Strömungsmechanik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die wichtigsten Themengebiete der Strömungsmechanik. Zuerst die Hydrostatik, in der es vor Allem um die Kraftwirkung ruhender Flüssigkeiten auf feste Wände geht. In der Hydrodynamik werden Erhaltungssätze und Bewegungsgleichungen erläutert und ihre Anwendung gezeigt. Die Ähnlichkeitsgesetze lassen die Übertragung der Phänomene bei völlig anderen Abmessungen zu, was in der Rohrhydraulik die Berechnung vereinfacht. Die Gasdynamik, also das Verhalten von Gasen, wenn Strömungsgeschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit von gleicher Größenordnung sind, rundet das Kapitel ab.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 22.1

Der diskontinuierliche Aufbau der Materie wird ignoriert. Alle physikalischen Eigenschaften der Materie werden dem Punkt im Raum zugeordnet und durch stetige und stetig differenzierbare Funktionen beschrieben, sodass sie mithilfe von Differenzial- und Integralrechnung behandelt werden können.

Antwort 22.2

Die zu einer Verformung notwendigen Scherkräfte gehen genau dann gegen null, wenn die Verformungsgeschwindigkeit gegen null geht.

Antwort 22.3

Wenn die Machzahl M klein gegen 1 ist, insbesondere $M<\text{0{,}1}$.

Antwort 22.4

In einem Fluid in Ruhe wirken an keiner Stelle Scherspannungen, τ = 0.

Antwort 22.5

Der Druckgradient, d. h. die Veränderung des Druckes, ist an jeder Stelle im Gleichgewicht mit den wirkenden Volumenkräften.

Antwort 22.6

Die Rotation der Volumenkräfte muss null sein, d. h. die Volumenkräfte dürfen keine wirbelförmige Bewegung auslösen.

Antwort 22.7

Die resultierende Ersatzkraft ist gleich dem Druck im Flächenschwerpunkt mal der Fläche.

Die resultierende Ersatzkraft greift aufgrund der Wirkung der Flächenträgheitsmomente nie im Schwerpunkt an.

Antwort 22.8

1. Zur Berechnung der Auftriebskraft auf einen vollständig eingetauchten Körper, indem man das Volumen des Körpers bestimmt.

2. Zur Berechnung der Auf- oder Abtriebskraft auf eine gekrümmte Oberfläche oder einen teilweise eingetauchten Körper, indem man Form und Volumen eines Ersatzkörpers bestimmt, der von der Flüssigkeit her die gleichen Kräfte erfährt, wenn er vollständig eingetaucht wird.

Antwort 22.9

Der gesamte Zu- und Abfluss einer physikalischen Größe über den Rand eines Gebietes und die totale Veränderung der Größe im Inneren des Gebietes sind gleich groß, wenn die Größe überall stetig und stetig differenzierbar ist.

Antwort 22.10

In instationärer Strömung sind Strom- und Bahnlinie nicht mehr identisch, im Allgemeinen wird daher Materie auch über die Hüllfläche (Stromfläche) treten und nicht nur über die Ein- und Austrittsfläche (Abb. 22.15). Letzteres ist aber die grundlegende Voraussetzung der Erhaltungssätze für die stationäre Strömung!

Antwort 22.11

Die Stromröhre darf mit beliebig kleiner Eintrittsfläche frei gewählt werden. Ein solcher Stromfaden darf im Grenzfall auch nur noch eine Stromlinie umschließen, trotzdem müssen Massen- und Energieerhaltung erfüllt sein.

Antwort 22.12

Zu- und Abfluss der Erhaltungsgrößen Masse bzw. Energie in allen Erscheinungsformen sind an einem geschlossenen Kontrollvolumen im stationären Fall immer im Gleichgewicht. Wenn äußere Kräfte bzw. Momente auf das Kontrollvolumen wirken, sind diese im Gleichgewicht mit dem Zu- und Abfluss an Impuls- bzw. Drehimpuls.

