Zusammenfassung
Neben dem Zählen ist die älteste mathematische Tätigkeit der Menschheitsgeschichte das Erkennen von geometrischen Formen und die Erfahrung geometrischer Eigenschaften. Verzierungen mit verschiedenen geometrischen Formen (Kreisen, Vielecken) sind aus vielen Kulturen bekannt.
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Notes
- 1.
Ein Polyeder heißt regulär, wenn alle Seitenflächen kongruente regelmäßige Vielecke sind und in jeder Ecke gleich viele dieser Seiten aufeinandertreffen.
- 2.
Eine Kachelung der Ebene ist eine lückenlose Überdeckung der Ebene, ohne Überlappungen, durch topologische Scheiben („Kacheln“), normalerweise konvexen Vielecken. Die Kachelung ist regulär, wenn alle Kacheln kongruente reguläre Polygone sind.
- 3.
Offensichtlich genügt es, das Problem nur für spitze Winkel zu lösen.
- 4.
Man soll diesen Mathematiker nicht mit seinem Zeitgenossen, dem berühmten Arzt Hippokrates von Kos, verwechseln.
- 5.
Der exakte Beweis dieses Satzes ist unter Verwendung der Exhaustionsmethode als EEXII2 in Euklids Elementen zu finden.
- 6.
Man betrachtet ähnliche Möndchen aus offensichtlichen Gründen als äquivalent.
- 7.
Ein Torus entsteht durch Rotation eines Kreises um eine Achse, die in der Ebene des Kreises liegt.
- 8.
Die folgenden Schriften Euklids sind ganz oder teilweise erhalten: Data (über Herleitung von Eigenschaften von Figuren aus gegebenen Eigenschaften), Über Figurenteilungen (über Teilungen von Figuren in zwei Teile in einem gegebenen Verhältnis), Optik (befasst sich mit der Perspektive), Phaenomena (Einführung in die mathematische Astronomie) [24].
- 9.
Dies ist die Transitivät der Gleichheitsrelation. Man beachte, dass die hier gemeinte Gleichheit die Gleichheit im Sinne der geometrischen Algebra ist, also allgemeiner ist als Kongruenz.
- 10.
Wenn \(a=b\) und \(c=d\), dann ist \(a+c=b+d\).
- 11.
Wenn \(a=b\) und \(c=d\), dann ist \(a-c=b-d\).
- 12.
Zwei Punkte bestimmen eine Gerade. Dies bestimmt die Verwendung des Lineals in geometrischen Konstruktionen nur zur Verbindung von je zwei Punkten.
- 13.
Jede Strecke liegt auf einer unendlichen Geraden.
- 14.
Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius bestimmt. Dies bestimmt die Verwendung des Zirkels in geometrischen Konstruktionen nur zur Zeichnung von Kreisen mit bekanntem Mittelpunkt und Radius.
- 15.
Also kann ein rechter Winkel als Maßeinheit für Winkelgrößen verwendet werden.
- 16.
Gauß konstruierte 1796 ein regelmäßiges Siebzehneck mit Zirkel und Lineal.
- 17.
Also sind z. B. die Seite und die Diagonale eines Quadrats quadratisch kommensurabel, da die Quadrate über ihnen mit einem gemeinsamen Einheitsmaß (Einheitsquadrat) gemessen werden können. Mit anderen Worten: Ganze Zahlen sind mit ganzen Zahlen kommensurabel und mit deren Quadratwurzeln quadratisch kommensurabel.
- 18.
Man sieht, dass wenn man Zahlen mit Längen identifiziert, der Begriff der Rationalität bei Euklid nicht nur rationale Zahlen einschließt, sondern auch deren Quadratwurzeln. Andererseits unterscheidet er zwischen rationalen Längen und Flächen, rationale Flächen sind bei ihm die, deren Maß nur als rationale Zahl ausgedrückt werden kann.
- 19.
Dass der Schwerpunkt einer Figur gleich dem Schwerpunkt der Schwerpunkte ihrer Teile ist, folgt aus Archimedes’ Hebelgesetz.
- 20.
