Koordinatentransformationen und beschleunigte Bezugssysteme

Zusammenfassung

Die Untersuchung des Verhaltens eines physikalischen Systems unter einer Koordinatentransformation ist ein zentraler Punkt in der gesamten theoretischen Physik. Wird ein physikalisches System nach einer Koordinatentransformation durch dieselben Gleichungen beschrieben wie vorher, so heißt es symmetrisch unter dieser Transformation.

Symmetrien spielen in der Physik eine herausragende Rolle, was in Kap. 5 herausgearbeitet wird. Das Interesse an den Symmetrieeigenschaften physikalischer Systeme ist deswegen so wichtig, da Symmetrien in der Regel auf Erhaltungsgrößen führen. Beispiele hierfür sind die Energieerhaltung aufgrund der Zeittranslationsinvarianz (Symmetrie unter Verschiebung des Zeitnullpunktes) oder die Impulserhaltung aufgrund der Homogenität des Raumes (Symmetrie unter räumlichen Translationen). Wir werden darauf in Kap. 5 genauer eingehen.

In diesem Kapitel werden zahlreiche mathematische Werkzeuge eingeführt, um Koordinatentransformationen und beschleunigte Bezugssysteme beschreiben zu können. Dazu gehören z. B. die Drehmatrizen (Abschn. 2.1) sowie Zylinder- und Kugelkoordinaten (Abschn. 2.5). Des Weiteren wird ein Schwerpunkt auf die mit Koordinatentransformationen verbundene Physik gelegt. Beispielsweise lässt eine bestimmte Klasse von Koordinatentransformationen, den Galilei-Transformationen (Abschn. 2.2), die Newton’schen Bewegungsgleichungen invariant. Beschleunigte Bezugssysteme andererseits erfordern Erweiterungen der Bewegungsgleichungen, was letztlich auf die Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte führt (Abschn. 2.3 und 2.4).

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

• leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

•• mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

••• anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

2.1 • Orthogonale Transformationen

Zeigen Sie, dass Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren unter orthogonalen Transformationen invariant bleiben. Untersuchen Sie dazu, wie ein Skalarprodukt ${\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}=a_{i}b_{i}$ transformiert. Verwenden Sie hierbei die Einstein’sche Summenkonvention für doppelt auftretende Indizes.

2.2 •• Galilei-Transformation

Es sind zwei Galilei-Transformationen $({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{v}}_{0},{\boldsymbol{b}}_{0},t_{0})$ und $(\tilde{{\boldsymbol{R}}},\tilde{{\boldsymbol{v}}}_{0},\tilde{{\boldsymbol{b}}}_{0},\tilde{t}_{0})$ wie in (2.40) gegeben. Berechnen Sie diejenige Galilei-Transformation, die sich ergibt, wenn beide hintereinander ausgeführt werden. Bestimmen Sie ausgehend von diesem Ergebnis die Inverse einer allgemeinen Galilei-Transformation.

2.3 •• Umgekehrtes Transformationsverhalten von polaren Vektoren und ihren Zeitableitungen

Zeigen Sie, dass die umgekehrten Transformationsgleichungen in (2.74) aus (2.23), (2.54) und (2.73) folgen. Fangen Sie dabei mit ${\boldsymbol{d}}$ und ${\boldsymbol{d}}^{\prime}$ an und überlegen Sie sich dann den entsprechenden Zusammenhang für $\dot{{\boldsymbol{d}}}$ und $\dot{{\boldsymbol{d}}}{}^{\prime}$.

2.4 ••• Geostationärer Orbit

Satelliten im geostationären Orbit um die Erde befinden sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn über dem Äquator und bewegen sich relativ zur Erdoberfläche nicht.

• (a) Leiten Sie die Bedingung für einen geostationären Orbit ab und berechnen Sie den notwendigen Abstand des Satelliten von der Erdoberfläche. Die nötigen Parameter (z. B. Erdmasse) finden sich in der Literatur.

• (b) Seit einigen Jahren wird die Möglichkeit diskutiert, einen Orbitalaufzug zu bauen. Dabei handelt es sich im Wesentlichen um ein Seil, das vom Äquator senkrecht nach oben läuft. Die Gravitations- und die Zentrifugalkraft, die insgesamt auf das Seil wirken, heben sich dabei auf. Das Seil ist sozusagen ein geostationärer Satellit, der allerdings nicht durch eine Punktmasse beschrieben werden kann. Man nehme an, dass das Seil pro Längeneinheit ${\mathrm{d}}r$ eine konstante Masse hat,

  $${\mathrm{d}}m=\mu\,{\mathrm{d}}r.$$

  (2.136)

  Stellen Sie eine Integralgleichung auf, die die Kräftebilanz des gesamten Seiles beschreibt. Führen Sie dazu einen zunächst unbekannten Radius $r_{\mathrm{S}}$ ein, der den Abstand des oberen Seilendes vom Erdmittelpunkt beschreibt. Wie groß ist $r_{\mathrm{S}}$?

