mech}}$$

(4.144)

ermitteln, wobei $\delta W_{\mathrm{B}}$ die von der Batterie geleistete Arbeit, $\delta W$ die Änderung der Feldenergie und $\delta W_{\mathrm{mech}}$ die mechanische Arbeit im Schwerefeld ist, wenn die Flüssigkeit um den Betrag $\delta h$ steigt.

Wegen des konstanten Potenzials und der konstanten Stärke des ${\boldsymbol{E}}$-Feldes nimmt die Ladung im Kondensator zu, wenn $h$ um $\delta h$ erhöht wird. Die freie Oberflächenladungsdichte ist durch $\sigma_{\mathrm{f}}=D_{\varrho}/4\uppi=\epsilon E_{\varrho}/4\uppi$ gegeben. Ohne die Flüssigkeit ist $\epsilon=1$, nach Aufsteigen der Flüssigkeit kommt auf der Strecke $\delta h$ der Faktor $\epsilon> 1$ des Dielektrikums hinzu, daher nimmt am inneren Leiter, der gegenüber dem äußeren das Potenzial $U$ hat, die Ladung um

$$\delta Q=\frac{\epsilon-1}{4\uppi}E_{\varrho}(a)2\uppi a\delta h=\frac{\epsilon-1}{2\ln(b/a)}U\delta h$$

(4.145)

zu (und die Ladung am äußeren Leiter gegengleich ab). Es wird also die Ladungsmenge $\delta Q$ auf die Potenzialdifferenz $U$ gehoben, und es ist

$$\delta W_{\mathrm{B}}=U\,\delta Q=\frac{\epsilon-1}{2\ln(b/a)}U^{2}\delta h.$$

(4.146)

Wieder ist diese Energie das Doppelte des Betrags, um den sich die Feldenergie $\frac{1}{8\uppi}\int{\boldsymbol{E}}\cdot{\boldsymbol{D}}\,\mathrm{d}V$ im Kondensator erhöht: Die Energiedichte erhöht sich im infinitesimal dünnen Kreisring mit $z\in(h,h+\delta h)$ um $\frac{1}{8\uppi}(\epsilon-1){\boldsymbol{E}}^{2}$, und Integration über diesen ergibt

$$\begin{aligned}\displaystyle\delta W&\displaystyle=\frac{\epsilon-1}{8\uppi}\delta h\int_{a}^{b}2\uppi\,\varrho\,\mathrm{d}\varrho\,E^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\epsilon-1}{4}\frac{U^{2}\delta h}{[\ln(b/a)]^{2}}\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}\varrho}{\varrho}=\frac{\epsilon-1}{4\ln(b/a)}U^{2}\delta h.\qquad\end{aligned}$$

(4.147)

Damit steht wegen $\delta W_{\mathrm{B}}-\delta W=\delta W$ der gleiche Betrag zur Verfügung, um Arbeit gegen das Gravitationsfeld zu leisten. Um eine weitere Kreisringscheibe an Flüssigkeit der Dicke $\delta h$ auf die Höhe $h$ zu heben, braucht es die Arbeit

$$\delta W_{\mathrm{mech}}=gh(b^{2}-a^{2})\uppi\mu\delta h,$$

(4.148)

wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist und $(b^{2}-a^{2})\uppi\delta h$ das Volumen der zusätzlichen Flüssigkeit. Vergleich von (4.147) mit (4.148) ergibt

$${\epsilon-1}=\frac{4\uppi g\mu h(b^{2}-a^{2})\ln(b/a)}{U^{2}}.$$

(4.149)

4.7

Für die Platte folgt aus der Stetigkeit der Normalkomponente von ${\boldsymbol{D}}$:

$$D_{\mathrm{i}}=D_{\mathrm{a}}\quad\Longrightarrow\;\epsilon E_{\mathrm{i}}=E_{\mathrm{a}}=E_{0},$$

(4.150)

da die Felder senkrecht zur Oberfläche stehen.

Für den dünnen Stab ist nur dessen Mantelfläche von Bedeutung, die parallel zu ${\boldsymbol{E}}_{0}$ orientiert ist. Stetigkeit der Tangentialkomponente von ${\boldsymbol{E}}$ führt nun auf

$$E_{\mathrm{i}}=E_{\mathrm{a}}=E_{0}.$$

(4.151)

Hier ist wie bei der Kugel $D_{\mathrm{i}}> D_{\mathrm{a}}$.

Für die Kugel gilt gemäß (4.69) $E_{i}=\frac{3}{\epsilon+2}E_{0}$. Wegen $\epsilon> 1$ liegt dieses Ergebnis zwischen den extremalen Werten von dünner Platte und dünnem Stab:

$$\frac{1}{\epsilon}=\frac{3}{3\epsilon}<\frac{3}{\epsilon+2}<1.$$

(4.152)

In Aufgabe 4.3 wurde überdies der merklich aufwendigere Fall eines dünnen Stabes quer zu den Feldlinien gelöst. Der Faktor $2/(\epsilon+1)$, der sich dort ergab, liegt zwischen den Werten von dünner Platte und Kugel.

