Zusammenfassung
Im Großen und Ganzen möchte ich mich in diesem Buch auf Veröffentlichungen und ähnliches konzentrieren, die die historische Entwicklung wirklich beeinflusst haben, die also publiziert und zur Kenntnis genommen wurden.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Notes
- 1.
Schlegel 1886, 133.
- 2.
Eine andere denkbare Ausnahme könnte man für H. Grassmanns „Lineale Ausdehnungslehre“ machen.
- 3.
Ich folge hier den Angaben von J. J. Burckhardt in Schläfli 1950, 388–390. Schläfli war zu dieser Zeit Privatdozent an der Universität in Bern, nachdem er zuvor mehr als zehn Jahre als Lehrer in Thun gearbeitet und P. G. Lejeune-Dirichlet, K. W. Borchardt und J. Steiner als Dolmetscher nach Italien begleitet hatte.
- 4.
Vgl den Briefwechsel von Schläfli und Steiner (Graf 1897).
- 5.
Schläfli 1950, 175.
- 6.
Schläfli 1950, 171.
- 7.
Vgl. Kapitel 3.
- 8.
Es ist kaum vorstellbar, dass Schläfli seine Resultate ohne entsprechende anschauliche Einsichten gewonnen haben könnte.
- 9.
Schläfli 1867, 183.
- 10.
Schläfli 1950, 175. Interessant ist hier ein Vergleich mit Jordans Vorwort zu seiner Arbeit 1875; vgl. hierzu Kapitel 3.
- 11.
Die heute übliche Bezeichnung „Polytope“ („Vielräume“ nach Brückner 1892, 32) wurde erst um 1880 herum von R. Hoppe vorgeschlagen; vgl. Volkert 2016b, 168.
- 12.
Schläfli 1950, 189.
- 13.
Vgl. Schläfli 1950, 190.
- 14.
Schläfli 1950, 212.
- 15.
Die Zahl n gibt auch die Anzahl der Kanten an, die in einer (und wegen der Regularität damit in jeder) Ecke des Polyeders zusammentreffen.
- 16.
Der Nenner wird gewählt, um anzudeuten, dass der Fünfstern seinen Mittelpunkt zweimal umrundet. \(\frac{5}{3}\) und \(\frac{5}{2}\) unterschieden sich nur, wenn man die Orientierung berücksichtigt; sie sind achsensymmetrisch.
- 17.
Es gibt vier reguläre Sternpolyeder. Zwei dieser vier regulären Sternpolyedern haben Sternpolygone als Flächen.
- 18.
Vgl. Legendre 1817, 228 -229. Schläfli selbst hat im dritten Teil seiner Abhandlung Legendres Vorgehensweise auf höherdimensionale Polytope erweitert.
- 19.
Schläfli 1950, 213. Übrigens vermeidet Schläfli die Ausdrucksweise „vierdimensionaler Raum“ konsequent.
- 20.
Schläfli spricht von „Basis“ (Schläfli 1950, 214).
- 21.
Bei regulären Polyedern sind die Eckenfiguren regelmäßige Polygone. Da es hiervon unendlich viele gibt, ist in diesem Falle die Eckenfigur wenig nützlich.
- 22.
Schläfli 1950, 213.
- 23.
Vgl. Schläfli 1950, 213–215. Die Bedingung ergibt sich aus einer genaueren Analyse des Zusammenspiels von Eckenfigur und zugehöriger Ecke des Polytops; eine ähnliche Idee werden wir weiter unten im Zusammenhang mit Stringhams Lösung des Problems genauer kennenlernen. Eine moderne Darstellung findet sich bei Coxeter 1973, 133–136.
- 24.
Schläfli spricht von „reziprok“ .
- 25.
Diese Dualität erinnert vage an die Dualität , die man aus der räumlichen projektiven Geometrie kennt: Dort werden Punkte mit Ebenen getauscht und Geraden bleiben Geraden. Im Vierdimensionalen hingegen entsprechen Ecken Zellen und Kanten Flächen. Schläfli kommentiert dies allerdings nicht.
- 26.
Schläfli 1950, 222.
- 27.
Die Bezeichnung scheint auf H. Hinton zurückzugehen, der allerdings ursprünglich von „tessaract“ sprach. Die Ethymologie des Begriffs ist nicht ganz klar, man kann an „tesserae“ – eine Bezeichnung für antike Spielwürfel – denken. Im Französischen sprach man auch von „bicarré“; im Englischen von „double-square“.
- 28.
Schläfli 1950, 222.
- 29.
Vgl. Schläfli 1950, 215. Eine andere Art des Dualisierens stellt Schläfli im Rahmen der sphärischen Geometrie im vierdimensionalen Raum im dritten Teil seiner Abhandlung vor; vgl. Schläflis 1950, 281. In der frühen Phase der Untersuchung der Dualität war neben Dualität und Reziprozität auch von Konjugation oder von Polarität die Rede. Diese verschiedenen Bezeichnungen spielen auf den jeweiligen Kontext an, in dem man Dualität betrachtete, und sind folglich nicht immer austauschbar (z. B. gibt es polar-reziproke Polyeder, die nicht dual sind).
- 30.
