Kinetik des Massenpunkts – Wie beeinflussen Kräfte und Momente die Bewegung?

Zusammenfassung

Nach der Kinematik wenden wir uns nun der Kinetik zu; die Kinetik beschäftigt sich mit der Frage, welcher Zusammenhang zwischen den kinematischen Größen und den auf einen Massenpunkt wirkenden Kräften besteht. Es entspricht der Alltagserfahrung, dass ein Körper einer Änderung seines Bewegungszustandes einen Widerstand, seine „Massenträgheit“, entgegengesetzt. Die für das Bewegungsverhalten eines Körpers grundlegenden Gesetzmäßigkeiten gehen ebenso wie das Gegenwirkungsprinzip „actio = reactio“ aus der Statik auf Isaac Newton (1643–1727) zurück.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 8.1

Da die Kraft als konstant vorausgesetzt wurde, kann man sie vor das Integral ziehen und erhält:

$$\displaystyle W=\boldsymbol{F}\cdot\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\!\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1})=\boldsymbol{F}\cdot\Updelta\boldsymbol{r}_{12}=F\Updelta r_{12}\cos\alpha\,.$$

Die Arbeit ist daher positiv, wenn der Kraftvektor F einen Anteil in Richtung des Verschiebungsvektors $\Updelta\boldsymbol{r}_{12}$ besitzt, da dann wegen ${0\leq\alpha<90^{\circ}}$ der Kosinusterm positiv ist. Wenn der Kraftvektor dagegen einen Anteil entgegen des Verschiebungsvektors hat, ergibt sich wegen ${90^{\circ}<\alpha\leq 180^{\circ}}$ eine negative Arbeit. Wenn Kraft- und Verschiebungsvektors senkrecht aufeinanderstehen, ist wegen ${\alpha=90^{\circ}}$ die Arbeit stets null, selbst wenn Kraft- oder Verschiebungsvektor ungleich null sind. Für die speziellen Winkel ${\alpha=0^{\circ},90^{\circ},180^{\circ}}$ erhalten wir insbesondere:

$$\displaystyle W=\begin{cases}F\cdot\Updelta r_{12}&\text{falls\quad}\boldsymbol{F}\uparrow\uparrow\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,,\\ 0&\text{falls\quad}\boldsymbol{F}\perp\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,,\\ -F\cdot\Updelta r_{12}&\text{falls\quad}\boldsymbol{F}\uparrow\downarrow\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,.\end{cases}$$

Die einfache Merkregel „Arbeit ist Kraft mal Weg“ darf daher nur verwendet werden, wenn die Kraft nach Betrag und Richtung konstant ist sowie Kraft und Weg gleichsinnig parallel sind.

Antwort 8.2

Da die Längenänderung $\Updelta s$ quadriert wird, ist die Arbeit, die die Federkraft am Massenpunkt verrichtet, unabhängig davon, ob die Feder gedehnt ($s> s_{0}$) oder gestaucht ($s<s_{0}$) wird, stets negativ. Null ist sie nur im Sonderfall, dass man die Feder weder dehnt noch staucht.

Antwort 8.3

Die Gesetze der Statik gelten für unbewegte Systeme oder für Systeme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. In beiden Fällen ist die Differenz der kinetischen Energie gleich null. Aus ${W_{01}=0}$ folgt in Übereinstimmung mit Abschn. 6.2, dass im Sonderfall der Statik die virtuelle Arbeit ${\delta{}W}$ gleich null ist.

Antwort 8.4

Im Sonderfall ${\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{F}_{i}=\boldsymbol{0}}$ ist ${\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}=\boldsymbol{0}}$; der Gesamtimpuls ändert sich nicht. Dies ist die Aussage des Impulserhaltungssatzes: Der Gesamtimpuls eines Massenpunktsystems ist nach Betrag und Richtung konstant, wenn die Resultierende der auf das Massenpunktsystem wirkenden äußeren Kräfte gleich null ist. Der Impulserhaltungssatz wird bei der Untersuchung von Stoßvorgängen eine Rolle spielen.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

8.1

•• Eine Kiste (Masse ${m=100\,\mathrm{kg}}$) hängt an einem Seil. Die Kiste wird innerhalb von ${T=5\,\mathrm{s}}$ um die Höhe ${H=9\,\mathrm{m}}$ angehoben. Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz ${v=v(t)}$ hat dabei den gezeichneten Verlauf.

• 1. Welche Maximalgeschwindigkeit v₁ erreicht die Kiste? Wie groß ist die Beschleunigung in den beiden Abschnitten der Bewegung?

• 2. Wie groß ist die Seilkraft in den beiden Abschnitten der Bewegung?

Hinweis:

Stellen Sie zunächst die kinematischen Gleichungen für die beiden Abschnitte der Bewegung auf. Die Seilkraft folgt aus dem Impulssatz. Kann man die Seilkraft im zweiten Abschnitt der Bewegung auch einfacher angeben?

Resultat:

$v_{1}=2{,}25\,\mathrm{m/s},\,a_{1}=1{,}125\,\mathrm{m/s^{2}},\\ S_{1}=1093{,}5\,\mathrm{N},\,S_{2}=981\,\mathrm{N}\,.$

8.2

• Eine Punktmasse setzt sich ohne Anfangsgeschwindigkeit im Punkt A einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) in Bewegung und legt bis zum Punkt B die Strecke S zurück.

• 1. Welche Geschwindigkeit besitzt die Punktmasse im Punkt B, wenn die Ebene glatt ist?

• 2. Welche Geschwindigkeit besitzt die Punktmasse im Punkt B, wenn die Ebene reibungsbehaftet (Gleitreibungskoeffizient μ) ist?

Hinweis:

Wenn Reibungsfreiheit vorliegt, können Sie die Aufgabe mit dem Energiesatz lösen, da alle Kräfte, die auf die Kiste wirken, konservativ sind. Andernfalls muss der Arbeitssatz verwendet werden, da die Gleitreibungskraft nicht konservativ ist.

Resultat:

$v_{\text{glatt}}=\sqrt{2gS\sin\alpha}\,,\\ v_{\text{Reib}}=\sqrt{2gS(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)}\,.$

8.3

•• Die dargestellte Murmelbahn setzt sich aus einer Geraden AB und dem Kreisbogen BC zusammen. Der Abstand der beiden Punkte C und D beträgt in horizontaler Richtung c und in vertikaler Richtung d. Die Bahn sei glatt, sodass die Murmel nicht rotiert.

$\alpha=60^{\circ}\,,\beta=70^{\circ}\,,c=30\,\mathrm{cm}\,,d=40\,\mathrm{cm}$

• 1. Mit welcher Mindestgeschwindigkeit v_C muss die Murmel die Kreisbahn verlassen, damit sie die Tischkante D erreicht?

• 2. Aus welcher Höhe H über der Tischkante D muss man die Murmel ohne Anfangsgeschwindigkeit loslassen, damit sie im Punkt C die Mindestgeschwindigkeit v_C erreicht?

Hinweis:

Die Berechnung der Geschwindigkeit v_C geht man am Besten an, indem man die explizite Darstellung der Wurfparabel ausnutzt. Da das System konservativ ist, bietet sich zur Berechnung der Höhe H der Energiesatz an.

Resultat:

$v_{\mathrm{C}}=3{,}84\,\mathrm{m/s}\,,H=0{,}87\,\mathrm{m}\,.$