4.8

Der Laplace-Operator ist in allgemeinen orthogonalen Koordinaten durch Bd. 1, (2.131) gegeben, wofür die Metrikkoeffizienten $h_{i}$ gemäß Bd. 1, (2.106) zu berechnen sind. In den prolat-sphäroidalen Koordinaten (4.97) mit den alternativen Variablen (4.98),

$$\begin{aligned}\displaystyle x&\displaystyle=a\sqrt{\eta^{2}-1}\sqrt{1-\zeta^{2}}\,\cos\varphi,\\ \displaystyle y&\displaystyle=a\sqrt{\eta^{2}-1}\sqrt{1-\zeta^{2}}\,\sin\varphi,\\ \displaystyle z&\displaystyle=a\,\eta\,\zeta,\end{aligned}$$

(4.153)

erhält man

$$\begin{aligned}\displaystyle h_{\eta}^{2}&\displaystyle=a^{2}\frac{\eta^{2}-\zeta^{2}}{\eta^{2}-1},\\ \displaystyle h_{\zeta}^{2}&\displaystyle=a^{2}\frac{\eta^{2}-\zeta^{2}}{1-\zeta^{2}},\\ \displaystyle h_{\varphi}^{2}&\displaystyle=a^{2}(\eta^{2}-1)(1-\zeta^{2})\end{aligned}$$

(4.154)

und damit

$$\begin{aligned}\displaystyle{\varDelta}&\displaystyle=\frac{1}{a^{2}(\eta^{2}-\zeta^{2})}\biggl[\frac{{\partial}}{{\partial}\eta}(\eta^{2}-1)\frac{{\partial}}{{\partial}\eta}+\frac{{\partial}}{{\partial}\zeta}(1-\zeta^{2})\frac{{\partial}}{{\partial}\zeta}\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad\qquad+\frac{\eta^{2}-\zeta^{2}}{(\eta^{2}-1)(1-\zeta^{2})}\frac{{\partial}^{2}}{{\partial}\varphi^{2}}\biggr].\end{aligned}$$

(4.155)

Für Potenziale ohne $\varphi$-Abhängigkeit lautet somit die Laplace-Gleichung

$$\frac{{\partial}}{{\partial}\eta}(\eta^{2}-1)\frac{{\partial}\phi}{{\partial}\eta}+\frac{{\partial}}{{\partial}\zeta}(1-\zeta^{2})\frac{{\partial}\phi}{{\partial}\zeta}=0.$$

(4.156)

Zur Auffindung eines vollständigen Funktionensystems macht man den Separationsansatz

$$\phi=f(\eta)\,g(\zeta),$$

(4.157)

was auf

$$\frac{1}{g}{\partial}_{\zeta}\,(1-\zeta^{2})\,{\partial}_{\zeta}\,g(\zeta)=\frac{1}{f}{\partial}_{\eta}\,(1-\eta^{2})\,{\partial}_{\eta}\,f(\eta)=\lambda$$

(4.158)

führt. Für beide Funktionen ergibt sich hier die gleiche Legendre’sche Differenzialgleichung:

$$(1-\zeta^{2})\,g^{\prime\prime}-2\zeta g^{\prime}-\lambda g =0,$$

(4.159)

$$(1-\eta^{2})f^{\prime\prime}-2\eta f^{\prime}-\lambda f =0,$$

(4.160)

allerdings ist der Wertebereich von $\zeta$ und $\eta$ unterschiedlich. In der ersten hat man $\zeta\in[-1,1]$, wobei $\zeta=\pm 1$ der $z$-Achse entspricht, sodass $g(\zeta)$ dort regulär sein muss. Dies verlangt $\lambda=-l(l+1)$ mit $l\in\mathbb{N}_{0}$ und die bekannten Legendre-Polynome als zugehörige reguläre Lösungen:

$$g(\zeta)=P_{l}(\zeta).$$

(4.161)

Damit ist auch eine mögliche Lösung für $f(\eta)$ mit $1\leq\eta<\infty$ durch $P_{l}$ gegeben, die bei $\eta=1$ regulär ist, aber für $\eta\to\infty$ divergiert, wenn $l> 0$ ist. Eine zweite Klasse von Lösungen ist durch die Legendre-Funktionen zweiter Art gegeben, $Q_{l}$, die für $\eta\to\infty$ verschwinden, aber bei $\eta=1$ singulär sind. Dies ist ganz ähnlich der allgemeinen Lösung in Kugelkoordinaten, wo positive und negative Potenzen der Radialkoordinate vorkamen, die entweder im Ursprung oder im Unendlichen divergierten. Den Funktionen $r^{l}$ und $r^{-(l+1)}$ entsprechen nun die Funktionen $P_{l}(\eta)$ bzw. $Q_{l}(\eta)$, wobei für große Abstände $r\sim a\eta$ gilt.