2.5 •• Beschleunigung in Kugelkoordinaten

Berechnen Sie die Beschleunigung einer Punktmasse in Kugelkoordinaten. Orientieren Sie sich dabei an den Rechnungen, die auf die Beschleunigung in Zylinderkoordinaten (2.123) geführt haben.

2.6 •• Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

Berechnen Sie den Laplace-Operator (2.131) in Kugelkoordinaten und zeigen Sie somit (2.133). Hierfür sind Teilergebnisse von Aufgabe 2.5 nützlich.

2.7 ••• Gravitationsfeld der Erde

Es ist das Gravitationsfeld $\phi(r)=V(r)/m$ ($m$ ist eine kleine Testmasse) im Innen- und Außenraum der Erde zu berechnen. Wir nehmen hier an, dass das Problem kugelsymmetrisch ist. Verfolgen Sie dazu die beiden folgenden Ansätze unabhängig voneinander.

• (a) Man kann zeigen (ohne Beweis an dieser Stelle, aber siehe Bd. 2, Aufgabe 3.11 für ein Analogon in der Elektrodynamik), dass bei einer radialsymmetrischen Massenverteilung das Gravitationsfeld beim Radius $r$ nur von der Masse abhängt, die sich innerhalb einer Kugel mit ebendiesem Radius $r$ befindet. Es gilt dann

  $$F_{r}=-\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d}}r}\phi(r)=-\frac{GM_{<}(r)}{r^{2}}.$$

  (2.137)

  Dabei bezeichnet $M_{<}(r)$ die Masse, die sich innerhalb einer Kugel mit Radius $r$ befindet, und $F_{r}$ ist die radiale Komponente der Gravitationskraft, die zum Zentrum hin zeigt.

• (b) In Bd. 2 werden sogenannte Feldgleichungen diskutiert. Mit den dort besprochenen Hilfsmitteln lässt sich zeigen, dass der Zusammenhang

  $${\Updelta}\phi({\boldsymbol{x}})=4\uppi G\rho({\boldsymbol{x}})$$

  (2.138)

  zwischen Massendichte $\rho({\boldsymbol{x}})$ und Gravitationspotenzial $\phi({\boldsymbol{x}})$ besteht (siehe Bd. 2, (2.8) für die entsprechende Gleichung für das elektrische Potenzial). Aufgrund der Kugelsymmetrie bietet es sich an, den Laplace-Operator ${\Updelta}$ in Kugelkoordinaten zu verwenden. Weiterhin gelten dann die Relationen $\rho({\boldsymbol{x}})=\rho(r)$ und $\phi({\boldsymbol{x}})=\phi(r)$.

Berechnen Sie sowohl aus (2.137) als auch aus (2.138) das Gravitationspotenzial $\phi(r)$. Berücksichtigen Sie dabei die geeigneten Randbedingungen, um die Differenzialgleichungen vollständig aufzuintegrieren. Zur Vereinfachung nehmen wir weiterhin an, dass die Massendichte der Erde konstant ist: $\rho(r)={\mathrm{const}}$.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

2.1

Es ist zunächst der Zusammenhang zwischen dem transformierten Skalarprodukt $a^{\prime}_{i}b^{\prime}_{i}$ und dem ursprünglichen Skalarprodukt $a_{i}b_{i}$ gesucht. Es sei ${\boldsymbol{S}}$ die Matrix, die eine orthogonale Transformation vom ungestrichenen in das gestrichene System darstellt. Dann gelten $a^{\prime}_{i}=S_{ij}a_{j}$ und $b^{\prime}_{i}=S_{ij}b_{j}$ und somit

$$a^{\prime}_{i}b^{\prime}_{i}=S_{ij}a_{j}S_{ik}b_{k}.$$

(2.139)

Hier muss das zweite Indexpaar $j$ durch $k$ ersetzt werden, da Summationsindizes nicht häufiger als zweimal auf einer Seite einer Gleichung auftreten dürfen. Orthogonale Transformationen erfüllen aber gerade $S_{ij}S_{ik}=\delta_{jk}$. Es folgt sofort

$$a^{\prime}_{i}b^{\prime}_{i}=a_{j}b_{k}\delta_{jk}=a_{j}b_{j}=a_{i}b_{i}.$$

(2.140)

Im letzten Schritt kann das Indexpaar $j$ durch $i$ ersetzt werden. Dies ist möglich, da über diese Indizes summiert wird und sie noch nicht auf dieser Seite der Gleichung verwendet werden. Es dürfen stets nur beide Indizes eines Indexpaares gleichzeitig durch ein anderes Indexpaar ersetzt werden.