Dies entspricht dem üblichen Dualisieren von regulären Polyedern durch Verbinden von Flächenmittelpunkten. Zudem war von den regulären Polyedern her bekannt, dass man diese durch Konjugation an ihrer Um- oder Inkugel dualisieren kann: Hierbei legt man durch die Eckpunkte des zu dualisierenden Körpers die Tangentialebenen an die Umkugel (bzw. nimmt man die Berührpunkte mit der Inkugel als Ecken). Dies lässt sich aufs Vierdimensionale analog übertragen – allerdings verfolgt Schläfli diesen Gedanken nicht. Vgl. auch 4.4.
- 31.
Auch hier verwendet Schläfli die analytische Sprache : Die fraglichen Mittelpunkte sind „Grenzlösungen eines neuen Polyschems (p, n, m).“ (Schläfli 1950, 215).
- 32.
Vgl. Schläfli 1950, 216–220.
- 33.
Schläfli betrachtet noch drei andere überschlagene reguläre Polytope (nämlich \((\frac{5}{2},3,3)\) [Schläfli 1950, 222], \((5,3,\frac{5}{2})\) [Schläfli 1950, 297] und \((\frac{5}{2},3,5)\) [ibid.] ; insgesamt gibt es 10 reguläre nicht-konvexe Sternpolytope (vgl. Coxeter 1973, chapter XIV), wie Hess 1885 bewiesen hat.
- 34.
Vgl. Schläfli 1950, 221.
- 35.
Schläfli 1950, 222.
- 36.
Diese dualen Körper sind vor allem durch Flächentransitivität charakterisiert.
- 37.
Gelegentlich wird das Rhombendodekaeder auch Granatoeder genannt und folglich das 24-zell Hypergranatoeder ; vgl. Jacomo 2002, 50–54.
- 38.
Schläfli 1950, 281.
- 39.
Schläfli 1950, 284–285.
- 40.
Vgl. Graf 1897, 76–90.
- 41.
Graf 1897, 80–87.
- 42.
Graf 1897, 77.
- 43.
Schläfli 1858; als Übersetzer nennt Sommerville A. Cayley (allerdings mit Fragezeichen) – vgl. Sommerville 1970, 35. Interessanter Weise erwähnt V. Schlegel in seinem historischen Bericht (Schlegel 1886) Schläfli, allerdings nur im Zusammenhang des Eulerschen Satzes und der Bewegung eines starren Körpers um einen Punkt; vgl. Schlegel 1886, 95.
- 44.
Vgl. Schläfli 1953, S. 258–259.
- 45.
Auch W. I. Stringham , auf den wir bald zu sprechen kommen, war ein Doktorand von Sylvester. Dessen Rolle in der Ausbreitung der vierdimensionalen Geometrie ist bemerkenswert.
- 46.
Halsted 1878, 271.
- 47.
Bekanntlich geht dieser Begriff auf Gauß zurück, der ihn wählte, um stark konnotierte Begriffe wie imaginäre, Astral- oder Metageometrie zu vermeiden (aus der gleichen Geisteshaltung heraus hatte er schon vorgeschlagen, von komplexen Zahlen anstelle von unmöglichen Zahlen zu sprechen). Was genau darunter zu verstehen ist, kristallisierte sich erst allmählich im letzten Drittel des 19. Jhs. heraus; eine wirklich exakte Antwort ermöglichte dann die voll entwickelte Axiomatik der Geometrie – paradigmatisch vertreten durch Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ (1899) – vgl. Volkert 2015. Für unsere Zwecke hier genügt es meist, an die hyperbolische Geometrie zu denken.
- 48.
Vgl. Kapitel 1.
- 49.
Die Sphäre hat konstante aber positive Krümmung - deshalb wohl die Bezeichnung Pseudosphäre. Es gibt bei E. Beltrami allerdings verschiedene Pseudosphären, die einfachste hierunter ist die von der Schleppkurve (Traktrix) durch Rotation erzeugte Fläche. Genaueres findet sich in Volkert 2015, Kapitel 3.
- 50.
Im Falle der durch Rotation der Traktrix erzeugten Pseudosphäre bilden die Singularitäten die scharfe Kante der Fläche.
- 51.
Vgl. Hilbert 1901. Dies scheint neben der Arbeit von G. Darboux eines der ersten Ergebnisse zu Einbettbarkeitsfragen überhaupt gewesen zu sein.
- 52.
Beltrami 1869, 279–280.
- 53.
Vgl. Volkert 2010, 60–61.
- 54.
Beltrami 1869b, 372.
- 55.
Vgl. hierzu die Note am Ende des 3. Kapitels.
- 56.
Man vgl. den Titel „Elementary theorems relating to the geometry of a space of three dimensions and of uniform positive curvature in the fourth dimension“ von S. Newcomb.
- 57.
Brückner 1892, 9. In einer Fußnote hierzu bemerkt Brückner: „Dies würde auch für einen gekrümmten Weltraum gelten […].
- 58.
Vgl. Volkert 2010, 298.
- 59.
Im Buch selbst umfasst dieses die Seiten LXXIII – XCVI. Voran geht eine sehr lange Einleitung.
- 60.
Ein anderes Paradoxon, das Zöllner zugunsten seiner Vorschläge später anführt, ist das Olbers’sche (vgl. Zöllner 1872, 309–312.