Das Analogon zur allgemeinen Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten, bei der auf $\varphi$-Unabhängigkeit eingeschränkt wird,

$$\phi(r,\cos\vartheta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[A_{l}r^{l}+B_{l}\frac{1}{r^{l+1}}\right]P_{l}(\cos\vartheta),$$

(4.162)

lautet in den gestreckt-sphäroidalen Koordinaten somit

$$\phi(\eta,\zeta\equiv\cos v)=\sum_{l=0}^{\infty}\left[A_{l}P_{l}(\eta)+B_{l}Q_{l}(\eta)\right]\,P_{l}(\cos v).$$

(4.163)

Für den Außenraum des Ellipsoids sind nun die $A_{l}$ null zu setzen, für den Innenraum die $B_{l}$, damit die Lösung im Unendlichen bzw. im Inneren regulär ist:

$$\begin{aligned}\displaystyle\phi_{\mathrm{i}}(\eta,\zeta)&\displaystyle=\sum_{l=0}^{\infty}A_{l}\,P_{l}(\eta)\,P_{l}(\zeta),\\ \displaystyle\phi_{\mathrm{a}}(\eta,\zeta)&\displaystyle=\sum_{l=0}^{\infty}B_{l}\,Q_{l}(\eta)\,P_{l}(\zeta).\end{aligned}$$

(4.164)

Die Anschlussbedingungen erfordern Stetigkeit der Tangentialkomponenten von ${\boldsymbol{E}}=-{\boldsymbol{\nabla}}\phi$ an der Oberfläche bei $\eta=\eta_{0}$ sowie Stetigkeit der Normalkomponenten von ${\boldsymbol{D}}$.

Die einzige Tangentialkomponente, die ${\boldsymbol{E}}$ bei $\varphi$-Unabhängigkeit des Problems haben kann, ist durch $-{\partial}_{\zeta}\phi$ gegeben. Es muss also auf der gesamten Oberfläche

$$-\frac{{\partial}}{{\partial}\zeta}\phi_{\mathrm{i}}(\eta_{0},\zeta)=-\frac{{\partial}}{{\partial}\zeta}\phi_{\mathrm{a}}(\eta_{0},\zeta)$$

(4.165)

gelten. Bis auf eine additive $\zeta$-unabhängige Konstante ist damit

$$\phi_{\mathrm{i}}(\eta_{0},\zeta)=\phi_{\mathrm{a}}(\eta_{0},\zeta),$$

(4.166)

aber es ist auch keine additive Konstante möglich, weil sonst die Ableitung in Normalenrichtung singulär wäre. Letztere geht in die Berechnung der Komponente $D_{\eta}={\boldsymbol{\hat{e}}}_{\eta}\cdot{\boldsymbol{D}}$ ein. Im Außenraum ist ${\boldsymbol{D}}={\boldsymbol{E}}$, im Innenraum ${\boldsymbol{D}}={\boldsymbol{E}}+4\uppi{\boldsymbol{P}}$ mit ${\boldsymbol{P}}=|{\boldsymbol{P}}|\,{\boldsymbol{\hat{z}}}$. Stetigkeit der Normalkomponente von ${\boldsymbol{D}}$ verlangt nun

$$-{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\eta}\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\phi_{\mathrm{a}}\Big|_{\eta=\eta_{0}}=-{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\eta}\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\phi_{\mathrm{i}}\Big|_{\eta=\eta_{0}}+4\uppi|{\boldsymbol{P}}|\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\eta}\cdot{\boldsymbol{\hat{z}}}.$$

(4.167)

Der Einheitsvektor ${\boldsymbol{\hat{e}}}_{\eta}$ ist gegeben durch

$${\boldsymbol{\hat{e}}}_{\eta}=\frac{1}{N_{\eta}}\frac{{\partial}{\boldsymbol{r}}}{{\partial}\eta},\quad N_{\eta}\equiv\left|\frac{{\partial}{\boldsymbol{r}}}{{\partial}\eta}\right|.$$

(4.168)

Der Faktor $1/N_{\eta}$ fällt aus der Anschlussbedingung für $D_{\eta}$ heraus, sodass wir diese unter Verwendung von

$$\frac{{\partial}{\boldsymbol{r}}}{{\partial}\eta}\cdot{\boldsymbol{\nabla}}=\frac{{\partial}}{{\partial}\eta},\quad\frac{{\partial}{\boldsymbol{r}}}{{\partial}\eta}\cdot{\boldsymbol{\hat{z}}}=\frac{{\partial}z}{{\partial}\eta}=a\zeta$$