Betrachtet man nun den Spezialfall $b_{i}=a_{i}$ und $b^{\prime}_{i}=a^{\prime}_{i}$, so folgt, dass die Länge eines Vektors invariant ist:

$$|{\boldsymbol{a}}^{\prime}|^{2}=a^{\prime}_{i}a^{\prime}_{i}=a_{i}a_{i}=|{\boldsymbol{a}}|^{2}.$$

(2.141)

Für den Winkel zwischen den Vektoren ${\boldsymbol{a}}$ und ${\boldsymbol{b}}$ gilt

$$\cos\theta=\frac{{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{b}}}{|{\boldsymbol{a}}||{\boldsymbol{b}}|}.$$

(2.142)

Da sowohl das Skalarprodukt im Zähler als auch die Beträge im Nenner invariant sind, muss auch $\cos\theta$ und damit der Winkel $\theta$ zwischen den Vektoren invariant sein. Eine orthogonale Transformation ist daher eine winkeltreue und längentreue Transformation .

2.2

Wir schreiben zunächst

$$\begin{aligned}\displaystyle{\boldsymbol{x}}^{\prime}&\displaystyle={\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{v}}_{0}t-{\boldsymbol{b}}_{0}),\quad&\displaystyle t^{\prime}&\displaystyle=t-t_{0},\\ \displaystyle{\boldsymbol{x}}^{\prime\prime}&\displaystyle=\tilde{{\boldsymbol{R}}}({\boldsymbol{x}}^{\prime}-\tilde{{\boldsymbol{v}}}_{0}t^{\prime}-\tilde{{\boldsymbol{b}}}_{0}),\quad&\displaystyle t^{\prime\prime}&\displaystyle=t^{\prime}-\tilde{t}_{0}.\end{aligned}$$

(2.143)

Einsetzen von ${\boldsymbol{x}}^{\prime}$ und $t^{\prime}$ in ${\boldsymbol{x}}^{\prime\prime}$ und $t^{\prime\prime}$ ergibt

$$\begin{aligned}\displaystyle{\boldsymbol{x}}^{\prime\prime}&\displaystyle=\tilde{{\boldsymbol{R}}}\left[{\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{v}}_{0}t-{\boldsymbol{b}}_{0})-\tilde{{\boldsymbol{v}}}_{0}(t-t_{0})-\tilde{{\boldsymbol{b}}}_{0}\right],\\ \displaystyle t^{\prime\prime}&\displaystyle=t-(t_{0}+\tilde{t}_{0}).\end{aligned}$$

(2.144)

Dies vergleicht man mit einer dritten Galilei-Transformation,

$${\boldsymbol{x}}^{\prime\prime}=\bar{{\boldsymbol{R}}}({\boldsymbol{x}}-\bar{{\boldsymbol{v}}}_{0}t-\bar{{\boldsymbol{b}}}_{0}),\quad t^{\prime\prime}=t-\bar{t}_{0},$$

(2.145)

die direkt vom ungestrichenen zum doppelt gestrichenen System führt. Durch einen Vergleich findet man

$$\begin{aligned}\displaystyle\bar{{\boldsymbol{R}}}&\displaystyle=\tilde{{\boldsymbol{R}}}{\boldsymbol{R}},\\ \displaystyle\bar{{\boldsymbol{v}}}_{0}&\displaystyle={\boldsymbol{v}}_{0}+{\boldsymbol{R}}^{\top}\tilde{{\boldsymbol{v}}}_{0},\\ \displaystyle\bar{{\boldsymbol{b}}}_{0}&\displaystyle={\boldsymbol{b}}_{0}+{\boldsymbol{R}}^{\top}\left(\tilde{{\boldsymbol{b}}}_{0}-\tilde{{\boldsymbol{v}}}_{0}t_{0}\right),\\ \displaystyle\bar{t}_{0}&\displaystyle=\tilde{t}_{0}+t_{0}.\end{aligned}$$

(2.146)

Eine Galilei-Transformation gefolgt von ihrer inversen Transformation muss als $({\boldsymbol{I}},\boldsymbol{0},\boldsymbol{0},0)$ darstellbar sein. Dies führt zunächst auf

$$\tilde{{\boldsymbol{R}}}={\boldsymbol{R}}^{\top}\quad\mathrm{und}\quad\tilde{t}_{0}=-t_{0}.$$

(2.147)

Weiterhin gilt

$$\tilde{{\boldsymbol{v}}}_{0}=-{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{v}}_{0}$$

(2.148)

und schließlich

$$\tilde{{\boldsymbol{b}}}_{0}=-{\boldsymbol{R}}\left({\boldsymbol{v}}_{0}t_{0}+{\boldsymbol{b}}_{0}\right).$$

(2.149)

2.3

Zunächst ist es trivial zu sehen, dass

$${\boldsymbol{d}}^{\prime}={\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{d}}\quad\Longrightarrow\quad{\boldsymbol{d}}={\boldsymbol{R}}^{\top}{\boldsymbol{d}}^{\prime}$$