- 61.
Vgl. Zöllner 1872, 307–308. Zöllner hatte auch die wichtigsten Schriften zur nichteuklidschen Geometrie rezipiert, vgl. Zöllner 1872, 306–307.
- 62.
Zöllner 1872, 305. Ähnliche, auf Sinnesphysiologie begründete Auffassungen von der Natur des Raumes spielten um 1900 herum eine wichtige Rolle, z. B. bei H. Poincaré und F. Enriques . Zu Zöllners Zeiten war H. Helmholtz ein wichtiger Vertreter (von Zöllner allerdings als Repräsentant des Berliner Establishments wenig geliebter [vgl. Kap. 5]) der physiologischen Richtung.
- 63.
Zöllner 1872, 306.
- 64.
Zöllner 1872, 309. Es geht dabei darum, dass der Himmel auch nachts taghell sein müsste.
- 65.
Schwarzschild 1900. Schwarzschild zieht auch sogenannten Klein-Cliffordschen Raumformen hinzu; vgl. Volkert 2016c für eine Geschichte der Raumformen. Erwähnt sei noch, dass William Kingdon Clifford (1845–1879) 1870 in einem Vortag in Cambrigde (gedruckt 1876) Materie und Raumkrümmung in spekulativer Weise miteinander verknüpft hatte, weshalb man auch ihn in die Vorgeschichte der allgemeinen Relativitätstheorie einordnen kann. Clifford hatte u. a. Riemanns Habilitationsvortrag ins Englische übersetzt, war also mit dessen Ideen wohlvertraut. Ernst Mach (1838 - 1916) soll über eine Erklärung der Elektrizität vermöge der vierten Dimension nachgedacht haben (vgl. Kern 1983, 134). Erwähnt sei noch, dass Überlegungen zur Krümmung des Weltraumes auch schon unter Bezug auf Zöllner in dem Schulprogramm Most 1883, S. 44–46, angestellt wurden.
- 66.
Schlegel 1886, 149. In Schlegel 1883, 441 heißt es für den Fall positiver Krümmung „[…](was als physikalische Hypothese in neuerer Zeit namentlich durch Zöllner zu einer geläufigen Vorstellung erhoben worden ist).“ Vgl. auch Brückner 1892, 9.
- 67.
Wie auch ihr Ergebnis - könnte man hinzufügen.
- 68.
In 4.4 werden wir sehen, dass jedoch gegen Ende der 1880er Jahre ein Zugang zum Problem gefunden wurde, der einen ausgeprägten theoretischen Hintergrund hatte, nämlich die Untersuchung von Gruppen.
- 69.
Eine wichtige Möglichkeit für wissenschaftlichen Austausch im deutschsprachigen Raum boten daneben die sogenannten Schulprogramme, genauer, die wissenschaftlichen Beilagen zu Schulprogrammen. Das waren Abhandlungen, in denen in der Regel Gymnasiallehrer fachliche Themen (aus allen möglichen Wissensgebieten, darunter natürlich auch Mathematik) behandelten. Auch die nichteuklidische Geometrie und die höherdimensionalen Räume fanden hier Beachtung. Zudem boten manche „Naturforschenden Gesellschaften“ (der Name konnte variieren) in ihren Verhandlungen und dergleichen ihren Mitgliedern Publikationsmöglichkeiten. Beispiele für diese von der Historiographie wenig beachteten Publikationen werden wir weiter unten kennenlernen.
- 70.
Gelegentlich wurden Briefe in einer Fachzeitschrift abgedruckt. Im 19. Jh. kam daneben der Brauch auf, gesammelte Werke von wichtigen Mathematikern zu veröffentlichen. Darin konnten auch Briefe enthalten sein. Besonders wichtige Briefwechsel, wie etwa der von Gauß, wurden sogar separat gedruckt. Gerade das Bekanntwerden von Gaußens Ansichten zur nichteuklidischen Geometrie hauptsächlich durch seinen Briefwechsel mit Schumacher hatte erheblichen Einfluss.
- 71.
In Großbritannien war dies die bereits erwähnte British Association for the Advancement of Science (BAAS), in Frankreich die Association française pour l’avancement des sciences (AFAS), im deutschsprachigen Raum die Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte (GdNÄ).
- 72.
Vgl. Tobies/Volkert 1998.
- 73.
Vgl. Hess 1885, 31–32. Ähnlich auch Schlegel 1886 und Brückner 1892.
- 74.
Puchta und Durège waren, korrekt gesagt, in Prag tätig, aber in überwiegend deutschsprachigen Institutionen; Biermann war Professor am Polytechnikum in Brünn (Brno). Die Abhandlung von Rudel war ein Schulprogramm (Industrie-Schule Kaiserslautern).
- 75.
Vgl. beispielsweise Brückner: „Stringham gab 1880 die erste vollständige Behandlung des Problemes der regulären n-dimensionalen Gebilde, […].“ (Brückner 1892, 30)
- 76.
