Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Neben Anfangswertproblemen stellen sich bei praktischen Anwendungen oft auch Randbedingungen auf beiden Seiten des Rechenintervalls. Statt einem eingespannten Balken und der Lösung eines Anfangswertproblems liegt der Balken auf beiden Seiten auf. Diese beidseitige Lagerung führt auf zwei Randwerte für das Problem. Zur numerische Lösung von Randwertproblemen werden drei Klassen von Methoden betrachtet. Beim Schießverfahren wird ein zusätzlicher Anfangswert vorgegeben und dieser durch mehrmaliges Lösen des Anfangswertproblems so bestimmt, dass der vorgegebene Randwert auf der anderen Seite angenommen wird. Die beiden anderen Klassen von Verfahren sind sehr allgemein anwendbar und sind Standardmethoden zur Approximation von partiellen Differenzialgleichungen. Beim Differenzenverfahren werden die Ableitungen an Gitterpunkten durch Differenzenquotienten approximiert und damit die Differenzialgleichung in ein System von Differenzengleichungen für die Näherungswerte überführt. Beim Finite-Elemente-Verfahren wird die Lösungsfunktion durch eine einfache Funktion approximiert, die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzt wird. Die Koeffizienten der Linearkombination sind die Freiheitsgrade, die so berechnet werden, dass der Approximationsfehler möglichst klein wird. Bei homogenen Problemen können statt Randwertprobleme auch Eigenwertprobleme auftreten.