(2.150)

gilt. Im zweiten Schritt soll

$$\begin{aligned}\displaystyle\dot{{\boldsymbol{d}}}{}^{\prime}&\displaystyle={\boldsymbol{R}}\left(\dot{{\boldsymbol{d}}}-{\boldsymbol{\omega}}\times{\boldsymbol{d}}\right)\\ \displaystyle\Longrightarrow\quad\dot{{\boldsymbol{d}}}&\displaystyle={\boldsymbol{R}}^{\top}\left(\dot{{\boldsymbol{d}}}{}^{\prime}+{\boldsymbol{\omega}}^{\prime}\times{\boldsymbol{d}}^{\prime}\right)\end{aligned}$$

(2.151)

gezeigt werden. Dies ist gleichbedeutend mit der Identität

$${\boldsymbol{\omega}}^{\prime}\times{\boldsymbol{d}}^{\prime}={\boldsymbol{R}}\left({\boldsymbol{\omega}}\times{\boldsymbol{d}}\right),$$

(2.152)

deren Gültigkeit überprüft werden soll. Da ${\boldsymbol{\omega}}\times{\boldsymbol{d}}$ ein polarer Vektor ist (denn das Kreuzprodukt eines axialen und eines polaren Vektors ist wieder ein polarer Vektor), ist die Gültigkeit von (2.152) im Grunde schon gezeigt. Wir wollen dies aber hier explizit überprüfen. Dazu schreiben wir die rechte Seite von (2.152) in Komponentenform:

$$r_{ij}\epsilon_{jkl}\omega_{k}v_{l}=r_{ij}b_{lj}v_{l}=-r_{ij}b_{jl}v_{l}.$$

(2.153)

Hier wurden $\epsilon_{ijk}\omega_{k}=b_{ij}$ sowie $b_{ij}=-b_{ji}$ verwendet. An dieser Stelle kann die Identität in der Form $\delta_{lm}=r_{kl}r_{km}$ eingeführt werden:

$$r_{ij}\epsilon_{jkl}\omega_{k}v_{l}=-r_{ij}r_{kl}b_{jl}r_{km}v_{m}=-b^{\prime}_{ik}v^{\prime}_{k}.$$

(2.154)

Im letzten Schritt wurden die Transformationseigenschaften von $b_{jl}$ und $v_{m}$ unter orthogonalen Transformationen ausgenutzt. Schließlich ist

$$-b^{\prime}_{ik}v^{\prime}_{k}=-\epsilon_{ikl}\omega^{\prime}_{l}v^{\prime}_{k}=\epsilon_{ilk}\omega^{\prime}_{l}v^{\prime}_{k},$$

(2.155)

was gerade die Komponentenschreibweise von ${\boldsymbol{\omega}}^{\prime}\times{\boldsymbol{d}}^{\prime}$ ist. Somit ist auch der Zusammenhang zwischen $\dot{{\boldsymbol{d}}}$ und $\dot{{\boldsymbol{d}}}{}^{\prime}$ gezeigt. Die dritte Gleichung in (2.74) folgt wieder aus der Argumentation, dass jede weitere Zeitableitung durch wiederholtes Anwenden der zweiten Gleichung in (2.74) erhalten werden kann.

2.4

• (a) Ein Satellit auf einer Kreisbahn ruht im korotierenden Bezugssystem und erfährt dort keine Kräfte. Dies bedeutet, dass sich die Gravitations- und die Zentrifugalkraft gerade aufheben müssen. Es gibt keine Coriolis-Kraft. Wie bereits in (2.102) gezeigt, lautet die Bahngeschwindigkeit des Satelliten

  $$V=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

  (2.156)

  Dabei ist $r$ der Abstand des Satelliten zum Erdmittelpunkt. Die Bahngeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit des Satelliten erfüllen wegen (2.76)

  $$V=\omega_{\mathrm{E}}r,$$

  (2.157)

  da ${\boldsymbol{\omega}}$ und ${\boldsymbol{x}}$ senkrecht aufeinander stehen. Somit ist der Radius der geostationären Satellitenbahn durch

  $$r_{\mathrm{G}}=\sqrt[3]{\frac{GM}{\omega_{\mathrm{E}}^{2}}}$$

  (2.158)

  gegeben. Damit der Satellit geostationär ist, muss $\omega$ der Winkelgeschwindigkeit der Erde entsprechen. Der Wert ist $\omega_{\mathrm{E}}=2\uppi/86.400\,\mathrm{s}$. Die Gravitationskonstante und die Erdmasse sind $G=6{,}67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-2}$ und $M=5{,}97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Somit ergibt sich ein Bahnradius von rund $r_{\mathrm{G}}=42.160\,\mathrm{km}$. Zieht man den Erdradius ($r_{\mathrm{E}}=6380\,\mathrm{km}$) ab, findet man den Abstand von der Erdoberfläche: $r_{\mathrm{G}}-r_{\mathrm{E}}=35.780\,\mathrm{km}$.