Vgl. Cooke/Rickey 1989, 40–41. Der Artikel Stringhams führte zu einem Zerwürfnis zwischen Sylvester und dem Redakteur seiner Zeitschrift, W. E. Story . Dieser musste infolgedessen die Zeitschrift verlassen und später auch die John Hopkins Universität. Er wechselte an die Clark University in Worcester, wo er die wohl erste Vorlesung über vierdimensionale Geometrie der Geschichte hielt (vgl. Robbin 2006, 13–16 sowie Cooke/Rickey 1989). Bekannt geblieben ist Story als Förderer des Werkes von Omar Chajjam (Omar der Zeltmacher). Story war ein älterer Freund von Stringham, der ihn förderte. Ihm wird am Ende der Publikation Stringham 1880 gedankt.
- 77.
Vgl. http://page.mi.fu-berlin.de/moritz/klein/. Stringham hielt noch zwei weitere Vorträge bei Klein: „Ueber diejenigen Gruppen von Bewegungen der dreifach ausgedehnten Kugel in sich, welche die ihr einbeschriebenen regulären Körper zur Selbstdeckung bringen“ (28.2.1881) und „Ueber eine µ − µ-deutige Zuordnung einer Gruppe auf sich selbst“ (23.5.1881). Im erstgenannten Vortrag ermittelt Stringham Symmetriegruppen von regulären Polytopen.
- 78.
Die Arbeit Stringham 1881 ist datiert „Schwarzbach, Saxony, September, 1881.“ Während Stringham 1880 als „Fellow of the John Hopkins University“ bezeichnet wird, heißt es 1881 „Professor of Mathematics in the University of Berkeley“. Da Stringham dies erst 1882 wurde, ist klar, dass auch diese Arbeit wesentlich später als die Bandzählung angibt, gedruckt wurde.
- 79.
Wir beschränken uns auf den vierdimensionalen Fall.
- 80.
Hier ist eine interessante Variante die Frage, in welchem Sinne „es gibt“ verwendet wird – nämlich abstrakt oder im Sinne von konstruierbar mit Zirkel und Lineal (oder eventuell auch anderen Instrumenten).
- 81.
Vgl. oben das zu Schläfli Gesagte.
- 82.
Stringham formuliert dieses n-dimensional; diese Verallgemeinerung hierauf ist aber offensichtlich. Der besseren Verständlichkeit halber beschränken wir uns hier auf vier Dimensionen.
- 83.
Links und in der Mitte ist die Eckenfigur jeweils ein Tetraeder, rechts ein Oktaeder. Die Ecken heißen bei Stringham tetraedral bzw. oktaedral. Sie gehören respektive zum Hypersimplex , zum Hyperwürfel und zum Hyperoktaeder.
- 84.
Die Eckenfigur ist hier ein Würfel. Die Ecke heißt bei Stringham hexaedral.
- 85.
Analoge Phänomene treten auch bei der Suche nach Platonischen Körpern auf: hier erhält man Parkettierungen der Ebene als Grenzfälle (nämlich durch sechs gleichseitige Dreiecke, drei regelmäßige Sechsecke und vier Quadrate jeweils als Zellen).
- 86.
Vgl. Stringham 1880, 7.
- 87.
Vgl. Jouffret 1903, 107.
- 88.
Vgl. Stringham 1880, 8.
- 89.
Vergleicht man diese Situation mit derjenigen von acht Würfeln, so wird sie anschaulich eigentlich ziemlich klar. Die acht Würfel treffen sich genau in einer Ecke und ihre Winkel füllen den Raum um diese komplett aus, die Doekaederecken hingegen erreichen die Ecke nicht ganz.
- 90.
Das Ergebnis ist ein Schlegel-Diagramm , vgl. Abschnitt 4.7.
- 91.
Modern: Dualität.
- 92.
Die Bezeichnung ergibt sich also einfach aus der Anzahl von Zellen. Ich verwende Hypertetraeder für das reguläre Polytop, im allgemeineren Fall (fünf Eckpunkte im vierdimensionalen Raum, die aber nicht mehr gleich weit voneinander entfernt sind), spreche ich von Hypersimplex (in der Topologie ist heute die Bezeichnung 4-simplex geläufig).
- 93.
Vgl. Stringham 1880, 3.
- 94.
Vgl. Stringham 1880, 5.
- 95.
Man kann sich beispielsweise vorstellen, dass der Würfel links in der Figur mit den Ecken q, s, g, e, l, n, c, a in den rechten Würfel (Ecken t, h, f, r, p, d, b, m) verschoben wurde. Jedes Quadrat des Ausgangswürfels überstreicht einen Würfel; vier von diesen Würfeln sind als Parallelflache, die sich partiell überschneiden, in der Zeichnung zu sehen.
- 96.
Alternativ kann man auch die vier Achsen eines orthogonalen Koordinatensystems im vierdimensionalen Raum nehmen. Dann gibt es auf diesen genau acht Punkte, die vom Ursprung einen bestimmten Abstand – z. B. 1 – haben.
- 97.
Neben den sechs Punkten, die das Sechseck bilden, sind auch noch die Punkte d und \(d'\) Ecken des Polytops.
- 98.
Von den anfangs vorhandenen 48 Dreiecksflächen sind 24 durch Identifikation verschwunden.
- 99.
Dieses Polyeder wird heute meist als Sterndodekaeder oder als Dodekaederstern bezeichnet.
- 100.
