Grundbegriffe und Kraftgruppen – der Einstieg in die Technische Mechanik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir uns vor allem damit befassen, wie man für einen unter Belastung stehenden Körper die Lagerreaktionen berechnet, welche den Körper im statischen Gleichgewicht halten. Dabei ist zwischen sehr kleinen (punktförmigen) Körpern, ebenen Körpern, die nur in ihrer Ebene belastet werden, und räumlichen Körpern zu unterscheiden, da sich auch die statischen Gleichgewichtsbedingungen für diese Arten von Körpern unterscheiden. Schließlich werden wir uns mit verschiedenen Arten von Reibung – Gleitreibung, Haftung, Rollreibung und Seilreibung – und der Ermittlung des Schwerpunktes befassen. Die Kenntnis des Schwerpunktes ist wichtig bei auf Strecken, Flächen und Volumina verteilten Lasten sowie später in der Festigkeitslehre bei der Beschreibung von Biegespannungen.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 2.1

Technische Strukturen, die sich nicht als starre Körper idealisieren lassen, kommen vergleichsweise selten vor. Beipiele sind ein Stab für den Stabhochsprung oder eine Angelrute nach dem Anbeißen eines kapitalen Fisches, die sich beide sehr stark durchbiegen.

Antwort 2.2

Wir suchen Balken, die an beiden Enden gelenkig gelagert sind und dazwischen keine Belastung erfahren. Das sind z. B. eine an beiden Seiten gelenkig gelagerte Deichsel eines Anhängers oder der Hubzylinder eines Kipplasters, sofern die Eigengewichte von Deichsel bzw. Hubzylinder im Vergleich zu den sonstigen angreifenden Kräften vernachlässigbar klein sind.

Antwort 2.3

Aus Gründen des Momentengleichgewichts. Senkt sich z. B. das rechte Ende eines Mobilestabs ab, so verkürzt sich durch die Stabbiegung sein Hebelarm zur Aufhängung, während sich der Hebelarm des nach oben steigenden linken Stabendes verlängert. Der Stab wird sich dann wieder in seine Ausgangslage zurückdrehen.

Antwort 2.4

Das abgebildete Scharnier verhindert, dass sich ein Körper in x-, y- oder z-Richtung translatorisch bewegen kann. An Rotationen verhindert es weiterhin die Drehungen um die y- und z-Achse, wogegen es einer Rotation um die x-Achse keinen Widerstand entgegensetzt. Das Scharnier kann also die Lagerreaktionen F_x, F_y, F_z, M_y und M_z ausüben.

Antwort 2.5

Aus Gründen der statischen Bestimmtheit. Würde man einen einachsigen Anhänger mit einer an beiden Seiten gelenkig gelagerten Deichsel – aus mechanischer Sicht ist das eine Pendelstütze – mit dem Zugfahrzeug verbinden, lägen vier Lager- und eine Gelenkwertigkeit vor. Das ist weniger als die für statische Bestimmtheit von zweiteiligen Systemen erforderliche Zahl von sechs Wertigkeiten, sodass das Gespann statisch unterbestimmt gelagert wäre. Zum gleichen Schluss kommt man auch mit gutem ingenieurmäßigen Vorstellungsvermögen, denn man erkennt, dass ein einachsiger Anhänger mit gelenkiger Deichsel wackelig wäre.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

2.1

• Berechnen Sie die in Abb. 2.6 auftretenden Lagerkräfte. Mit welcher Kraft ist die Rolle an der Decke befestigt, wenn die Person in einem Winkel von $\alpha=50^{\circ}$ zur Horizontalen am Seil zieht?

Resultat:

$A_{x}=63\leavevmode\nobreak\ \mathrm{N},\quad A_{y}=173\leavevmode\nobreak\ \mathrm{N}$.

2.2

• Ein Frachtschiff wird von zwei Hafenschleppern (A und B) abgeschleppt. Die Seilkräfte betragen $F_{\mathrm{A}}=32\,\text{kN}$ im Seil zu Schlepper A und $F_{\mathrm{B}}=21\,\text{kN}$ im Seil zu Schlepper B.