• (b) Das gesamte Seil ruht im korotierenden Bezugssystem. Zentrifugal- und Gravitationskräfte heben sich nicht an jedem Punkt des Seiles, sondern nur integriert über das gesamte Seil auf. Ein kleines Element des Seiles mit Abstand $r$ zum Erdmittelpunkt erfährt die Kräfte

  $${\mathrm{d}}F_{\mathrm{G}}=\frac{GM\mu\,{\mathrm{d}}r}{r^{2}},\quad{\mathrm{d}}F_{\mathrm{Z}}=\mu\omega_{\mathrm{E}}^{2}r\,{\mathrm{d}}r.$$

  (2.159)

  Die Differenz der Kräfte ist

  $${\mathrm{d}}F_{\mathrm{Z}}-{\mathrm{d}}F_{\mathrm{G}}=\left(\omega_{\mathrm{E}}^{2}-\frac{GM}{r^{3}}\right)\mu r\,{\mathrm{d}}r.$$

  (2.160)

  Wegen des Ergebnisses in der ersten Teilaufgabe sieht man, dass die Differenz negativ ist, wenn $r<r_{\mathrm{G}}$ ist. Für kleine Abstände werden die Seilelemente daher in Richtung Erdoberfläche beschleunigt. Für Seilelemente, die weiter von der Erde entfernt sind, überwiegt die Zentrifugalkraft: Sie werden nach außen beschleunigt. Aufgrund der Seilspannung hängen allerdings alle Seilelemente zusammen. Das Seil kann nur als Ganzes beschleunigt werden. Daraus ergibt sich als Bedingung für das Orbitalseil:

  $$\int_{r_{\mathrm{E}}}^{r_{\mathrm{S}}}\left(\omega_{\mathrm{E}}^{2}-\frac{GM}{r^{3}}\right)\mu r\,{\mathrm{d}}r=0.$$

  (2.161)

  Nach ausgeführter Integration folgt

  $$\begin{aligned}\displaystyle GM\left(\frac{1}{r_{\mathrm{E}}}-\frac{1}{r_{\mathrm{S}}}\right)&\displaystyle=\frac{1}{2}\omega_{\mathrm{E}}^{2}(r_{\mathrm{S}}-r_{\mathrm{E}})^{2}\\ \displaystyle\Longrightarrow\quad\frac{2GM}{\omega_{\mathrm{E}}^{2}}&\displaystyle=r_{\mathrm{E}}r_{\mathrm{S}}(r_{\mathrm{E}}-r_{\mathrm{S}}).\end{aligned}$$

  (2.162)

  Diese in $r_{\mathrm{S}}$ quadratische Gleichung kann direkt gelöst werden:

  $$\begin{aligned}\displaystyle r_{\mathrm{S}}&\displaystyle=\frac{r_{\mathrm{E}}}{2}\pm\sqrt{\frac{r_{\mathrm{E}}^{2}}{4}+\frac{2GM}{\omega_{\mathrm{E}}^{2}r_{\mathrm{E}}}}=\frac{r_{\mathrm{E}}}{2}\pm\sqrt{\frac{r_{\mathrm{E}}^{2}}{4}+\frac{2r_{\mathrm{G}}^{3}}{r_{\mathrm{E}}}}\\ \displaystyle&\displaystyle=r_{\mathrm{E}}\left(\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2\left(\frac{r_{\mathrm{G}}}{r_{\mathrm{E}}}\right)^{3}}\right).\end{aligned}$$

  (2.163)

  Die negative Lösung ist ungültig, da $r_{\mathrm{S}}> r_{\mathrm{E}}$ sein muss. Wegen $r_{\mathrm{G}}/r_{\mathrm{E}}\approx 6{,}61$ ist der numerische Wert somit ungefähr $r_{\mathrm{S}}=24{,}5r_{\mathrm{E}}=3{,}7r_{\mathrm{G}}=157.000\,\mathrm{km}$. Anstatt das Seil bis $r_{\mathrm{S}}$ zu verlängern, ist es auch denkbar, ein „hinreichend schweres Gegengewicht“ an einem Punkt oberhalb von $r_{\mathrm{G}}$ am Seil zu befestigen. Dem Leser ist es überlassen auszurechnen, wie groß die „Gegenmasse“ sein muss, damit das Seil insgesamt unbeschleunigt bleibt.

