Aufgabensammlung Numerik pp 253-296 | Cite as
Numerik partieller Differentialgleichungen
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Zusammenfassung
Differenzenapproximation der Laplace-Gleichung
Wir betrachten das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung
$$\displaystyle\begin{array}[]{r@{\;}c@{\;}l@{\;}cl}\triangle u(x,y)\;&=\;&0\;&,&(x,y)\in G\subset\mathbb{R}^{2}\;,\\ u(x,y)\;&=\;&g(x,y)\;&,&(x,y)\in\partial G\;.\end{array}$$
Für ein äquidistantes Gitter in \(\mathbb{R}^{2}\), mit Schrittweiten \(h_{1}> 0\) bzw. \(h_{2}> 0\) in x- bzw. y-Richtung erhält man eine Differenzenapproximation mit Hilfe der bekannten 5-Punkte-Approximation für alle Gitterpunkte \((x_{i},y_{j})\in G_{h}:=G\cap\mathbb{R}^{2}_{h}\), wobei U i,j Näherungen von \(u(x_{i},y_{j})\) bezeichnen, und für die Randgitterpunkte \(U_{i,j}=g(x_{i},y_{j}),\,(x_{i},y_{j})\in\partial G_{h}:=\partial G\cap\mathbb{R}^{2}_{h}\) gesetzt wird.
$$\displaystyle\mathbb{R}^{2}_{h}=\{(x_{i},y_{j})\,|\,x_{i}=i\,h_{1},\,y_{j}=j\,h_{2}\;,\quad i,j\in\mathbb{Z}\}\;,$$
$$\displaystyle U_{i-1,j}+U_{i+1,j}+U_{i,j-1}+U_{i,j+1}-4U_{i,j}=0\;,$$
Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf, wobei die Reihenfolge der Gleichungen so zu wählen ist, dass die Koeffizientenmatrix möglichst günstigste Gestalt hat, d. h. möglichst minimale Bandbreite besitzt. Für die Gitterpunktmenge \(G_{h}\cup\partial G_{h}\) wählen Sie nacheinander
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