Berechnen Sie die auf das Frachtschiff wirkende resultierende Abschleppkraft.

Resultat:

$R_{x}=45{,}1\,\text{kN},\quad R_{y}=0\,\text{kN}$.

2.3

•• Ein Seil ist über zwei reibungsfrei drehbar gelagerte Rollen A und B geführt. An den Enden des Seils hängen die Gewichte $F_{\mathrm{A}}=400\,\mathrm{N}$ und $F_{\mathrm{B}}=600\,\mathrm{N}$, zwischen den Rollen das Gewicht $F_{\mathrm{C}}=500\,\mathrm{N}$. Das Eigengewicht des Seils sei vernachlässigbar.

Bestimmen Sie die Winkel α und β (a) grafisch und (b) rechnerisch.

Hinweis:

Zur rechnerischen Lösung: Mit den beiden Gleichgewichtsbedingungen für das statische Gleichgewicht am Punkt erhalten Sie zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten α und β. Lösen Sie dieses Gleichungssystem, indem Sie beide Gleichungen quadrieren und miteinander addieren.

Für die zeichnerische Lösung benötigen Sie einen Zirkel.

Resultat:

$\alpha=7,18^{\circ},\quad\beta=48,59^{\circ}$.

2.4

• Ein 1600 N schwerer Stahlträger wird wie skizziert über zwei Seile mit einem Kran angehoben. Berechnen Sie die Seilkräfte.

Resultat:

$S_{1}=S_{2}=1600\,\mathrm{N}$.

2.5

• Beim Rodeln müssen Sie einen Schlitten mit Kind den Berg hinaufziehen. Welche Kraft ist hierfür erforderlich? Zahlenwerte: Gewichtskraft von Schlitten und Kind: 300 N, $\alpha=25^{\circ}$, $\beta=30^{\circ}$.

Hinweis:

Nehmen Sie vereinfachend an, dass die Kufen reibungsfrei auf dem Schnee gleiten.

Resultat:

127 N.

2.6

•• Sie schieben einen Wagen der bekannten Gewichtskraft G einen Berghang hinauf.

• 1. Berechnen Sie die Achslasten A_y und B_y sowie die Schubkraft S in Abhängigkeit des Winkels α und des Wagengewichts G.

• 2. Welchen Hangwinkel können Sie den Wagen gerade eben noch hinaufschieben, wenn das Wagengewicht 500 N beträgt und Sie nicht stärker als $S=300\,\mathrm{N}$ schieben wollen?

Nehmen Sie an, dass die Schubkraft S in der Höhe l über dem Boden angreift und in x-Richtung wirkt, dass die Gewichtskraft G des Wagens im um l ∕ 2 über dem Boden liegenden Schwerpunkt SP angreift und dass Reibung vernachlässigt werden kann. Beachten Sie, dass das Koordinatensystem entlang der Hangschräge orientiert ist.

Hinweis:

Die Behandlung des Momentengleichgewichts fällt einfacher, wenn Sie die Gewichtskraft G in ihre Komponenten aufspalten: G_x entlang des Hangs und G_y senkrecht zum Hang.

Resultat:

• 1. $A_{y}=\frac{G}{4}(2\cos\alpha-\sin\alpha)$, $B_{y}=\frac{G}{4}(\sin\alpha+2\cos\alpha),\\ S=G\sin\alpha$.

• 2. $\alpha_{\text{max}}=37^{\circ}$.

2.7

• Ein Träger der Länge $2\,l$ ist im Punkt A zweiwertig und im Punkt B mit einer Pendelstütze gelagert. Belastet wird er durch zwei Kräfte des Betrags F.

• 1. Ist der Träger statisch bestimmt gelagert?

• 2. Berechnen Sie die Lagerreaktionen in den Punkten A und B.