2.5

Das Wegelement für Kugelkoordinaten lautet, ähnlich wie (2.111):

$${\mathbf{d}}{\boldsymbol{s}}={\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\,{\mathrm{d}}r+{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}\,r\,{\mathrm{d}}\vartheta+{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}\,r\,\sin\vartheta\,{\mathrm{d}}\varphi.$$

(2.164)

Deswegen gilt zunächst für die Geschwindigkeit einer Punktmasse

$$\dot{{\boldsymbol{x}}}=\dot{r}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}+r\dot{\vartheta}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}+r\,\sin\vartheta\dot{\varphi}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}.$$

(2.165)

Es ist sinnvoll, im Folgenden die Ableitungen der Basisvektoren zu berechnen. Diese folgen aus (2.114):

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{\partial r}&\displaystyle=\boldsymbol{0},&\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{\partial r}&\displaystyle=\boldsymbol{0},\\ \displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{\partial r}&\displaystyle=\boldsymbol{0},&\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{\partial\vartheta}&\displaystyle={\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta},\\ \displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{\partial\vartheta}&\displaystyle=-{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r},&\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{\partial\vartheta}&\displaystyle=\boldsymbol{0},\\ \displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{\partial\varphi}&\displaystyle=\sin\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi},&\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{\partial\varphi}&\displaystyle=\cos\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi},\\ \displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{\partial\varphi}&\displaystyle=-(\sin\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}+\cos\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}).\end{aligned}$$

(2.166)

Hieraus ergeben sich die Zeitableitungen der Basisvektoren. Für ${\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}$ gilt

$$\frac{{\mathbf{d}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{{\mathrm{d}}t}=\dot{r}\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{\partial r}+\dot{\vartheta}\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{\partial\vartheta}+\dot{\varphi}\frac{\partial{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{\partial\varphi}=\dot{\vartheta}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}+\dot{\varphi}\,\sin\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}.$$

(2.167)

Analog hat man

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{{\mathbf{d}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{{\mathrm{d}}t}&\displaystyle=-\dot{\vartheta}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}+\dot{\varphi}\,\cos\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi},\\ \displaystyle\frac{{\mathbf{d}}{\boldsymbol{\hat{e}}}{}^{\prime}_{\varphi}}{{\mathrm{d}}t}&\displaystyle=-\dot{\varphi}(\sin\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}+\cos\vartheta\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}).\end{aligned}$$

(2.168)

Die Beschleunigung ist die Zeitableitung von (2.165):

$$\begin{aligned}\displaystyle\ddot{{\boldsymbol{x}}}&\displaystyle=\ddot{r}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}+\dot{r}\,\frac{{\mathbf{d}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{{\mathrm{d}}t}+\dot{r}\dot{\vartheta}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}{}^{\prime}_{\vartheta}+r\ddot{\vartheta}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}+r\dot{\vartheta}\,\frac{{\mathbf{d}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{{\mathrm{d}}t}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\dot{r}\,\sin\vartheta\,\dot{\varphi}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}+r\,\cos\vartheta\,\dot{\vartheta}\dot{\varphi}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+r\,\sin\vartheta\,\ddot{\varphi}\,{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}+r\,\sin\vartheta\,\dot{\varphi}\,\frac{{\mathbf{d}}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{{\mathrm{d}}t}.\end{aligned}$$

(2.169)

Es müssen nun alle Zeitableitungen der Basisvektoren durch die entsprechenden Terme in (2.168) ersetzt werden. Eine etwas mühsame, aber unkomplizierte Sortierung nach den drei Basisvektoren liefert letztlich

$$\begin{aligned}\displaystyle\ddot{{\boldsymbol{x}}}&\displaystyle={\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\left[\ddot{r}-r\left(\dot{\vartheta}^{2}+\sin^{2}\vartheta\,\dot{\varphi}^{2}\right)\right]\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}\left[2\dot{r}\dot{\vartheta}+r\left(\ddot{\vartheta}-\sin\vartheta\,\cos\vartheta\,\dot{\varphi}^{2}\right)\right]\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}\left[\left(r\ddot{\varphi}+2\dot{r}\dot{\varphi}\right)\sin\vartheta+2r\dot{\vartheta}\dot{\varphi}\,\cos\vartheta\right].\end{aligned}$$

(2.170)

Die Terme in (2.170), die nur erste Zeitableitungen erhalten, sind gerade die Coriolis- und die Zentrifugalbeschleunigungen. Dies kann man sich überlegen, wenn man die entsprechenden Kräfte in (2.80) in Kugelkoordinaten formuliert.

2.6

Für Kugelkoordinaten gilt aufgrund des Wegelements (2.117)

$$h_{r}=1,\quad h_{\vartheta}=r,\quad h_{\varphi}=r\,\sin\vartheta.$$

(2.171)

Die Ableitungen der Basisvektoren sind in (2.166) zu finden. Wegen (2.131) sind insgesamt neun Terme zu berücksichtigen. Die Reihenfolge der Ableitungen in diesen Termen kann in der Regel nicht vertauscht werden, da die koordinatenabhängigen Basisvektoren dazwischenstehen. Es können jedoch teilweise Faktoren vor die Ableitungen gezogen werden. Zum Beispiel hängen sämtliche Basisvektoren nicht vom Radius $r$ ab und können mit $r$-Ableitungen vertauscht werden.