Dies sind konvexe Polyeder, deren Flächen reguläre Vielecke von zwei oder mehr Sorten sind, deren Arrangement um jede Ecke gleich ist.
- 21.
Aristaios lebte im 4. Jh. v. Chr. und befasste sich mit Kegelschnitten, seine Werke sind aber verschollen.
- 22.
Euklid verfasste eine Schrift über Kegelschnitte, die ist jedoch verschollen.
- 23.
Manchmal benutzt man den Namen, um nur an den Spezialfall eines Kreises, der die drei Ankreise eines Dreiecks berührt, zu bezeichnen.
- 24.
Der Großkreis ist ein Kreis auf der Kugeloberfläche, der den gleichen Durchmesser wie die Kugel hat.
- 25.
Ein Antiprisma ist (genau wie ein Prisma) ein Polyeder mit zwei parallelen, kongruenten Vielecken als Grundflächen, diese sind aber verdreht und durch Dreiecke verbunden, deren Spitzen abwechselnd zur den zwei Grundflächen weisen.
- 26.
Diese sind heute als Kepler-Poinsot-Körper bekannt.
- 27.
Die gleiche Hypothese stellte auch der Engländer Thomas Harriot (1560–1621). Kepler kommunizierte mit Harriot, und es ist gut möglich, dass Harriot Kepler beeinflusst hat. Harriots eigene Vermutung hatte mit seinen Schiffsreisen mit dem englischen Seefahrer und Entdecker Sir Walter Raleigh zu tun; dieser hatte ihm nämlich die Aufgabe gestellt, die beste (dichteste) Packung der Kanonenkugeln auf Schiffen zu finden.
- 28.
Die Horizontgerade ist eine dem Boden (Grundebene) parallele Gerade, die genau auf Augenhöhe des Betrachters liegt.
- 29.
Man nimmt an, dass die Bildebene senkrecht zur Grundebene steht.
- 30.
Die erste Veröffentlichung stammt aus dem Jahr 1648. Es handelt sich um ein Werk über Perspektive von Abraham Bosse.
- 31.
Es ist für den Leser vielleicht interessant zu erfahren, dass nach Gergonne ein berühmter mathematischer Trick benannt wird, bei dem der „Mathemagier“ eine vom Zuschauer frei gewählte und nicht genannte Karte durch drei Fragen „entdeckt“. Gergonne hatte die erste Analysis des Tricks 1814 veröffentlicht. Der Trick ist z. B. in [6] beschrieben.
- 32.
Man bemerke, dass diese Formulierung auch in der sphärischen Geometrie gilt, in der es keine Parallelen gibt.
- 33.
Nach John Playfair (1748–1819), der diese Formulierung anstatt der ursprünglichen 1795 vorgeschlagen hat.
- 34.
Die SSS- und SWS-Kongruenzsätze sind in dem I. Buch der Elemente ohne Verwendung des Parallelenaxioms bewiesen.
- 35.
Da die Originalformulation des Parallelenpostulats auch in der sphärischen Geometrie gültig ist, sollte man hier besser „nicht kleiner als“ anstatt „gleich“ schreiben, wir entschieden uns aber hier für die allgemein übliche Variante, die nur in der euklidischen Geometrie gilt.