Antwort 22.13

Unter Ähnlichkeit versteht man im Idealfall identisches Verhalten zweier physikalischer Systeme. Betrachtet man dynamische Systeme mit konstanten Kräften bzw. Momenten, reicht es aus, die geometrische, die kinematische und die dynamische Ähnlichkeit zu überprüfen.

Antwort 22.14

Aus den typischen am Problem beteiligten Kräften werden die Verhältnisse zueinander als dimensionslose Kennzahlen gebildet. Sind alle Kennzahlen der beiden Systeme gleich, sind diese im dynamischen Verhalten ähnlich.

Antwort 22.15

Bei laminarer Strömung findet keine Durchmischung der Strömungsschichten statt. Reibungskräfte werden nur durch die dynamische Viskosität verursacht, Wärmeübertragung quer zur Strömungsrichtung erfolgt ausschließlich über Wärmeleitung. Demgegenüber ist mit turbulenter Strömung auch ein makroskopischer Stoffaustausch verbunden. Dieser bewirkt aufgrund des damit einhergehenden Impuls- und Energietransports zur Wand hin einerseits erheblich höhere Kräfte, die sich wie eine zusätzliche Reibungskraft auswirken, andererseits aber auch einen deutlich besseren Wärmetransport. Daher sollten Strömungen in Wärmeübertragern nach Möglichkeit turbulent sein.

Antwort 22.16

Das Konzept des hydraulischen Durchmessers ist nur in turbulenter Strömung für Rohre mit praktisch beliebigem, nicht kreisförmigem Querschnitt anwendbar. Je höher die Reynoldszahl, desto besser ist die Übereinstimmung. In laminarer Strömung darf es dagegen auch für Näherungsrechnungen in der Praxis nicht angewendet werden.

Antwort 22.17

Löst man die Definition des Druckverlustes (22.35) nach dem Verlustbeiwert auf, erkennt man unmittelbar die Proportionalität zur Eulerzahl Eu. Daher sind Druckverlustbeiwerte bei vorliegender Ähnlichkeit zweier Systeme auch gleich groß und dürfen übertragen werden.

Antwort 22.18

Setzt man Machzahl und Isentropenexponent in (22.45) ein, erhält man $A_{2}/A^{*}=49{,}5$. Der Durchmesser des Düsenhalses ist $d^{*}=0{,}3$ m.

Antwort 22.19

Das Verhalten eines idealen Gases wird im gasdynamischen Fall fast ausschließlich durch den Isentropenexponenten κ bestimmt. Maßgebliche Strömungsgröße ist die Machzahl M. Daher sollten in der Praxis alle physikalischen Berechnungsgleichungen in die dimensionslose Form in Abhängigkeit dieser beiden Größen transformiert werden. Durch die Reduktion der Variablen vereinfacht sich die Lösung teilweise erheblich.

Antwort 22.20

Dimensionslose Kontinuitätsgleichung zwischen zwei Punkten 1 und 2 auf der Oberfläche in der Düse:

$$\displaystyle\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{Fr_{2}}{Fr_{1}}\left(\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)^{\frac{3}{2}}.$$

Dimensionslose Bernoulli’sche Gleichung:

$$\displaystyle\frac{z_{2}}{z_{1}}=\frac{{Fr_{1}}^{2}+2}{{Fr_{2}}^{2}+2}.$$

Bernoulli’sche Gleichung in die Kontinuitätsgleichung eingesetzt ergibt:

$$\displaystyle\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{Fr_{2}}{Fr_{1}}\left(\frac{{Fr_{1}}^{2}+2}{{Fr_{2}}^{2}+2}\right)^{\frac{3}{2}}.$$

Setzt man anstelle des Punktes 1 einen beliebigen Punkt (ohne Index) und für den Punkt 2 den engsten Querschnitt (Index *, $Fr_{2}=1$) erhält man den gesuchten Zusammenhang (22.51).

