Entwurf im Zustandsraum – Alle Systemgrößen einbeziehen

Zusammenfassung

Das Kapitel beschäftigt sich mit dem Entwurf von Regelungen auf Basis der Zustandsdarstellung (so genannten Zustandsregelungen), bei denen eine gezielte Gestaltung der Dynamik aller Zustandsvariablen angestrebt wird. Im Allgemeinen wird man dabei die Zustandsvariablen messen oder schätzen und die erhaltenen Signale im Regelgesetz verwerten. Wir argumentieren daher überwiegend mit Zeitfunktionen, also mit Signalen im Zeitbereich, und nur am Rande im Frequenzbereich. Zunächst werden konstante Zustandsrückführungen und Vorsteuerungen entworfen, sodann hilft uns ein Zustandsbeobachter, eventuell nicht messbare Zustandsvariablen zu schätzen. Um zusätzlich das Führungsverhalten unabhängig gestalten zu können, bedienen wir uns einer modellgestützten dynamischen Vorsteuerung. Falls eine Störgröße messbar ist, kann ihr Einfluss durch eine modellgestützte Störgrößenaufschaltung wirkungsvoll gemindert werden. Weiterhin lernen wir ein bedeutendes Verfahren zum Entwurf nichtlinearer Zustandsrückführungen für nichtlineare Strecken kennen, die sogenannte Ein-/Ausgangslinearisierung. Abschließend folgen Bemerkungen zur digitalen Realisierung von Regelsystemen.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

41.1

••  Für das Positioniersystem in der Abbildung soll eine Zustandsregelung entworfen werden.

Schon in Kap. 40 hatten wir zu diesem System die Differenzialgleichung (40.67) ermittelt:

$$\displaystyle m\ddot{y}=-c_{\mathrm{R}}\dot{y}+u.$$

Geben Sie für die (dimensionslos betrachteten) Werte m = 2 und $c_{\mathrm{R}}=10$ eine Zustandsdarstellung der Regelstrecke an und entwerfen Sie eine Zustandsregelung nach Abb. 41.2, wobei beide Regelungseigenwerte bei −5 positioniert werden sollen. Zeigen Sie, dass die resultierende Zustandsregelung in diesem Beispiel mit der Kaskadenregelung nach Aufgabe  identisch ist.

Positionieren eines Wagens

Hinweis:

Wählen Sie als Zustandsvariablen $x_{1}=y$ und $x_{2}=\dot{y}$.

Resultat:

$$\displaystyle\underbrace{\begin{pmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\end{pmatrix}}_{\dot{\boldsymbol{x}}}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\ 0&-5\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\underbrace{\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{x}}+\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0{,}5\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{b}}\underbrace{F_{\mathrm{A}}}_{u}.$$

Bei einem Rechengang wie beim Beispiel nach (41.8) erhält man $\boldsymbol{r}^{\mathrm{T}}=(50;\,10)$ sowie $m_{x1}=1$, $m_{x2}=0$ und $m_{u}=0$. Durch Anschreiben von u stellt man die Übereinstimmung mit dem Regelgesetz der Kaskadenregelung fest.

41.2

•

Der Reihenschwingkreis in der Abbildung wird durch folgende Differenzialgleichungen beschrieben:

$$\begin{aligned}\displaystyle L\dot{I}+RI+U_{\mathrm{C}}-U&\displaystyle=0,\\ \displaystyle C\dot{U}_{\mathrm{C}}-I&\displaystyle=0.\end{aligned}$$

Geben Sie eine Zustandsdarstellung für dieses System an und setzen Sie für die elektrischen Bauelemente die Werte $R=1\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}$, $C=0{,}002\frac{\text{As}}{\mathrm{V}}$ und $L=0{,}1\frac{\text{Vs}}{\mathrm{A}}$ ein, wobei Sie – anders als in vielen der zuvor betrachteten Beispielen – die physikalischen Einheiten der Zustandsvariablen und der elektrischen Bauelemente berücksichtigen. Eine konstante Zustandsrückführung sei durch das Regelgesetz $u=U=1\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\cdot I-1\cdot U_{\mathrm{C}}$ gegeben. Berechnen Sie die Eigenwerte des geregelten Systems. Wie groß ist die Dämpfung des geregelten Schwingkreises?