Im Folgenden schauen wir uns alle Kombinationen an und vereinfachen zunächst so weit wie möglich. Man beachte, dass alle Basisvektoren senkrecht aufeinander stehen und Skalarprodukte verschiedener Basisvektoren somit identisch verschwinden. Um die Übersichtlichkeit zu verbessern, verzichten wir an dieser Stelle auf die Punkte, die das Skalarprodukt kennzeichnen.

Es ist weiterhin zu beachten, dass der Laplace-Operator auf Funktionen $f(r,\vartheta,\varphi)$ anzuwenden ist. Um dies zu berücksichtigen, schreiben wir eine beliebige Funktion $f$ hin. Wir beginnen mit den Termen, bei denen links die $r$-Ableitung steht:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{h_{r}}\frac{\partial}{\partial r}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{h_{r}}\frac{\partial}{\partial r}f&\displaystyle={\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\frac{\partial}{\partial r}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\frac{\partial}{\partial r}f=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}f,\\ \displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{h_{r}}\frac{\partial}{\partial r}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{h_{\vartheta}}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f&\displaystyle={\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\frac{\partial}{\partial r}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{r}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f=0,\\ \displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{h_{r}}\frac{\partial}{\partial r}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{h_{\varphi}}\frac{\partial}{\partial\varphi}f&\displaystyle={\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\frac{\partial}{\partial r}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{r\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\varphi}f=0.\end{aligned}$$

(2.172)

Nun betrachten wir die Terme, bei denen links die $\vartheta$-Ableitung steht, und berücksichtigen dabei (2.166), in der die $\vartheta$-Ableitungen der Basisvektoren abgelesen werden können:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{h_{\vartheta}}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{h_{r}}\frac{\partial}{\partial r}f&\displaystyle=\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{r}\frac{\partial}{\partial\vartheta}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\frac{\partial}{\partial r}f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}f,\\ \displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{h_{\vartheta}}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{h_{\vartheta}}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f&\displaystyle=\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{r}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{r}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}f,\\ \displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{h_{\vartheta}}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{h_{\varphi}}\frac{\partial}{\partial\varphi}f&\displaystyle=\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{r}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{r\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\varphi}f=0.\end{aligned}$$

(2.173)

Es verbleiben noch die drei Terme, bei denen links die $\varphi$-Ableitungen stehen:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{h_{\varphi}}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}}{h_{r}}\frac{\partial}{\partial r}f&\displaystyle=\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{r\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\varphi}{\boldsymbol{\hat{e}}}_{r}\frac{\partial}{\partial r}f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}f,\\ \displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{h_{\varphi}}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{h_{\vartheta}}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f&\displaystyle=\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{r\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\vartheta}}{r}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f=\frac{\cos\vartheta}{r^{2}\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}f,\\ \displaystyle\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{h_{\varphi}}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{h_{\varphi}}\frac{\partial}{\partial\varphi}f&\displaystyle=\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{r\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\frac{{\boldsymbol{\hat{e}}}_{\varphi}}{r\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\varphi}f=\frac{1}{r^{2}\,\sin^{2}\vartheta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}f.\end{aligned}$$

(2.174)

Die Rechnungen sind fast abgeschlossen. Man erkennt, dass keine gemischten Ableitungen auftreten. Der Grund ist, dass alle gemischten Ableitungen mit Skalarprodukten verschiedener Basisvektoren zusammenhängen und somit verschwinden müssen.

Abschließend fassen wir noch die Ableitungen zusammen. Die $r$-Ableitungen lauten in kombinierter Form

$$\left(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)f=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}r^{2}\frac{\partial}{\partial r}f,$$

(2.175)

wie man schnell überprüft. Analog gilt für die $\vartheta$-Ableitungen

$$\left(\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\vartheta^{2}}+\frac{\cos\vartheta}{r^{2}\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\right)f=\frac{1}{r^{2}\,\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\sin\vartheta\frac{\partial}{\partial\vartheta}f.$$

(2.176)

Da es nur einen Term mit $\varphi$-Ableitungen gibt, muss dort nichts zusammengefasst werden. Die drei verbleibenden Ableitungsterme ergeben das Endergebnis in (2.133).