Antwort 22.21

Am Austritt der Düse ist der Kanal wieder auf seiner Grundbreite B₀, daher ist das Breitenverhältnis:

$$\displaystyle\frac{B_{0}}{B^{*}}=\frac{1}{5}\left[\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{2}25\right)\right]^{\frac{3}{2}}=5{,}4.$$

Die Breite des engsten Querschnitts ist also $B^{*}=0{,}185B_{0}$.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

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•• Kraft auf eine schräge, ebene Klappe

Der Auslass aus einem großen, mit Flüssigkeit der Dichte ρ gefüllten Behälter ist durch eine elliptische Platte verschlossen (siehe Abbildung). Über das Gewicht der Platte kann der Flüssigkeitsstand h über der Mitte des Auslasses eingestellt werden. Die Platte steht im Winkel von 45 ° ($\alpha=135^{\circ}$) zum kreisförmigen Auslaufrohr des Durchmessers d₁. Die Platte ist am oberen Punkt A drehbar gelagert und dichtet das Rohr über ihr Eigengewicht G ab.

Geg.: $d_{1},r,g,\rho,p_{0}$ Variabel: h,z bzw. s

• 1. Ermitteln Sie die beiden Halbachsen a und b der elliptischen Platte und das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse x_c in Funktion von d₁.

• 2. Bestimmen Sie die resultierende Kraft auf die Platte und den Angriffspunkt dieser Kraft z_D und s_D in Abhängigkeit von der variablen Füllhöhe h und das notwendige Gewicht G der Platte, damit sie ab einer Füllhöhe h_max öffnet.

Hinweis:

Verwenden Sie die Wandkoordinate s, um die Flächenmomente zu berechnen. Das Flächenträgheitsmoment einer Ellipse mit den Halbachsen a,b um x_c (siehe Abbildung) ist:

$$\displaystyle J_{x_{c}}=\frac{\pi a^{3}b}{4}$$

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle z_{\mathrm{D}}&\displaystyle=-h\left(1+\frac{1}{16}\frac{d_{1}^{2}}{h^{2}}\right),\\ \displaystyle G&\displaystyle=\rho g\frac{\pi}{2}d_{1}^{2}\left(h_{\text{max}}+\frac{d_{1}}{8}\right).\end{aligned}$$

.2

••• Kraft auf ein walzenförmiges Wehr

Ein Stauwehr der Breite b wird durch eine horizontale, zylinderförmige Walze mit dem Radius R gebildet, die so gelagert ist, dass sie vertikal frei beweglich ist, horizontal jedoch durch die Führung gehalten wird (siehe Abbildung). Die Walze liegt auf der Mauerlinie auf und dichtet Wasser (Dichte ρ) alleine durch ihre Gewichtskraft ab. Der Wasserstand h oberhalb der Mauerlinie kann maximal zwischen 0 und 2R variieren. Die Walze hat die Masse m.

Geg.: $R,b,g,m,\rho,p_{0}$ Variabel: h bzw. $\varphi$

• 1. Bestimmen Sie die resultierende Dichtkraft F_D.

• 2. Bei welchem Winkel $\varphi$ wird die Auflagekraft im allgemeinen Fall minimal?

• 3. Auf welche horizontale Kraft F_x muss das Lager mindestens ausgelegt sein?

• 4. In welcher Tiefe $|z_{\mathrm{D}}|$ liegt die Wirkungslinie dieser Horizontalkraft?

