Grundlagen der Statistik

Zusammenfassung

Statistik umfasst die Lehre von der Datenerhebung, der Datenanalyse sowie der Interpretation und der Darstellung von Analyseergebnissen. Statistische Ämter erstellen Statistiken, indem sie Beobachtungen zusammentragen und übersichtlich darstellen. Die Rolle der Statistik in der biomedizinischen Forschung geht über die Zusammenfassung in Tabellen und Grafiken hinaus. Hier hat Statistik die Aufgabe, Methoden für Entscheidungen bei Vorliegen von Unsicherheiten zur Verfügung zu stellen: Ärzte und Medizinphysiker möchten z. B. untersuchen, ob ein neuer Bestrahlungsplan für einen Hirntumor erfolgreicher ist als der Standardplan. Sie werden sich nicht auf den Behandlungserfolg bei einem einzelnen Patienten verlassen wollen. Vielmehr werden in solchen Untersuchungen eine Reihe von Patienten nach dem neuen Plan und parallel dazu vergleichbare Patienten nach dem Standardplan bestrahlt. Nach einer ausreichenden Nachbeobachtungszeit wird der Therapieerfolg anhand der Tumorgröße beurteilt. Oft wird das Ergebnis nicht eindeutig sein, da nur eine kleine Auswahl von Patienten behandelt wurde und die Schwankungen zwischen den Patienten groß sind. Dies ist eine typische Situation für eine statistische Auswertung.

Aufgaben

2.1

Deskriptive Statistik

In einer Studie wurde bei 54 Patienten mit Angina die Inkubationszeit in Stunden erhoben:

19, 24, 26, 29, 29, 32, 33, 35, 36, 38, 38, 40, 41, 42, 42, 42, 43, 45, 46, 46, 47, 48, 48, 48, 49, 50, 51, 51, 53, 55, 56, 57, 57, 59, 61, 62, 64, 67, 67, 70, 70, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 88, 90, 94, 99, 105, 115, 118.

• Erstellen Sie ein Histogramm.

• Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert, Median, Spannweite und Standardabweichung.

• Erstellen Sie einen Boxplot.

2.2

z-Transformation

Die Größe von erwachsenen Frauen kann als approximativ normalverteilt mit Erwartungswert $\mu=165$ cm und Standardabweichung $\sigma=7$ cm angenommen werden.

• Wie groß ist der Anteil an Frauen, die kleiner als 158 cm sind?

• Wie groß muss eine Frau sein, damit sie zu den 5 % größten Frauen gehört?

2.3

Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Normalverteilung

In einer Studie wurde die fiebersenkende Wirkung eines Medikaments untersucht. Dafür wurde bei 21 Patienten mit Fieber die Temperatur vor und eine Stunde nach Gabe des Medikaments bestimmt und die Temperaturdifferenz vorher/nachher berechnet. Die mittlere Temperaturdifferenz bei den 21 Patienten lag bei 0,9 °C und die empirische Standardabweichung bei 0,8 °C.

• Berechnen Sie das Konfidenzintervall für die Temperaturdifferenz.

• Beschreiben Sie in Worten die Bedeutung des Konfidenzintervalls.

• Testen Sie auf dem 5 %-Niveau, ob das Medikament einen fiebersenkenden Effekt hat.

2.4

Interpretation von $p$ -Werten

• Wenn ein Test ein zum 5 %-Niveau signifikantes Ergebnis liefert, ist das Ergebnis auch zum 1 %-Niveau signifikant?

• Wenn ein Test ein zum 1 %-Niveau signifikantes Ergebnis liefert, ist das Ergebnis auch zum 5 %-Niveau signifikant?

• Testet man zum 5 %-Niveau und erhält einen $p$-Wert von $0{,}02$. Welche Schlussfolgerung kann man ziehen? Welcher statistische Fehler könnte aufgetreten sein? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Fehler aufgetreten?

• Testet man zum 5 %-Niveau und erhält einen $p$-Wert von $0{,}20$. Welche Schlussfolgerung kann man ziehen? Welcher statistische Fehler könnte aufgetreten sein?

2.5

Wahl des Hypothesentests

Bestimmen Sie für jede der folgenden Situationen den passenden statistischen Test:

• Es soll geprüft werden, ob bei zwei Roulettetischen die „0“ mit unterschiedlicher Häufigkeit vorkommt.

• Es soll geprüft werden, ob Radfahrer und Autofahrer verschiedene Vitalkapazität haben.

• Die Wirkung zweier Sonnenschutzmittel soll verglichen werden. Dafür wird Testpersonen auf dem linken Arm das eine und auf dem rechten Arm das andere Mittel aufgetragen und es wird ein quantitatives Maß für die Rötung der Haut ermittelt.

• Es soll geprüft werden, ob sich die Zeit bis zu einer notwendigen Autoreparatur für Autos unterscheidet, die in zwei verschiedenen Werkstätten gewartet werden.

2.6

Korrelation und Regression Im Rahmen einer Studie zur Lungenfunktion wurde bei 8 Frauen die Körpergröße und die Vitalkapazität gemessen. Die Werte sind in Tab. 2.15 angegeben.

Tab. 2.15 Größe und Vitalkapazität von 8 gesunden weiblichen Probanden

• Stellen Sie die Daten grafisch dar.

• Berechnen Sie die Korrelation zwischen Größe und Vitalkapazität und testen Sie auf dem 5 %-Niveau, ob die beiden Variablen korreliert sind.

• Berechnen Sie einen funktionalen Zusammenhang zwischen Vitalkapazität und Größe.

• Welche Vitalkapazität ist bei einer Frau von 170 cm Größe zu erwarten?

2.7

Ereigniszeitdaten

Im Datensatz der German Breast Cancer Study Group (GBSG) betrachten wir die Teilmenge der über 65-jährigen Brustkrebspatientinnen. Die Daten stehen in Tab. 2.16.

• Stellen Sie die Daten grafisch dar.

• Testen Sie, ob es einen Unterschied in der Zeit bis Rezidiv gibt für Brustkrebspatientinnen, die Hormontherapie erhalten haben (HT), und Patientinnen, die keine Hormontherapie erhalten haben (kHT).

Tab. 2.16 Therapiearm, Zeit bis Rezidiv ($t$) und Zensierungsindikator $\delta$ der über 65-jährigen Patientinnen der GBSG