Hinweis:

Beachten Sie, dass eine Pendelstütze eine einwertige Lagerung ist. Zeichnen Sie deswegen die Lagerreaktion der Pendelstütze in ihrer tatsächlichen Orientierung in Ihr Freikörperbild ein.

Resultat:

$A_{x}=-F-\frac{2F}{\tan\alpha}$, $A_{y}=-F$, $B=\frac{2F}{\sin\alpha}$.

2.8

• Der skizzierte, in den Punkten A und B in Fest- und Loslagerung gelagerte Träger wird durch zwei Kräfte des Betrags F und ein Moment des Betrags $F\leavevmode\nobreak\ l$ belastet.

Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Hinweis:

Äußere Momente gehen in ihrer vollen Größe in das Momentengleichgewicht ein, egal wo sie angreifen.

Resultat:

$A_{x}=-F\cos\alpha$, $A_{y}=2\,F-\frac{1}{2}F\sin\alpha$, $B_{y}=1,5\,F\sin\alpha-F$.

2.9

• Es ist Frühsommer, die Sonne scheint und Sie verbringen den Nachmittag lieber in der Hängematte als im Hörsaal. Bevor Sie die Müdigkeit vollends übermannt, versuchen Sie, die Kräfte in den beiden Halteseilen der Matte sowie die durch die Hängematte verursachten Lagerreaktionen im Wurzelwerk der Bäume zu berechnen.

Die geometrischen Abmessungen entnehmen Sie bitte der folgenden (nicht maßstäblichen) Skizze:

• 1. Ermitteln Sie die Seilkräfte S₁ und S₂ rechnerisch.

• 2. Ermitteln Sie die Seilkräfte S₁ und S₂ zeichnerisch. Verwenden Sie für Ihre Zeichnung den Kräftemaßstab $m_{\mathrm{F}}=1\,\text{cm}/100\,\mathrm{N}$.

• 3. Berechnen Sie die durch die Hängematte verursachten Lagerreaktionen im Wurzelwerk der Bäume.

Hinweis:

Bei der Berechnung der Seilkräfte handelt es sich um eine Aufgabe zum Gleichgewicht am Punkt (da genau drei nicht parallele Kräfte an der Hängematte angreifen), bei der Berechnung der Lagerreaktionen um eine Aufgabe zum Gleichgewicht am starren Körper.

Resultat:

1: $S_{1}=1164\,\mathrm{N}$, $S_{2}=1212\,\mathrm{N}$ 2. und 3: $A_{x}=-1125\,\mathrm{N}$, $A_{y}=300\,\mathrm{N}$, $M_{\mathrm{A}}=1687\,\text{N\,m}$, $B_{x}=1125\,\mathrm{N}$, $B_{y}=450\,\mathrm{N}$, $M_{\mathrm{B}}=-1687\,\text{N\,m}$.

2.10

•• Berechnen Sie die Lagerreaktionen des skizzierten Trägers.

Resultat:

$A_{x}=\frac{F}{2}$, $A_{y}=0,96\,F,\ B_{y}=0,91\,F$.

2.11

•• Berechnen Sie die Lagerreaktionen des skizzierten Trägers.

Resultat:

$A_{x}=0,\ A_{y}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\,F,\ B_{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\,F$.

2.12

•• Ein Winkeleisen mit vernachlässigbar kleiner Masse ist in den Punkten A und C durch ein Scharnier bzw. ein Seil gelagert, und im Punkt B durch die senkrechte Kraft 40 N belastet.

• 1. Untersuchen Sie das System auf statische Bestimmtheit.

• 2. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Hinweis:

Stellen Sie als erste Gleichgewichtsbedingung das vektorielle Momentengleichgewicht auf und wählen Sie einen günstigen Bezugspunkt.

Resultat:

$A_{x}=-50\,\mathrm{N}$, $A_{y}=0$, $A_{z}=0$, $S=40\,\mathrm{N}$, $M_{Ax}=20\,\text{N\,m}$, $M_{Az}=-25\,\text{N\,m}$.