2.7

• (a) Zunächst überlege man sich, dass die Masse, die sich in einer Kugel mit Radius $r$ und konstanter Massendichte $\rho$ befindet, durch

  $$M_{<}(r)=\frac{4\uppi}{3}\rho r^{3}$$

  (2.177)

  gegeben ist. Dies gilt, so lange man sich innerhalb der Erde befindet. Außerhalb ist in jeder Kugel mit Radius $r> R$ ($R$ ist der Erdradius) $M_{<}(r)=M=4\uppi\rho R^{3}/3$. Wir integrieren also (2.137) zunächst vom Erdmittelpunkt bis zu einem Punkt $r<R$ und erhalten

  $$\phi(r)=\frac{4\uppi}{3}G\rho\int_{0}^{r}r^{\prime}\,{\mathrm{d}}r^{\prime}=\frac{2\uppi}{3}G\rho r^{2}+C_{1}$$

  (2.178)

  mit einer Integrationskonstanten $C_{1}$. Im Außenraum, $r> R$, gilt offensichtlich

  $$\phi(r)=\frac{4\uppi}{3}G\rho R^{3}\int_{R}^{r}\frac{{\mathrm{d}}r^{\prime}}{r^{\prime 2}}=-\frac{GM}{r}+C_{2}$$

  (2.179)

  mit einer weiteren Integrationskonstanten $C_{2}$, die wir beispielsweise als $C_{2}=0$ wählen können, indem wir verlangen, dass $\phi(r\to\infty)\to 0$ gilt. Es ist nur noch $C_{1}$ zu bestimmen. Dies ist möglich, indem man fordert, dass $\phi(r)$ an der Erdoberfläche stetig ist. Physikalisch bedeutet dies, dass eine Masse nicht plötzlich potenzielle Energie gewinnt oder verliert, wenn sie sich gerade durch die Erdoberfläche hindurch bewegt. Es folgt also

  $$\frac{2\uppi}{3}G\rho R^{2}+C_{1}=-\frac{GM}{R},$$

  (2.180)

  was letztlich auf

  $$C_{1}=-\frac{3}{2}\frac{GM}{R}$$

  (2.181)

  führt. Die Lösung lautet also

  $$\phi(r)=\begin{cases}\frac{1}{2}\frac{GM}{R}\left(\frac{r^{2}}{R^{2}}-3\right)&r<R,\\ -\frac{GM}{r}&r\geq R.\end{cases}$$

  (2.182)

  Man kann schnell überprüfen, dass auch die Gravitationskraft (wie gefordert) stetig ist. Dazu leitet man $\phi(r)$ wieder nach $r$ ab und vergleicht die beiden Terme in (2.182) bei $r=R$.

• (b) Für ein kugelsymmetrisches Problem verschwinden sämtliche Winkelableitungen. Der Laplace-Operator kann deshalb in der Form

  $${\Updelta}={\Updelta}_{r}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}r^{2}\frac{\partial}{\partial r}$$

  (2.183)

  geschrieben werden. Dies führt offensichtlich auf eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung:

  $$\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\phi(r)=4\uppi G\rho.$$

  (2.184)

  Im Innenraum der Erde ist die Massendichte $\rho$, außerhalb $0$. Wir beschäftigen uns zunächst mit der Lösung für den Innenraum. Multiplikation mit $r^{2}$ und eine erste Integration führen auf

  $$r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\phi(r)=\frac{4\uppi}{3}G\rho r^{3}+C_{1}.$$

  (2.185)

  Offensichtlich bekommt man nach Division von $r^{2}$ und einer erneuten Integration

  $$\phi(r)=\frac{2\uppi}{3}G\rho r^{2}-\frac{C_{1}}{r}+C_{2}.$$

  (2.186)

  Diese Lösung ist fast identisch zu der in (2.178); es existiert allerdings noch ein Term $C_{1}/r$. Die Integrationskonstante $C_{1}$ muss verschwinden, damit die Lösung im Innenraum für $r\to 0$ regulär ist, also nicht divergiert. Somit ist im Innenraum

  $$\phi(r)=\frac{2\uppi}{3}G\rho r^{2}+C_{2},\quad r<R.$$

  (2.187)

  Im Außenraum gilt ebenfalls (2.186), allerdings muss dort $\rho=0$ gesetzt werden. Außerdem nennen wir die Integrationskonstanten $K_{1}$ und $K_{2}$, um sie von $C_{1}$ und $C_{2}$ der Innenraumlösung zu unterscheiden. Die Integrationskonstante $K_{2}$ kann wieder gleich null gesetzt werden, damit $\phi(r\to\infty)\to 0$ geht. Es folgt also

  $$\phi(r)=-\frac{K_{1}}{r},\quad r> R.$$

  (2.188)

  Nun müssen noch $C_{2}$ und $K_{1}$ bestimmt werden. Aus der Bedingung, dass das Potenzial bei $r=R$ stetig differenzierbar ist, folgt zum einen

  $$\frac{4\uppi}{3}G\rho R=\frac{K_{2}}{R^{2}}$$

  (2.189)

  und zum anderen

  $$\frac{2\uppi}{3}G\rho R^{2}+C_{2}=-\frac{K_{1}}{R}.$$

  (2.190)

  Insgesamt führt dies wieder auf (2.182).