Reihenschwingkreis

Hinweis:

Wählen Sie als Zustandsvariablen I und U_C.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\underbrace{\begin{pmatrix}\dot{I}\\ \dot{U}_{\mathrm{C}}\end{pmatrix}}_{\dot{\boldsymbol{x}}}&\displaystyle=\underbrace{\begin{pmatrix}-\frac{R}{L}&-\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}&0\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\underbrace{\begin{pmatrix}I\\ U_{\mathrm{C}}\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{x}}+\underbrace{\begin{pmatrix}\frac{1}{L}\\ 0\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{b}}\underbrace{U}_{u}\\ \displaystyle\rightarrow\quad\boldsymbol{\dot{x}}&\displaystyle=\begin{pmatrix}-10\frac{1}{\mathrm{s}}&-10\frac{\mathrm{A}}{\text{Vs}}\\ 500\frac{\mathrm{V}}{\text{As}}&0\end{pmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{pmatrix}10\frac{\mathrm{A}}{\text{Vs}}\\ 0\end{pmatrix}u.\end{aligned}$$

Mit $u=1\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\cdot x_{1}-x_{2}$ folgt das geregelte System:

$$\displaystyle\boldsymbol{\dot{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&-20\frac{\mathrm{A}}{\text{Vs}}\\ 500\frac{\mathrm{V}}{\text{As}}&0\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{A}_{\mathrm{R}}}\boldsymbol{x}$$

Das charakteristische Polynom ist $\det(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{\mathrm{R}})=s^{2}+10000\frac{1}{\mathrm{s}^{2}}$. Die Dämpfung ist also d = 0 und die Eigenwerte sind $s_{1/2}=\pm\mathrm{j}100\frac{1}{\mathrm{s}}$. Das Mitführen der physikalischen Einheiten verkompliziert die Darstellung, ist aber bei der Vorbereitung einer Implementierung anzuraten.

41.3

•••  Gegeben ist das Zustandsraummodell einer Regelstrecke

$$\displaystyle\dot{\boldsymbol{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{x}+\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 2\end{pmatrix}}_{\boldsymbol{b}}u,\quad y=\underbrace{(1\,\;0)}_{\boldsymbol{c}^{\textbf{T}}}\boldsymbol{x}.$$

Entwerfen Sie eine Zustandsregelung nach Abb. 41.2 und platzieren Sie dabei beide Regelungseigenwerte in −2. Nehmen Sie nun an, die Zustandsvariable x₂ sei nicht messbar, und entwerfen Sie einen vollständigen Zustandsbeobachter, dessen Eigenwerte bei −3 liegen. Wie ändert sich Abb. 41.2 durch das Einfügen des Beobachters?

Hinweis:

Vergegenwärtigen Sie sich den Aufbau des Beobachters anhand Abb. 41.4.

Resultat:

$\boldsymbol{r}^{\mathrm{T}}=(2;\,2)$, $m_{x1}=1$, $m_{x2}=0$ und $m_{u}=0$.

Der Beobachter lautet

$$\displaystyle\dot{\hat{\boldsymbol{x}}}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{k}\boldsymbol{c}^{T})\hat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b}u+\boldsymbol{k}y\quad\text{mit}\;\boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}6\\ 9\end{pmatrix}$$

(41.75)

und wird gemäß Abb. 41.5 in den Regelkreis eingefügt.

41.4

••  Zeitdiskrete Realisierung eines PI-Reglers: Ein PI-Regler besitze die Übertragungsfunktion

$$\displaystyle R(s)=\frac{2+4s}{s}.$$

Wenden Sie die Tustin-Transformation mit der Abtastzeit T an und ermitteln Sie den zeitdiskreten Regler $R(z^{-1})$ sowie den zugehörigen rekursiven Algorithmus für $u[k]$.

Hinweis:

Orientieren Sie sich am Beispiel (41.59).

Resultat:

Ersetzt man s durch $\frac{2(1-z^{-1})}{T(1+z^{-1})}$, so resultiert:

$$\displaystyle R(z^{-1})=\frac{(T+4)+(T-4)z^{-1}}{1-z^{-1}}=\frac{u[k]}{e[k]}.$$

Daraus folgt die Differenzengleichung:

$$\displaystyle u[k]=u[k-1]+(T+4)e[k]+(T-4)e[k-1].$$