So überschreibt M. Kline in seinem bekannten Buch zur Mathematikgeschichte ein Kapitel zum 19. Jh. mit „The Installation of Rigor“. Allerdings betraf diese Bewegung in erster die Analysis.
- 101.
Stringham 1880, 14.
- 102.
Übersetzung von N. Benstein (Wuppertal). Die Zeilen stammen aus dem Gedicht „Hendecasyllabics“ von Frederick Tennyson.
- 103.
Brückner 1892, 57.
- 104.
Die letztere Abschätzung beruht auf der allgemeinen Tatsache, dass nicht in jeder Kante eines Polytops mehr als 6 Polyeder zusammentreffen können. Das zeigt man, indem man die Flächenwinkel betrachtet, die in einer Kante zusammenkommen. Deren Summe darf höchstens 360° betragen. Für reguläre Polytope lässt sich diese Abschätzung wie angegeben verschärfen.
- 105.
Einfach zu erkennen ist, dass die zweite Spalte beim Hexaeder die Raumteilung durch Würfel liefert, die auch Stringham als nicht zulässigen Fall aussondert.
- 106.
Vgl. weiter unten das zu Rudel Gesagte.
- 107.
Im Stile seiner Zeit formuliert Puchta: „Ein allgemeiner Satz aus der Theorie der Substitutionen , welcher sich aus dem Vorgehenden leicht ergibt“ (Puchta 1884, 834) Dies scheint die früheste Stelle zu sein, an der Zusammenhänge zwischen der höherdimensionalen Geometrie und der Gruppentheorie hergestellt werden. Vgl. Abschnitt 4.5.
- 108.
Puchta 1884, 806–807.
- 109.
Vgl. Hashagen 2003, insbesondere S. 70 zu Dycks Besuch (1882) in Prag.
- 110.
Ein bekannteres Beispiel für diese Entwicklungslinie ist Otto Wilhelm Fiedler (1832–1912).
- 111.
Quelle: Centralregister zu den Bänden 1–50 der Zeitschrift für Mathematik und Physik (1905), S. 285.
- 112.
Milinowski 1878, 132.
- 113.
Vgl. Rudel 1882, 52.
- 114.
Milinowski 1878, 133.
- 115.
Das soll heißen, dass diese beiden Ebenen nicht in einem Raum liegen. Zu beachten ist, dass Rudel immer projektiv denkt, ohne es ausdrücklich zu sagen.
- 116.
Milinowski 1878, 133. Die Zeitschrift für Mathematik und Physik, nach ihrem Begründer O. Schlömilch auch Schlömilch‘sche Zeitschrift genannt, hatte durchaus einen wissenschaftlichen Anspruch; neben dem Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal) und dem Archiv für Mathematik und Physik (Grunerts Archiv) war sie die dritte deutschsprachige mathematische Fachzeitschrift jener Zeit. Rudel selbst ist ausführlich auf die Widerlegung eingegangen, vgl. Rudel 1882, 50–56.
- 117.
Rudel 1882, 12. Modern spricht man von Simplizes.
- 118.
Vgl. Kap. 5.
- 119.
Rudel 1882, 19.
- 120.
Rudel 1882, 34. „All“ ist – wie bereits erwähnt - Rudels Bezeichnung für den vierdimensionalen Raum, Körper in diesem heißen auch „Allkörper“.
- 121.
Eine Ecke in der drei Kanten enden (Tetraeder, Würfel und Ikosaeder) liefert ein gleichseitiges sphärisches Dreieck, eine vierkantige (Oktaeder) ein S-Quadrat und eine fünfkantige (Dodekaeder) ein regelmäßigen S-Fünfeck. O. B. d. A. kann man annehmen, dass die Sphäre den Radius 1 und damit den Flächeninhalt 720° hat.
- 122.
Im ersten Abschnitt hatte Rudel seinem Leser schon erklärt, dass es im Vierdimensionalen vier neue Gebilden („Größen“) gibt, die zu denen der Raumgeometrie hinzutreten, beispielsweise der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Räumen. Vgl. Rudel 1882, 8 n. *.
- 123.
Vgl. Rudel 1882, 54ff.
- 124.
Die einzige Ausnahme ist ein Verweis auf Durège (Rudel 1882, 9).
- 125.
Vgl. 4.7.
- 126.
Vgl. 4.6.
- 127.
Es liegt natürlich nahe, hier eine Anspielung auf den Zöllner-Skandal zu vermuten; vgl. Kap. 5.
- 128.
Schlegel 1884a, 74.
- 129.
Vgl. Volkert 1986. Einem breiteren Publikum hatte Paul du Bois-Reymond das Monster in seinem Artikel im Journal für reine und angewandte Mathematik 1875 vorgestellt nebst philosophischen Kommentaren.
- 130.
Schlegel 1883b, 77. Vgl. hierzu Abschnitt 4.7.
- 131.
Schlegel 1883b, 78. Eine weitere Einschätzung der Rudelschen Arbeit durch W. Fiedler findet sich in Abschnitt 5.2. Anlass hierfür war die Tatsache, dass F. K. Zöllner sich auf Rudel bezog.
- 132.
In seiner Arbeit „Sur les groupes de mouvement“.
- 133.
Sie entsprechen den Parkettierungen der Ebene.
- 134.