2.13

• Das Gewicht eines Konzertflügels betrage 3,6 kN. Der Flügel steht auf drei Beinen, die sich jeweils reibungsfrei über den Boden rollen lassen. Die genauen Positionen der Beine und des Schwerpunktes entnehmen Sie bitte der folgenden Skizze:

• 1. Ist der Flügel statisch bestimmt gelagert?

• 2. Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Hinweis:

Kann eine Struktur, die sich frei verschieben lässt, weil sie auf Rollen steht, statisch bestimmt gelagert sein?

Resultat:

$A_{z}=0,94\,\text{kN}$, $B_{z}=1,46\,\text{kN}$, $C_{z}=1,2\,\text{kN}$.

2.14

• An der skizzierten, in den Punkten A und B in Fest-/Loslagerung gelagerten Kegelradwelle greifen die Zahnkräfte $F_{\text{ax}}=260\,\mathrm{N}$ (Axialkraft), $F_{\mathrm{r}}=1000\,\mathrm{N}$ (Radialkraft) und $F_{\mathrm{t}}=2800\,\mathrm{N}$ (Tangentialkraft) an.

Berechnen Sie die Lagerreaktionen sowie das übertragene Moment.

Resultat:

$A_{x}=260\,\mathrm{N}$, $A_{y}=-294\,\mathrm{N}$, $A_{z}=1050\,\mathrm{N}$, $B_{y}=1294\,\mathrm{N}$, $B_{z}=-3850\,\mathrm{N}$, $M_{\text{{\"u}bertragen}}=140\,\text{Nm}$.

2.15

• Zu berechnen sind die Achslasten V, H und A (Vorder-, Hinter- und Anhängerachse) eines stehenden Lastzuges. LKW und Anhänger sind in der Anhängerkupplung G gelenkig miteinander verbunden. Die angezogene Handbremse des LKW blockiert dessen Hinterräder.

Gegeben: LKW-Gewicht $F_{\text{LKW}}=150\,\text{kN}$, Anhängergewicht $F_{\text{Anh}}=30\,\text{kN}$.

• 1. Überprüfen Sie den Lastzug auf statische Bestimmtheit.

• 2. Berechnen Sie die Achslasten.

Hinweis:

Beginnen Sie mit dem einfacheren der beiden Freikörperbilder.

Resultat:

$A_{y}=22,5\,\text{kN}$, $G_{x}=0$, $G_{y}=7,5\,\text{kN}$, $H_{x}=0$, $H_{y}=99\,\text{kN}$, $V_{y}=58,5\,\text{kN}$.

2.16

•• Ein Gelenkträger ist in den Punkten A und B jeweils zweiwertig gelagert. An ihm greift eine Kraft F an.

• 1. Überprüfen Sie den Träger auf statische Bestimmtheit.

• 2. Bestimmen Sie die Lager- und Gelenkreaktionen.

Resultat:

$A_{x}=\frac{F}{8}$, $A_{y}=\frac{F}{4}$, $B_{x}=-\frac{F}{8}$, $B_{y}=\frac{3}{4}F$, $G_{x}=-\frac{F}{8}$, $G_{y}=-\frac{F}{4}$.

2.17

• Berechnen Sie für den skizzierten Gelenkträger die Lager- und Gelenkreaktionen.

Resultat:

$A_{x}=0$, $A_{y}=-2\,F$, $M_{\mathrm{A}}=-2\,F\leavevmode\nobreak\ l$, $B_{y}=3\,F$,$G_{x}=0$, $G_{y}=2\,F$.

2.18

• Eine Kiste mit der Gewichtskraft G stehe in den Punkten A und B auf einer um den Winkel $\alpha=40^{\circ}$ zur Horizontalen geneigten schiefen Ebene. Bestimmen Sie grafisch, wie groß der Haftkoeffizient μ₀ zwischen Kiste und schiefer Ebene mindestens sein muss, damit die Kiste nicht die schiefe Ebene hinabrutscht.

Resultat:

$\mu_{0}=\tan\alpha=0,84$.

