Zusammenfassung
Die Resultate über Operatoren auf Banachräumen, die in diesem Kapitel vorgestellt werden, beruhen auf einem Prinzip über vollständige metrische Räume, das 1899 von R. Baire entdeckt wurde. Dieses Bairesche Kategorienprinzip wird als erstes vorgestellt.
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Notes
- 1.
In der Literatur spricht man häufig bloß von einer Kontraktion, was jedoch mit der Nomenklatur der linearen Funktionalanalysis nicht immer kompatibel ist, wo man lineare Operatoren mit Norm \({\le1}\) kontraktiv nennt.
- 2.
Offensichtlich spielt es keine Rolle, dass die Kugel B den Radius r statt 1 hat.
- 3.
- 4.
Aus Anlass des 120. Geburtstags von Banach hat die polnische Staatsbank 2012 drei Sondermünzen herausgegeben: die mit dem Nennwert 2 zł. zeigt die Formel \(\|T(x)\|\le \|T\|\cdot\|x\|\), die mit dem Nennwert 10 zł. zeigt die Formel \(\|S\circ T\|\le \|S\| \cdot \|T\|\) und versucht, den Satz von Hahn-Banach abzubilden, und die mit dem Nennwert 200 zł. dokumentiert den Banachschen Fixpunktsatz. (Die Münzen sind auf der in Kap. I erwähnten Seite http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach zu sehen.) Wie zum Beweis des konstatierten Preis-Leistungs-Verhältnisses ist der Sammlerwert der 200 zł.-Münze inzwischen das 20-fache des Nominalwerts!
- 5.
Die Mathematiker L.E.J. Brouwer und F. Browder sind zu unterscheiden!
- 6.
Dieser Beweis erscheint auch in der 1. Auflage von Heuser [1992] aus dem Jahre 1975 sowie in Noten von Milnor (Amer. Math. Monthly 85 (1978) 521–524), Rogers (Amer. Math. Monthly 87 (1980) 525–527) und Gröger (Math. Nachr. 102 (1981) 293–295).
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Werner, D. (2018). IV Die Hauptsätze für Operatoren auf Banachräumen. In: Funktionalanalysis. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55407-4_4
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