Man kann annehmen, dass man mit der Einheitskugel arbeitet. Folglich geht es um deren Oberfläche.
- 135.
Hess 1885, 32–33.
- 136.
Lies: Hypersphäre.
- 137.
„Groß“ bedeutet, dass der Mittelpunkt mit der Hypersphäre zusammenfällt.
- 138.
Bei gewöhnlichen ebenflächigen Polyedern wäre das ein Flächenwinkel.
- 139.
Folglich kann man diesen Winkel als Längenmaß für die sphärische Strecke nehmen, die der Großkreisbogen darstellt.
- 140.
Der Inhalt (das Volumen, wie Hess sagt) der Hypersphäre mit Radius 1 beträgt 2π2.
- 141.
Dabei werden in den Eckpunkten des Gewebes Tangentialräume (Polare) angelegt bzw. Eckpunkte (Pole) geradlinig verbunden. Vgl. auch Abbildung 3.18.
- 142.
Hess 1885, 40. Das heißt, die Eckpunkte des einen Gewebes sind die Mittelpunkte des anderen, die Kantenmittelpunkte werden dann zu Flächenmittelpunkten.
- 143.
Zu den Bezeichnungen vgl. man Coxeter 1973, 115.
- 144.
Heute übliche Bezeichnungen (von oben nach unten): Dodekaederstern, Ikosaederstern, großes Dodekaeder, großes Ikosaeder.
- 145.
Hess 1885, 52. Coxeter weist darauf hin, dass dieser wichtige Satz bei Hess unbewiesen bleibt und erläutert dessen weitere Geschichte; vgl. Coxeter 1973, 286.
- 146.
Dugac 1989, 85.
- 147.
Nimmt man uneigentliche Deckabbildungen hinzu, so spricht man auch von erweiterter Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppe. Die Ordnung der Gruppe verdoppelt sich dann.
- 148.
Jordan 1868/69, 180. Es geht dabei nur um eigentliche Symmetrien , also um Drehungen. Modern gesprochen bestimmt Jordan die endlichen Untergruppen von SO(3).
- 149.
Es geht um die orthogonalen Matrizen mit Determinante 1.
- 150.
Goursat 1889.
- 151.
So kann Raum bei Goursat den Euklidischen Raum oder die Sphäre meinen. Es gibt allerdings auch andere Stimmen: „Diese ergebnisreiche und leicht lesbare Arbeit […]“ heißt es bei Threlfall /Seifert 1930, 14 n 9.
- 152.
Anstatt SO(4) kann man SU(2) betrachten, eine Möglichkeit, die auch bei Goursat mitschwingt. Auf diese Feinheit gehen wir im Folgenden nicht ein.
- 153.
Genau genommen arbeitet Goursat sogar im projektiven Raum, da er Punkte als gleich betrachtet, wenn sich ihre Koordinaten um einen konstanten Faktor unterscheiden. Anders gesagt sind seine Koordinaten homogen. Ein Vorteil dieses anscheinend umständlicheren Verfahrens ist, dass sich das Problem des Kerns nicht stellt (Schritt zwei oben).
- 154.
Vgl. Goursat 1889, 14. Im Raum genügen höchstens vier; bei Kreisverwandtschaften drei.
- 155.
„substitution orthognale à quatre variables“ (Goursat 1889, 18). Der Begriff „orthogonal“ wird von Goursat nicht definiert.
- 156.
„au fond“ (Goursat 1889, 20).
- 157.
Also Spiegelungen wie etwa an einer Ebene oder an einem Raum. Vgl. Goursat 1889, 20.
- 158.
Goursat geht von H aus, das er in die Faktoren G und G‘ zerlegt; vgl. Goursat 1889, 43.
- 159.
Threlfall/Seifert 1930, 16–17. Vgl. die Formulierung bei Goursat 1889, 48. Für viele Informationen zu diesem Thema danke ich R. Strebel (Felden [CH]).
- 160.
Vgl. Goursat 1889, 55–80.
- 161.
Im allgemeinen Fall muss man an diese Operation Bedingungen in der Art stellen, dass die Operation eigentlich diskontinuierlich erfolgt. Im vorliegenden sphärischen Fall geht es nur um endlichen Gruppen, weshalb solche Bedingungen automatisch erfüllt sind.
- 162.
Anders gesagt: SO(4) enthält eine Untergruppe der Ordnung 192. Vgl. Coxeter 1973, 280–281 für einige Informationen zum allgemeinen Problem. Heute nennt man das von Goursat verwendete Prinzip Wythoff-Konstruktion . Im ebenen Fall (Parkettierung der hyperbolischen Ebene) wurde es schon von Hermann Amandus Schwarz in Schwarz 1873 verwendet, den Goursat auch neben Poincaré erwähnt.
- 163.
Goursat 1889, 93–94.
- 164.
Lies: Polytope.
- 165.
Es handelt sich um Raumteilungen der Hypersphäre (oder des konformen Raums).
- 166.
Denn die Hypersphäre war ja in acht Exemplare dieses Gebildes aufgeteilt worden und sieben davon sind verbraucht.
- 167.
Vgl. Coxeter 1973, 286.
- 168.
Vgl. Oss 1894 und Maschke 1896.
- 169.