2.19

•• Bis zu welchem Winkel α lässt sich ein Stab (Gewicht G, Länge l) an eine Wand lehnen, ohne hinunterzurutschen? Die Haftkoeffizienten zwischen Stab und Boden sowie Stab und Wand seien gleich groß und betragen jeweils $\mu_{0}=0,3$.

Resultat:

$F_{\text{NA}}=\frac{G}{1+\mu_{0}^{2}}$, $F_{\text{NB}}=\frac{\mu_{0}G}{1+\mu_{0}^{2}}$,$\alpha=\arctan\frac{2\,\mu_{0}}{1-\mu_{0}^{2}}=33,4^{\circ}$.

2.20

•• Eine $G=100\,\mathrm{N}$ schwere Scheibe mit dem Radius R liegt wie skizziert in einer Ecke zwischen Boden und Wand. Die an einem starr mit der Scheibe verbundenen Hebelarm angreifende Kraft F versucht die Scheibe zu drehen. Die Haftkoeffizienten zwischen Scheibe und Boden sowie Scheibe und Wand betragen jeweils $\mu_{0}=0,3$.

Wie groß muss die Kraft F mindestens sein, damit sich die Scheibe dreht? Wie groß sind dann die Normalkräfte zwischen Scheibe und Boden (Punkt A) sowie Scheibe und Wand (Punkt B)?

Resultat:

$F_{\text{NB}}=\frac{G}{\mu_{0}-\frac{1}{4}+\frac{3}{4\,\mu_{0}}}=39{,}2\,\mathrm{N}$,$F_{\text{NA}}=\bigl(\frac{3}{4\,\mu_{0}}-\frac{1}{4}\bigr)F_{\text{NB}}=88{,}2\,\mathrm{N}$,$F=\frac{1}{4}(1+\mu_{0})F_{\text{NB}}=12{,}7\,\mathrm{N}$.

2.21

• In den wie immer viel zu kurzen Semesterferien jobben Sie als Hafenarbeiter. Jetzt sollen Sie ein Frachtschiff mal schnell am Tau gegen Abdriften festhalten. In Ermangelung höherer Kenntnisse zu Seemannsknoten schlingen Sie das Seil ein paar Mal um den Poller und halten so stark Sie können gegen.

Wie oft ist das Tau um den Poller zu wickeln?

Zahlenwerte:

• Abdriftkraft Frachtschiff: $S_{2}=12.000\,\mathrm{N}$,

• Ihre Gegenhaltekraft: $S_{2}=400\,\mathrm{N}$,

• Haftkoeffizient: $\mu_{0}=0,25$.

Resultat:

2,2 Umschlingungen.

2.22

•• Ein Riemenantrieb bestehe aus zwei mit einem Riemen verbundenen Scheiben der Durchmesser 150 mm und 400 mm. Der Achsabstand der beiden Riemenscheiben betrage 800 mm, der Haftkoeffizient $\mu_{0}=0,4$.

Die kleinere Riemenscheibe soll mit einem Drehmoment von maximal 140 Nm angetrieben werden können, ohne dass der Riemen rutscht.

• 1. Berechnen Sie den Umschlingungswinkel α der kleinen Scheibe.

• 2. Wie groß sind die Kräfte im Riemen?

• 3. Berechnen Sie die durch die Riemenkräfte hervorgerufenen Lagerreaktionen im Lager der kleineren Riemenscheibe.

Resultat:

$\alpha=162^{\circ}$, $S_{1}=889\,\mathrm{N}$, $S_{2}=2755\,\mathrm{N}$, $A_{x}=3599\,\mathrm{N}$, $A_{y}=292\,\mathrm{N}$.

2.23

•• Gegeben ist der skizzierte trapezförmige Flächenquerschnitt.

• 1. Berechnen Sie die Lage des Flächenschwerpunktes mithilfe der Integraldefinition des Schwerpunktes.

• 2. Unterteilen Sie das Trapez in zwei Teilflächen und berechnen Sie die Lage des Flächenschwerpunktes.