(4.169)

schreiben können als

$$-\frac{{\partial}}{{\partial}\eta}\phi_{\mathrm{a}}\Big|_{\eta=\eta_{0}}=-\frac{{\partial}}{{\partial}\eta}\phi_{\mathrm{i}}\Big|_{\eta=\eta_{0}}+4\uppi|{\boldsymbol{P}}|\,a\zeta,$$

(4.170)

wobei im letzten Term $\zeta=P_{1}(\zeta)$ identifiziert werden kann. Damit ist klar, dass nur die Koeffizienten $A_{1}$ und $B_{1}$ ungleich null sein werden. Die Anschlussbedingung (4.166) gibt

$$B_{1}\,Q_{1}(\eta_{0})=A_{1}\,P_{1}(\eta_{0})=A_{1}\,\eta_{0},$$

(4.171)

die Bedingung (4.170)

$$-B_{1}\,Q_{1}^{\prime}(\eta_{0})=-A_{1}+4\uppi a|{\boldsymbol{P}}|.$$

(4.172)

Dies führt auf

$$\begin{aligned}\displaystyle B_{1}&\displaystyle=4\uppi a\,|{\boldsymbol{P}}|\,(\eta_{0}^{2}-1)\eta_{0},\\ \displaystyle A_{1}&\displaystyle=B_{1}\left(\frac{1}{2}\ln\frac{\eta_{0}+1}{\eta_{0}-1}-\frac{1}{\eta_{0}}\right).\end{aligned}$$

(4.173)

Damit ist das Potenzial überall bestimmt. Im Inneren des Ellipsoids ist

$$\phi_{\mathrm{i}}=A_{1}P_{1}(\eta)\,P_{1}(\zeta)=A_{1}\eta\,\zeta=\frac{A_{1}}{a}z$$

(4.174)

und daher ${\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}=-\frac{A_{1}}{a}{\boldsymbol{\hat{z}}}$ konstant. Mit (4.173 ) ist

$$\begin{aligned}\displaystyle{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{i}}&\displaystyle=-4\uppi{\boldsymbol{P}}N(\eta_{0}),\\ \displaystyle N(\eta_{0})&\displaystyle=(\eta_{0}^{2}-1)\left(\frac{\eta_{0}}{2}\ln\frac{\eta_{0}+1}{\eta_{0}-1}-1\right),\end{aligned}$$

(4.175)

wobei $N(\eta_{0})$ Entelektrifizierungsfaktor genannt wird, da im Fall, dass ${\boldsymbol{P}}$ durch ein äußeres elektrisches Feld hervorgerufen wird, das von ${\boldsymbol{P}}$ hervorgerufene Feld dem äußeren mit diesem Faktor entgegenwirkt. Für verschwindende Exzentrizität ($\eta_{0}^{-1}\to 0$), also für den Fall einer Kugel, ist $N=\frac{1}{3}$, in Übereinstimmung mit dem Ergebnis (4.31). Für endliche Werte von $\eta_{0}$ ist $N<\frac{1}{3}$; im Grenzfall maximaler Exzentrizität $\eta_{0}\to 1$, in dem das Ellipsoid zu einem unendlich dünnen Stab entartet, verschwindet $N$. (Für gestauchte Ellipsoide, die eine separate Rechnung erfordern, wird übrigens $N> \frac{1}{3}$ und erreicht im Extremfall einer dünnen Scheibe den Wert $N=1$; Letzteres wird in Aufgabe 4.7 gezeigt.)

Der Koeffizient $B_{1}$ im Ergebnis für das Potenzial im Außenraum kann mit dem gesamten Dipolmoment $p=|{\boldsymbol{P}}|V$ des Ellipsoids in Verbindung gebracht werden, wenn verwendet wird, dass das Volumen des Ellipsoids gegeben ist durch

$$V=\frac{4\uppi}{3}R^{2}Z=\frac{4\uppi}{3}(a\sinh u_{0})^{2}\,a\cosh u_{0}=\frac{4\uppi}{3}a^{3}(\eta_{0}^{2}-1)\eta_{0}.$$

(4.176)

Damit ist

$$\phi_{\mathrm{a}}=\frac{3p}{a^{2}}Q_{1}(\eta)\,\cos v.$$

(4.177)

Für große Abstände nähern sich die sphäroidalen Koordinaten Kugelkoordinaten an, wobei $a\eta\to r$ und $v\to\vartheta$ wird. Mit $Q_{1}(\eta)\to 1/(3\eta^{2})$, wie man aus (4.101) ableiten kann, sehen wir, dass erwartungsgemäß das Potenzial bei großen Abständen in das eines Dipols der Stärke $p$ übergeht.