Hinweis:

Gesucht ist die resultierende Dichtkraft F_D für beliebige Wasserstände h, mit der die Walze auf der Mauerlinie aufliegt. Dazu muss das Volumen des Ersatzkörpers bestimmt werden. Verwenden Sie zunächst als Variable an Stelle von h den Winkel $\varphi$.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle F_{\mathrm{D}}&\displaystyle=mg-\rho gV_{\mathrm{E}}=mg-\rho gb\frac{R^{2}}{2}\left(\varphi-\sin\varphi\cos\varphi\right),\\ \displaystyle F_{x,\text{max}}&\displaystyle=2\rho gR^{2}b,\\ \displaystyle|z_{\mathrm{D}}|&\displaystyle=|z_{\mathrm{c}}|+\frac{J_{\mathrm{c}}}{|z_{\mathrm{c}}|hb}=\frac{h}{2}+\frac{h}{6}=\frac{2}{3}h.\end{aligned}$$

.3

•• Inkompressible Strömung in einer Düse

Wir betrachten die Strömung in einer rotationssymmetrischen Düse, also einer Querschnittsverengung (siehe Abbildung). Die Innenkontur der Düse sei gut gerundet, sodass die Strömung im betrachteten Bereich nahezu reibungsfrei ist. Diese Annahme ist für Düsen auch in der Realität meist gerechtfertigt, denn auf kurzem Weg stark beschleunigte Strömungen sind bei entsprechender Kontur der Düse tatsächlich praktisch verlustfrei. Die Düse sei horizontal gerichtet.

In der Düse kurz vor der Verengung herrscht der Druck p₁. Nach der Düse tritt der Strahl als Freistrahl in die umgebende Luft (Druck p₀) aus.

• 1. Wie groß ist bei gegebenem Druck $p_{1}> p_{0}$ der Volumenstrom $\dot{V}$?

• 2. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit des Strahls aus der Düse u₂?

Hinweis:

Verwenden Sie die Kontinuitätsgleichung und die Bernoulli’sche Gleichung.

Resultat:

$$\displaystyle u_{2}=\sqrt{\frac{2\left(p_{1}-p_{0}\right)}{\rho}\frac{A_{1}^{2}}{A_{1}^{2}-A_{2}^{2}}}.$$

Allgemeine Hinweise für die folgenden Aufgaben:

Mithilfe des Impuls- und Drehimpulssatzes können bei korrekter Anwendung nicht nur näherungsweise Kräfte und Momente bestimmt werden, sondern selbst bei komplexen Systemen in vielen Fällen sogar exakte Lösungen. Schlüsselfunktion besitzt die geschickte Wahl der jeweils betrachteten Kontrollvolumina und eine systematische Lösungsstrategie. Wie in allen Fällen gilt: „Übung macht den Meister“. Bearbeiten Sie daher die folgenden Übungsaufgaben ohne die dargestellte Lösung zu verwenden. Auch durch Wahl eines anderen Kontrollvolumens kann bei der gleichen Aufgabe der Lösungsweg geübt werden, mit dem Vorteil, dass das Ergebnis zur Kontrolle bereits bekannt ist.

Zur systematischen Lösung von Impulssatz- (und Drehimpulssatz-) Aufgaben geben die beiden Übersichtskästen „Impuls- und Drehimpulssatzaufgaben lösen – mit System“ und „Wahl des Kontrollvolumens KV“ eine bei ausreichender Kenntnis aller Randbedingungen immer funktionierende Lösungsstrategie vor. Lesen Sie diese Kästen unbedingt durch, bevor Sie die folgenden Beispiele durcharbeiten.

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••• Kraft auf einen Strahlablenker

Die Spitze einer Schneide taucht senkrecht in einen ebenen Freistrahl der Höhe h (in der Abbildung senkrecht zur Zeichenebene) ein und lenkt einen Teil des Strahls (2) senkrecht in y-Richtung um. Es wird der Zeitpunkt betrachtet, in dem die Schneide den Strahl gerade im Verhältnis 1:2 teilt. Die skizzierte Trennstromlinie ist dann gleichzeitig Staustromlinie zum Staupunkt in der Nähe der Schneidenspitze. In den Ebenen 1, 2 und 3 sei die Strömung näherungsweise homogen, außerdem können Reibungseffekte im Freistrahl, die Reibung des Freistrahls an der Luft und die Reibung an der Schneide vernachlässigt werden. Die Schwerkraft soll senkrecht zur Zeichenebene wirken.