Man beachte, dass Schlegel seine Modelle auch im Titel des Vortrags hervorhebt – ohne diese allerdings so zu benennen.
- 170.
Da Schlegel Mitglied der Leopoldina war, stand ihm diese Publikationsmöglichkeit offen. Auch seine große Abhandlung von 1883 wurde von der Leopoldina veröffentlicht.
- 171.
Neben Artikeln zu Grassmanns Lehre schrieb Schlegel auch zwei Lehrbücher über dieselbe: „System der Raumlehre, nach den Prinzipien der Grassmannschen Ausdehnungslehre und als Einleitung in dieselbe dargestellt. Erster Teil: Geometrie“ (Leipzig: Teubner, 1872), „Zweiter Teil: die Elemente der modernen Geometrie und Algebra“ (Leipzig: Teubner, 1875). Eine ausführliche Diskussion von Schlegels Rolle als Promotor der Grassmannschen Ideen findet sich in Rowe 2009.
- 172.
Bzgl. der Publikationen verweist Schlegel als Vorarbeit auf die Bibliographie von Halsted (Halsted 1878 und Halsted 1879).
- 173.
Schlegel 1886, 93. Vgl. auch Kapitel 1 zu den Inhalten dieses Zitats.
- 174.
Schlegel 1886, 93. Der Kantische Apriorismus führte übrigens zu ähnlichen Konsequenzen wie der Empirismus. Hierauf geht Schlegel allerdings nicht ein.
- 175.
Vgl. beispielsweise Volkert 2013.
- 176.
Schlegel 1886, 94.
- 177.
Schlegel 1886, 94.
- 178.
Schlegel 1886, 94.
- 179.
Vgl. Schlegel 1886, 93: „Aber man würde auch schon durch Zulassung dreidimensionaler gekrümmter Räume sich genöthigt gesehen haben, den Schritt ins Vierdimensionale und analog in die höher dimensionierten Gebiete zu tun.“
- 180.
Schlegel 1886, 135.
- 181.
Schlegel 1886, 135. Schlegel bemerkt übrigens, dass Steiner „die Geometrie der Ebene und des Raumes aus den Fesseln der Analysis erlöst“ habe (Schlegel 1886, 95).
- 182.
Vgl. Schlegel 1886, 133–134.
- 183.
Schlegel 1886, 135. In der Anmerkung 68 nennt Schlegel Belegstellen für diese Behauptung. Diese betreffen die Autoren Becker , Gilles, Müller und Jenrich – allesamt Gymnasiallehrer übrigens.
- 184.
Vgl. etwa die Fotografien, die Man Ray von mathematischen Modellen – u. a. aus der Sammlung des Institut Henri Poincaré in Paris – gemacht hat (Werner 2002, zweiter Teil).
- 185.
An der ETH in Zürich finden sich Modelle aus der Polytechnischen Arbeitsanstalt J. Schröder in Darmstadt, die vermutlich von W. Fiedler angeschafft wurden, deren Einsatz im Unterricht recht klar erscheint. Im Nachlass Fiedlers (ETH-Bibliothek Archiv Hs 87) finden sich aufgeklebte Fotos von solchen Modellen, die Fiedler vermutlich unter den Hörern seiner Vorlesungen zirkulieren ließ.
- 186.
Beispiele hierfür: Rodenberg, Friedrich Schilling (Modell Boysche Fläche).
- 187.
Vgl. das Verzeichnis in Tobies/Volkert 1998, 264–265.
- 188.
Rüdenberg/Zassenhaus 1973, 146.
- 189.
Vgl. Kapitel 2.
- 190.
Fiedler 1875, 1. Eine historische Reflektion über die Entwicklung dieser Methoden ist Fiedler 1882.
- 191.
Im weitesten Sinn gebraucht hier – also auch z. B. die Analysis einschließend.
- 192.
Vgl. hierzu Abschnitt 4.4.
- 193.
Stringham verwendet Sprechweisen wie “to close up the interstices”.
- 194.
„[…] laid out in three-dimensional perspective“ (Stringham 1880, 2). Was genau damit gemeint ist, bleibt unklar. Die abgebildeten Objekte lassen ja keine Schlüsse auf Fluchtpunkte zu.
- 195.
Stringham 1880, 11 n. *). Vgl. auch Stringham 1880, 4 n. *) für eine ähnliche Erläuterung.
- 196.
Stringham 1880, 6. Mir scheint, das Wort „Projektion” wird hier in einem recht allgemeinen Sinn verwendet, das heißt nicht in einem wohldefinierten Sinn, wie ihn die darstellende Geometrie lehrt.
- 197.
Vgl. Stringham 1880, 5.
- 198.
In Fiedler 1882, 174 findet sich eine Andeutung, dass Fiedler ebenfalls auf die Schlegelsche Methode gestoßen war.
- 199.
Schlegel 1884, 69. Die Modelle werden schon ganz am Ende der Abhandlung Schlegel 1883 erwähnt, allerdings ist nicht ganz klar, wann dieser Teil der Arbeit geschrieben wurde. Es könnte sich um ein Postscriptum aus dem Jahre 1883 handeln (der Text selbst war ja, wie bereits erwähnt, Ende 1881 schon fertig und eingereicht).
- 200.
Tageblatt VdNÄ 1884. 68.
- 201.
