Zusammenfassung
Um dieses Integral mit Leben zu füllen, konstruieren wir nun ein explizites, besonders interessantes Maß. Dieses soll, wie bereits angedeutet, insbesondere zwei Eigenschaften besitzen: Erstens soll es der Volumenberechnung dienen und zweitens soll das entstehende Integral das Riemann-Integral verallgemeinern. Dieses Ziel wird mit dem Lebesgue-Maß erreicht werden.
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Notes
- 1.
Alternativ wäre es auch möglich \(m(R) := \int \chi_R(x) \textrm{d} x\) mithilfe des Riemann-Integrals zu definieren.
- 2.
Der Begriff Untergruppe bedeutet, dass G eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\) und gleichzeitig eine Gruppe im Sinne der Definition 10.1 aus Bd. 1 ist.
- 3.
Entscheidend für die Durchführbarkeit dieser Konstruktion ist, dass jede Untergruppe einer abelschen Gruppe normal ist, das heißt, es gilt xGx−1 = G für alle \(x \in \mathbb{R}\).
- 4.
Benannt nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali (1875–1932).
- 5.
Benannt nach dem italienischen Mathematiker Guido Fubini (1879–1943).
- 6.
Benannt nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598–1647).
- 7.
Die Existenz bezüglich des Lebesgue-Maßes nicht messbarer Mengen haben wir in Satz 4.13 gezeigt.
- 8.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird typischerweise der Buchstabe Ω anstelle von X für die Grundmenge verwendet.
- 9.
Benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654–1705).
- 10.
Benannt nach dem französischen Mathematiker Simeon Poisson (1781–1840).
- 11.
Benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Andrew Berry und dem schwedischen Mathematiker Carl-Gustav Esseen (1918–2001).
- 12.
Benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue (1875–1941) und dem niederländischen Mathematiker Thomas Stieltjes (1856–1894).
Literatur
A. Berry, The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variables, Transaction of the American Mathematical Society 49(1941), 122–136.
R. Dobelli, Die Kunst des klaren Denkens, dtv, 2014.
C.-G. Esseen, Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law, Acta Mathematica 77 (1944).
D. Kahneman, Thinking, Fast and Slow, Penguin, 2012.
A. Klenke, Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, 2013.
U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg, 2007.
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Hirn, A., Weiß, C. (2018). Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf \(\mathbb{R}^n\). In: Analysis – Grundlagen und Exkurse. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55536-1_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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