Geg.: $p_{0},u_{1},b_{1},h,\rho,(b_{1}\ll h)$.

• 1. Wie groß ist der statische Druck p_S im Staupunkt S, und welcher Druck p_i (i = 1, 2, 3) herrscht in den drei Ebenen?

• 2. Wie groß sind die Geschwindigkeiten u₂ und u₃ sowie die Strahlbreiten b₂ und b₃?

• 3. Bestimmen Sie mithilfe des Impulssatzes die resultierende Kraft auf die Schneide in Betrag und Richtung (x- und y- Komponente).

• 4. Um welchen Winkel α wird der Teilstrahl 3 zum betrachteten Zeitpunkt abgelenkt? Ändert sich dieser Winkel, wenn der Betrag der Geschwindigkeit u₁ verändert wird?

Hinweis:

Verwenden Sie Kontinuitätsgleichung und die Bernoulli’sche Gleichung und gehen Sie bei der Kraftberechnung in zwei Raumrichtungen systematisch nach der Fünf-Schritte-Methode vor.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle p_{\mathrm{S}}&\displaystyle=p_{1}+\frac{\rho}{2}u_{1}^{2},\quad u_{2}=u_{3}=u_{1},\\ \displaystyle b_{2}&\displaystyle=\frac{b_{1}}{3},\quad b_{3}=\frac{2b_{1}}{3},\\ \displaystyle\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}&\displaystyle=\rho u_{1}^{2}A_{1}\left(1-\frac{b_{3}}{b_{1}}\cos\alpha\right)\boldsymbol{i}-\rho u_{1}^{2}A_{1}\left(\frac{b_{2}}{b_{1}}-\frac{b_{3}}{b_{1}}\sin\alpha\right)\boldsymbol{j},\\ \displaystyle\sin\alpha&\displaystyle=\frac{b_{2}}{b_{3}}.\end{aligned}$$

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••  Die folgende Aufgabe führt im Ergebnis auf die Euler’sche Turbinengleichung.Trotz des Namens gilt sie nicht nur für Turbinen sondern auch für Pumpenlaufräder. Lediglich die Strömungsrichtung ist für Pumpen (von innen nach außen) und Turbinen (von außen nach innen) unterschiedlich, was aber in der Herleitung keine Rolle spielt.

Drehmoment eines Kreiselpumpenlaufrades mit radialer Beschaufelung Wir betrachten das Laufrad einer Radial-Kreiselpumpe (siehe Abbildung) und wenden den Drehimpulssatz darauf an. Die Strömung sei wieder inkompressibel (Dichte ρ = konst.), nahezu reibungsfrei, und die Strömung im Laufrad ist im Wesentlichen trotz der Schaufeln rotationssymmetrisch. Dies kann man sich so vorstellen, dass sehr viele und sehr dünne Schaufeln verwendet werden, sodass die Strömungsrichtung durch die Schaufelrichtung vorgegeben wird. Wegen der Rotationssymmetrie wird die Schwerkraft keine Momentenwirkung ausüben, sodass sie auch nicht von vorneherein vernachlässigt werden muss. Sie könnte im Vergleich zu den anderen Kräften also beliebig groß und beliebig orientiert sein. Dies ist für praktisch alle Turbomaschinen gültig, denn als einzige Volumenkraft tritt in der Regel die Schwerkraft auf.

Wir betrachten das Laufrad aus einem ruhenden Bezugssystem heraus und verwenden problemangepasst ein Zylinderkoordinatensystem ($r,\varphi,x$) mit der x-Achse in der Rotationsachse des Laufrads. Der Bezugspunkt zur Drehimpulsbildung liegt in der Rotationsachse x.

