Das eindimensionale Riemannsche Integral

Zusammenfassung

Neben der Differentialrechnung bildet die Integralrechnung das zweite große Teilgebiet der klassischen Analysis. Eine ihrer Anwendungen liegt in der Flächen- und Volumenberechnung. Ihre Ursprünge führen zurück bis in die Antike: Beispielsweise befassten sich die Babylonier und die Griechen bereits vor mehreren tausend Jahren mit der Berechnung des Flächeninhalts des Einheitskreises und gewannen so sehr gute Näherungen für π. Erst viele Jahrhunderte später wurde durch Augustin Cauchy (1789–1857) ein Integralbegriff entwickelt, der den heutigen formalen mathematischen Ansprüchen gerecht wird, und schließlich von Bernhard Riemann (1826–1866) in eine noch heutige gebräuchliche Form gebracht. Dessen Ansatz, das sogenannte Riemann-Integral, wollen wir in diesem Kapitel einführen. Im 20. Jahrhundert wurde die Integrationsrechnung nochmal entscheidend von Henri Lebesgue (1875–1941) weiterentwickelt, der diese in eine weit abstraktere Richtung rückte. Lebesgues Ansatz führte schließlich zur Entwicklung der Maßtheorie, die in ihrer großen Allgemeinheit auch heute noch als eine moderne Sichtweise auf die Integrationstheorie gelten darf. Sowohl das Lebesgue-Integral als auch die Maßtheorie werden uns in Band 2 begegnen. Zunächst wollen wir jetzt aber das grundlegende Riemann-Integral kennenlernen.