Diagonalisierung – Eigenwerte und Eigenvektoren

Zusammenfassung

Mit dem Diagonalisieren von Matrizen sind wir im Zentrum der linearen Algebra angelangt. Den Schlüssel zum Diagonalisieren bilden Vektoren v ungleich dem Nullvektor mit $A\,v=\lambda\,v$ für ein $\lambda\in{\mathbb{K}}$ – man nennt v Eigenvektor und λ Eigenwert. Beim Diagonalisieren einer Matrix $A\in{\mathbb{K}}^{n\times n}$ bestimmt man alle Eigenwerte von A und eine Basis des ${\mathbb{K}}^{n}$ aus Eigenvektoren.

Die Anwendungen des Diagonalisierens von Matrizen sind vielfältig, Themen wie Hauptachsentransformation, Singulärwertzerlegung und Matrixexponentialfunktion zur Lösung von Differentialgleichungssystemen basieren auf dem Diagonalisieren.

Wie schon oftmals zuvor bezeichnet ${\mathbb{K}}$ einen der beiden Zahlkörper ${\mathbb{R}}$ oder ${\mathbb{C}}$.