Beim Einströmen in das Laufrad ist in der Praxis zwar häufig das Strömungsmedium drehimpulsfrei ($u_{1,\varphi}=0$), strömt also in rein radialer Richtung, wir können die Rechnung aber auch ohne eine solche Vorgabe für den allgemeinen Fall durchführen. Ein- und Ausströmung des Fluids besitzen im Allgemeinen sowohl eine Radialkomponente u_i,r als auch eine Umfangskomponente $u_{i,\varphi}$ (siehe Abbildung). Wenn das Laufrad von einer Welle mit der Winkelgeschwindigkeit ω angetrieben wird, ist hierfür ein bestimmtes Drehmoment erforderlich. Das Fluid strömt aufgrund der Fliehkraft von innen nach außen durch das Laufrad und erhält über die Schaufeln Drehimpuls.

Geg.: $\dot{m},\omega,B,R_{1},R_{2},\rho$.

• 1. Wie groß ist das notwendige Drehmoment M?

• 2. Wie groß ist die mindestens notwendige Wellenleistung P_W zum Antrieb des Laufrads?

Hinweis:

Gehen Sie genauso vor, wie beim Leitbeispiel (Turbolader) gezeigt, und wenden Sie auch hier unbedingt die Fünf-Schritte-Methode an.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{M}&\displaystyle=\dot{m}\left(R_{2}u_{2,\varphi}-R_{1}u_{1,\varphi}\right)\boldsymbol{e}_{x},\\ \displaystyle P_{\mathrm{W}}&\displaystyle=M\omega=\dot{m}\left[\left(R_{2}\omega\right)u_{2,\varphi}-\left(R_{1}\omega\right)u_{1,\varphi}\right].\end{aligned}$$

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•• Sicherheitstemperaturbegrenzer eines Warmwasserspeichers Bei modernen Warmwasserspeichern mit großem Volumen, die zur Speicherung von Solarwärme gedacht sind, wird aus Sicherheitsgründen ein Sicherheitstemperaturbegrenzer (STB) angebracht. Damit sich bei hohen Speichertemperaturen insbesondere Kleinkinder nicht verbrühen können, lässt sich der Mischautomat so einstellen, dass eine Maximaltemperatur $\vartheta_{\text{max}}$ nicht überschritten wird (siehe Abbildung).

Der Mischautomat mische dem Heißwasser von $70\,^{\circ}$C aus dem Speicher Kaltwasser von $10\,^{\circ}$C zu, indem über ein T-Stück vor Eintritt in den Speicher Wasser aus der Kaltwasserleitung am Speicher vorbei geführt wird. Alle Rohrquerschnitte sind kreisförmig mit dem Innendurchmesser d = 10 mm, die gerade Leitung vom T-Stück zum STB überwindet eine Höhe von $h=2{,}5$ m. Die relative Rauhigkeit ist $k/d=0{,}02$. Die zur Rechnung notwendigen ζ-Werte sind in der Skizze angegeben (sie wurden zur Verdeutlichung des Berechnungswegs bewusst sehr hoch gewählt) und beziehen sich beim T-Stück und beim Speicher auf die Rohrleitungsgeschwindigkeit am Eintritt in das jeweilige Bauteil, beim STB bezieht der Wert sich ausnahmsweise auf den Austritt (das ist einfacher zu rechnen). Der Mischautomat im Kaltwasserstrang besitzt einen Verlustbeiwert von mindestens 1 (offen) bis unendlich (bei geschlossenem Mischer, wenn die WW-Temperatur unter dem Maximalwert ist, d. h. kein Durchfluss). Im betrachteten Betriebsfall soll ein Volumenstrom $\dot{V}=0{,}3$ l/s entnommen werden. Der STB wird auf eine maximale Temperatur von $50\,^{\circ}$C eingestellt. Zur Ermittlung von Rohrwiderstandszahlen bei turbulenter Strömung soll die Colebrook-Formel verwendet werden. Weitere gegebene Werte: Wasser: $\rho=1000\,\text{kg/m}{}^{3}$, kinematische Viskosität: $\nu=1{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m}{}^{2}$/s.

