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Numerik partieller Differentialgleichungen

  • Hans-Jürgen Reinhardt
Chapter
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Zusammenfassung

Differenzenapproximation der Laplace-Gleichung

Wir betrachten das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung
$$\displaystyle\begin{array}[]{r@{\;}c@{\;}l@{\;}cl}\triangle u(x,y)\;&=\;&0\;&,&(x,y)\in G\subset\mathbb{R}^{2}\;,\\ u(x,y)\;&=\;&g(x,y)\;&,&(x,y)\in\partial G\;.\end{array}$$
Für ein äquidistantes Gitter in \(\mathbb{R}^{2}\),
$$\displaystyle\mathbb{R}^{2}_{h}=\{(x_{i},y_{j})\,|\,x_{i}=i\,h_{1},\,y_{j}=j\,h_{2}\;,\quad i,j\in\mathbb{Z}\}\;,$$
mit Schrittweiten \(h_{1}> 0\) bzw. \(h_{2}> 0\) in x- bzw. y-Richtung erhält man eine Differenzenapproximation mit Hilfe der bekannten 5-Punkte-Approximation
$$\displaystyle U_{i-1,j}+U_{i+1,j}+U_{i,j-1}+U_{i,j+1}-4U_{i,j}=0\;,$$
für alle Gitterpunkte \((x_{i},y_{j})\in G_{h}:=G\cap\mathbb{R}^{2}_{h}\), wobei U i,j Näherungen von \(u(x_{i},y_{j})\) bezeichnen, und für die Randgitterpunkte \(U_{i,j}=g(x_{i},y_{j}),\,(x_{i},y_{j})\in\partial G_{h}:=\partial G\cap\mathbb{R}^{2}_{h}\) gesetzt wird.

Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf, wobei die Reihenfolge der Gleichungen so zu wählen ist, dass die Koeffizientenmatrix möglichst günstigste Gestalt hat, d. h. möglichst minimale Bandbreite besitzt. Für die Gitterpunktmenge \(G_{h}\cup\partial G_{h}\) wählen Sie nacheinander

Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017

Authors and Affiliations

  • Hans-Jürgen Reinhardt
    • 1
  1. 1.Department MathematikUniversität SiegenSiegenDeutschland

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