Hinweis:

Verwenden Sie bei der Integration horizontale Streifen als Flächenelemente dA.

Resultat:

$x_{\mathrm{S}}=19\,\text{mm}$, $y_{\mathrm{S}}=14\,\text{mm}$.

2.24

•• Berechnen Sie die Schwerpunktkoordinaten x_S und y_S der abgebildeten, durch die Funktion $f(x)=\cos x$ im Bereich $-\pi/2\leq x\leq\pi/2$ umrandeten Fläche.

Hinweis:

Integrationshilfe: $\int\cos^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(x+\sin x\cos x\right)$.

Resultat:

$x_{\mathrm{S}}=0$, $y_{\mathrm{S}}=\frac{\pi}{8}$.

2.25

•• Bestimmen Sie die Schwerpunktkoordinate x_S der skizzierten Schreibtischlampe (alle Längenmaße in mm). Es wiegen der Lampenfuß 400 g, der laufende Meter Rohr jeweils 100 g und der Lampenschirm mit Glühbirne 120 g.

Resultat:

$x_{\mathrm{S}}=54{,}3\,\text{mm}$.

2.26

•• Berechnen Sie die Schwerpunktlage z_S einer Pyramide der Höhe h und der Breite b.

Hinweis:

• Beachten Sie, dass die Koordinate z ihren Ursprung in der Spitze der Pyramide hat.

• Verwenden Sie bei der Integration über das Volumen der Pyramide horizontale Scheiben als Volumenelemente dV.

• Das Volumen V einer Pyramide beträgt

  $$V=\frac{1}{3}\cdot\text{H{\"o}he}\cdot\text{Grundfl{\"a}che}\;.$$

Resultat:

$z_{\mathrm{S}}=\frac{3}{4}\,h$.

2.27

••• Berechnen Sie die Schwerpunktlage einer homogenen Halbkugel des Radius R.

Hinweis:

Wählen Sie als Volumenelemente dV parallel zur x-y-Ebene liegende Kreisscheiben.

Resultat:

$x_{\mathrm{S}}=y_{\mathrm{S}}=0,\ z_{\mathrm{S}}=\frac{3}{8}\leavevmode\nobreak\ R$.

2.28

•• Ein Stehaufmännchen ist ein prima Kinderspielzeug. Man kann es stundenlang aufs Neue kippen, und es richtet sich stets alleine wieder auf.

Sie haben sich nun entschlossen, Ihrer niedlichen kleinen Nichte zum ersten Geburtstag ein Stehaufmännchen zu basteln. Es soll aus einem Stück bestehen, mit einer Halbkugel mit dem Radius R für das Gesicht und einem Kegel der Höhe H als Mütze.

• 1. Was hat diese Aufgabe mit dem Schwerpunkt zu tun?

• 2. Welche Höhe H_zul darf die Mütze höchstens haben?

Hinweis:

Die Bestimmungsgleichung für den Schwerpunkt eines Kegels ist identisch mit derjenigen für den Schwerpunkt einer Pyramide (siehe Aufgabe 2.26)).

Resultat:

$H_{\text{zul}}=\sqrt{3}\leavevmode\nobreak\ R$.

2.29

• Auf einen Körper aus Stahl soll ein Haken angeschweißt werden, um den Körper mit einem Kran anheben zu können. Der Körper besteht aus einer 10 cm hohen fünfeckigen Basis, einem ebenfalls 10 cm hohen quadratischen Aufsatz und einer durchgehenden Bohrung des Durchmessers 5 cm. Die anderen Maße entnehmen Sie bitte der Zeichnung.

An welche Stelle ist der Haken anzuschweißen, damit der Körper beim Anheben nicht kippt?

Resultat:

Der Haken muss genau über dem Schwerpunkt verschweißt werden. Die Schwerpunktkoordinaten betragen $x_{\mathrm{S}}=21,4\,\text{mm}$, $y_{\mathrm{S}}=18,5\,\text{mm}$.