Bestimmen Sie:

• 1. den Volumenstrom $\dot{V}_{\mathrm{W}}$ aus dem WW-Behälter und den vom Mischautomat zugemischten Kaltwasserstrom $\dot{V}_{\mathrm{K}}$,

• 2. die Reynoldszahl, die Rohrwiderstandszahl λ und den Verlustbeiwert ζ_K in der Mischleitung,

• 3. den Druckverlust $\Updelta p_{\mathrm{V}}$ des Systems (Eintritt T-Stück bis Austritt STB) und den Verlustbeiwert ζ_TB1 des STB in diesem Betriebsfall,

• 4. die kleinstmögliche Temperatur $\vartheta_{\text{min}}$, auf die sich mit den gegebenen Werten der STB überhaupt einstellen lässt. Verwenden Sie hierbei (vereinfachend) die vorher berechnete Rohrwiderstandszahl λ.

Hinweis:

Setzen Sie die Bernoulli’sche Gleichung getrennt für die beiden möglichen Strömungswege (Speicher und Kaltwasserzumischung) an. Beachten Sie bei den jeweiligen Geschwindigkeiten die Kontinuitätsgleichung.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\dot{V}_{\mathrm{K}}&\displaystyle=\frac{1}{3}\dot{V}=0{,}1\textnormal{ L/s},\quad\dot{V}_{\mathrm{W}}=\frac{2}{3}\dot{V}=0{,}2\textnormal{ L/s},\\ \displaystyle\lambda&\displaystyle=0{,}0515,\quad\zeta_{\mathrm{K}}=\lambda\frac{h}{d}=12{,}87,\quad\Updelta p_{\mathrm{V}}=55.910\textnormal{ Pa},\\ \displaystyle\zeta_{\text{TB1}}&\displaystyle=5{,}23,\quad{\vartheta_{\text{min}}}=41^{\,\circ}\textnormal{C}.\end{aligned}$$

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••• Zustandsänderung über einer Stoßfront Bestimmen Sie mithilfe der Erhaltungssätze die Zustandsänderung über einer Stoßfront aus der Anströmmachzahl M₁

• 1. die Druckdifferenz über die Stoßfront in Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten und den Dichtewerten,

• 2. das Druckverhältnis $p_{2}/p_{1}$, das Dichteverhältnis $\rho_{2}/\rho_{1}$ und das Temperaturverhältnis $T_{2}/T_{1}$,

• 3. die Abströmmachzahl M₂ und die Entropieerzeugung $(s_{2}-s_{1})/R$.

Hinweis:

Bilanzieren Sie Masse, Energie und Impuls an einem Kontrollvolumen, das nur die als sehr dünn angenommene Stoßzone enthält. Deren Volumen ist vernachlässigbar, genauso wie die Berührfläche des Kontrollvolumens mit der Wand. Verwenden Sie beim Aufstellen des Impulssatzes unbedingt die Fünf-Schritte-Methode und berücksichtigen Sie die Zustandsgleichung idealer Gase vor und nach der Stoßfront.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle p_{2}-p_{1}&\displaystyle=\rho_{1}{u_{1}}^{2}-\rho_{2}{u_{2}}^{2},\\ \displaystyle\frac{p_{2}}{p_{1}}&\displaystyle=1+2\frac{\kappa}{\kappa+1}\left({M_{1}}^{2}-1\right),\\ \displaystyle{M_{2}}^{2}&\displaystyle={M_{1}}^{2}\frac{p_{1}}{p_{2}}\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}},\\ \displaystyle\frac{s_{2}-s_{1}}{R}&\displaystyle=\frac{1}{\kappa-1}\ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)+\frac{\kappa}{\kappa-1}\ln\left(\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\right).\end{aligned}$$