Literaturverzeichnis
Allen, G.D.: Lectures on the History of Mathematics, http://www.math.tamu.edu/dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf (2002). Zugegriffen: 12. Dez. 2017
Alsina, C., Nelsen, R.B.: Bezaubernde Beweise. Springer Spektrum, Berlin (2013)
Anglin, W.S., Lambek, J.: The Heritage of Thales. Springer Verlag, New York (1995)
Archimedes: On the Equilibrium of Planes. In: Heath, T. (Hrsg.) The Works of Archimedes, S. 189–220. https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp (1987). Zugegriffen: 19. März 2017
Ball, W.W.R.: A Short Account of the History of Mathematics. Dover Publications, New York (1960)
Bolker, E.D.: Gergonne’s Card Trick, Positional Notation, and Radix Sort. Math. Mag. 83, 46–49 (2010). doi:10.4169/002557010X479983
Bos, H.J.M.: Descartes’ solution of Pappus’ problem. In: Redefining Geometrical Exactness, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, S. 313–334. Springer-Verlag, New York (2001)
Boyer, C.B.: Newton as an originator of polar coordinates. Am. Math. Mon. 56, 73–78 (1949)
Cromwell, P.A.: Polyhedra. Cambride University Press, Cambridge (1997)
Dunham, D.: M.C. Escher’s use of the Poincaré Models of Hyperbolic Geometry. http://www.math-art.eu/Documents/pdfs/Dunham.pdf (2012). Zugegriffen: 31. März 2017
Geyer, W.-D.: Euklid: Die Elemente — eine Übersicht. Vorlesungen über antike Mathematik. https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/ez/material/geyer.pdf (2001). Zugegriffen: 20. Jan. 2017
Gleizer, G.I.: Geschichte der Mathematik für die Schule (kroatische Übersetzung des russischen Originals). Školske novine & Hrvatko matematičko društvo, Zagreb (2003)
Gullberg, J.: From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company, New York (1997)
Hales, T.C.: An overview of the Kepler conjecture. https://arxiv.org/abs/math/9811071 (2002). Zugegriffen: 10. Dez. 2016
Haller, R.: Die Elemente des Euklid. http://www.opera-platonis.de/euklid/ (2010). Zugegriffen: 10. Febr. 2017
Hart, G.W.: Virtual polyhedra — the encyclopedia of polyhedra. http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html (1998). Zugegriffen: 26. März 2017
Heath, T.: A History of Greek Mathematics, Bd. I. Oxford University Press, London (1921)
Ibá nez, R.: Ways of Mapping the World. RBA Coleccionables, S.A., London (2013)
Joyce, D.E.: Elements. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html (1998). Zugegriffen: 25. März 2017
Kepler’s Discovery (Johannes Kepler and the Door to Science). http://www.keplersdiscovery.com/SixCornered.html. Zugegriffen: 26. März 2017
Langley, E.M.: The eccentric circle of Boscovich. Math. Gaz. 1, 1–3 (1894)
Lewis, F.P.: History of the parallel postulate. Am. Math. Mon. 27, 16–23 (1920)
Neovius, S.: René Descartes’ Foundations of Analytic Geometry and Classification of Curves. Uppsala Universitet. https://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:631055/FULLTEXT01.pdf (2001). Zugegriffen: 25. Feb. 2017
O’Connor, J.J., Robertson, E.F.: MacTutor History of Mathematics Archive. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ (2016). Zugegriffen: 15. Jan. 2017
Perović, M.: Geschichte der Mathematik (in montenegrinischer Sprache). Manuskript, Univerzitet Crne Gore (2016)
Postnikov, M.M.: The Problem of Squarable Lunes. Am. Math. Mon. 107, 645–651 (2000)
Ryan, D.E.: CAD/CAE Descriptive Geometry. CRC Press, Boca Raton (1992)
Smith, J.D.: The Remarkable Ibn al-Haytham. Math. Gaz. 76, 189–198 (1992)
Stillwell, J.: Mathematics ans Its History. Springer Verlag, New York (2010)
Stoudt, G.S.: Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? Convergence, http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/ (2015). Zugegriffen: 5. März 2017
Taiminņa, D.: Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes. CRC Press, Boca Raton (2009)
Van Brummelen, G.: Heavenly Mathematics. Princeton University Press, Princeton (2013)
Volkert, K.: Geschichte der projektiven Geometrie. Universität Wuppertal http://www2.math.uni-wuppertal.de/~volkert/Gesch_Math_Skript_komplett.pdf (2013/14) Zugegriffen: 1. Dez. 2016
Wußing, H.: 6000 Jahre Mathematik, Eine kulturgeschichtliche Zeitreise — 1. Von den Anfägen bis Leibniz und Newton. Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg (2008)
Wußing, H.: 6000 Jahre Mathematik, Eine kulturgeschichtliche Zeitreise — 2. Von Euler bis zur Gegenwart. Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg (2009)
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Brückler, F.M. (2017). Geschichte der Geometrie. In: Geschichte der Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55352-7_2
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