Zusammenfassung
Nach allem, was wir über den Menschen wissen, scheint es ihm ein tiefes Bedürfnis zu sein, die Welt ordnen zu wollen, um sie besser verstehen zu können. Historisch gesehen haben Menschen deswegen sehr früh damit begonnen, Dinge zu zählen.
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Notes
- 1.
Der Vollständigkeit der Darstellung halber fassen wir diese im Abschn. 3.6 zusammen.
- 2.
Streng genommen haben wir bei unserer Definition der reellen Zahlen einen logischen Zirkelschluss vollzogen, weil wir \(\mathbb{R}\) über Axiome definiert haben, in deren Formulierung \(\mathbb{R}\) bereits selbst vorkommt. Es wäre formal korrekter, die Axiome abstrakt für eine Menge M einzuführen und dann zu sagen, dass wir eine Menge, die alle diese erfüllt, \(\mathbb{R}\) nennen. Unserer Erfahrung und Meinung nach geht mit diesem mehr an Formalismus jedoch kaum ein Erkenntnisgewinn einher, sondern es überwiegt für uns der Aspekt, dass die Darstellung dadurch unserer Ansicht nach komplizierter wird.
- 3.
Der Begriff des Körperisomorphismus kann in jedem Lehrbuch zur Algebra nachgeschlagen werden und ist ähnlich definiert wie derjenige für Vektorräume, wie er in Kap.10 vorgestellt wird.
- 4.
Benannt nach dem griechischen Mathematiker Archimedes (287–212 v. Chr.).
- 5.
Benannt nach dem schweizerischen Mathematiker Jakob Bernoulli (1654–1705).
- 6.
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion wird meist nicht in voller Ausführlichkeit aufgeschrieben, wie wir es bisher getan haben. Mit diesem Beweis soll der Leser hieran gewöhnt werden. Wir empfehlen dem Anfänger allerdings zur Übung zunächst für einige Zeit stets das strenge Schema, wie wir es etwa im Beweis von Satz 2.10 gesehen haben, zu verwenden.
- 7.
Benannt nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829).
- 8.
Streng genommen führen wir den Cosinus erst in Abschn. 4.3 ein, vertrauen an dieser Stelle aber auf das Schulwissen des Lesers.
- 9.
Benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) und dem deutschen Mathematiker Hermann Schwarz (1843–1921).
- 10.
An dieser Stelle greifen wir nochmals auf die vermutlich aus der Schule bekannten Sinus und Cosinus vor, die wir erst in Abschn. 4.3 formal einführen werden.
- 11.
Benannt nach dem irischen Mathematiker Sir William Hamilton (1805–1865).
- 12.
Die Namensgebung Quaternion geht laut [Ebb92] auf eine Stelle aus der Saint James Bible zurück, wo eine Gruppe von vier Männern quaternion genannt wird.
- 13.
Ganz exakt formuliert besteht die Aussage nur bis auf Isomorphie, aber wir lassen diesen Aspekt des Satzes von Frobenius weg, um die Darstellung möglichst einfach zu halten.
- 14.
Genau genommen ist der Raum F isomorph zu den komplexen Zahlen.
- 15.
Benannt nach dem deutschen Mathematiker Adolf Hurwitz (1859–1919).
- 16.
Benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker John Milnor (*1931).
- 17.
Benannt nach dem deutschen Mathematiker Heinz Hopf (1894–1971).
Literatur
H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, M. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert, Zahlen, Springer, 1992.
R. Kaplan, Die Geschichte der Null, Piper, 1999.
A. Reid, C. Maclachlan, The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Springer, 2003.
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Hirn, A., Weiß, C. (2017). Zahlen. In: Analysis – Grundlagen und Exkurse. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55538-5_2
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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