Tageblatt VdNÄ 1884, 68.
- 202.
Polo-Blanco 2007, 7. Man beachte, dass hier noch von Kartonmodellen die Rede ist. Die späteren Modelle bestehen aus Draht nebst Seidenfäden (Teil b der Serie XV „Projections-Modelle“). Die Kartonmodelle wurden von Schilling als Teil B der Serie XV ebenfalls angeboten unter der Überschrift „Ansichten, Netze und Modelle aus Cartonpapier“.
- 203.
Zu sehen sind vier Tetraeder in einem Tetraeder.
- 204.
Zu „sehen“ sind Tetraeder in einem Tetraeder (links) bzw. sieben Würfel in einem Würfel (rechts). Es gibt immer einen Kern, auf den weitere Polyeder auf jeder Seitenfläche aufgesetzt sind. Das äußere Polyeder und der Kern liegen einander entgegen im Polytop.
- 205.
Zu sehen sind 23 Oktaeder in einem Oktaeder.
- 206.
Vgl. Schlegel 1891 und Schlegel 1893. Auch in Schlegel 1887 spielen die Modelle eine Rolle (Modell einer Hyperpyramide).
- 207.
Auf den Seiten 32–34.
- 208.
Schlegel 1883, 431. P gibt an, wie viele Polyeder in einer Ecke zusammentreffen, N ist die Anzahl der Kanten der Polygone, welche das Polyeder begrenzen.
- 209.
Auch Cayley-Graphen genannt. Vgl. auch Maschke 1896 für eine frühe Verwendung derselben im Kontext von regulären Polytopen .
- 210.
Schlegel 1883, 451. Ähnliche Fragen wie Schlegel behandelten Cesaro 1887 und Hall 1893. Ansonsten vgl. man auch 5.1.
- 211.
Vgl. Abschnitt 6.3. Da die wichtigste Quelle ihrer Kenntnisse der vierdimensionalen Geometrie für J. Metzinger und die Kubisten neben den mündlichen Erörterungen von M. Princet das Buch von Jouffret (vgl. Abschnitt 6.1) war, ist anzunehmen, dass dessen Erwähnung (z. B. S. 106) von Schlegel sich hier bei Metzinger wiederspiegelt. Vermutlich konnte man auch die Schlegel-Schillingschen Modelle in Paris sehen. Schlegel war auch der einzige unter den Pionieren der vierdimensionalen Geometrie, der in Französisch veröffentlichte (vgl. Schlegel 1882, 1891 und 1900).
- 212.
Vgl. Robbin 2006 passim. Die Methode des Projizierens spielt eine wichtige Rolle in den Diskussionen um die vierte Dimension im Kontext des Zöllner-Skandals, vgl. Kapitel 5.
- 213.
Vgl. Robbin 2006, 14–18.
- 214.
Der letzte Abschnitt derselben ist einem allgemeinen Satz der Theorie der Substitutionen (also der Gruppentheorie) gewidmet. Vgl. Puchta 1884, 834.
- 215.
Puchta 1884, 832.
- 216.
Die entsprechende Abbildung bei Puchta lässt sich leider aus technischen Gründen nicht reproduzieren. Sie ist aber fast identisch mit der bei Brückner.
- 217.
Puchta 1884, 833.
- 218.
Klein 1926, 169–170.
- 219.
Zöllner 1878, 276. Klein war von 1875 bis 1880 Professor am Polytechnikum in München.
- 220.
Vgl. die kritische Diskussion in Epple 1999, 165–166.
- 221.
Tait 1879, 190. Es geht aus dem Text von Tait nicht hervor, wann er den Brief mit der entsprechenden Mitteilung von Klein bekommen hat. Tait verweist im Übrigen auf Kleins Publikation in den Mathematischen Annalen.
- 222.
Mathematisch ist ein Knoten so zu denken, dass die Schnur einen geschlossenen Kreis bildet. Bei Knotenexperimenten à la Slade (siehe Kapitel 5) werden die beiden Enden der Schnur durch Siegellack fixiert, so dass die übliche Methode der Auflösung nicht funktioniert.
- 223.
Folglich könnte man die Knotenexperimente auch dadurch „erklären“, dass man diese Undurchdringlichkeit außer Kraft setzt.
- 224.
Durège 1880, 175–176.
- 225.
Durège 1880, 176, gemeint ist Hoppe 1879.
- 226.
Hierzu gibt es ein bekanntes antikes Vorbild.
- 227.
Vgl. Durège 1880b, 145–146.
- 228.
Zu Simony und seiner experimentellen Knotentheorie vgl. man Epple 1999, 177 – 180. Ein typisches merkwürdiges Problem ist die Tatsache, dass ein Möbius -Band nach Zerschneiden längs der Mittellinie in zwei ineinander verschlungen Teile zerfällt. Epple vermutet übrigens durchaus plausibel einen Zusammenhang mit den Aufführungen Slades in Wien (vgl. Kapitel 5).
- 229.
Einen Vorläufer, der aber sehr unvollständig und in vielerlei Hinsicht unvollkommen war, stellt K. Rudels Broschüre „Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie“ (1877) dar, die bereits erwähnt wurde. In ihr versuchte der Verfasser, eine vierdimensionale projektive Geometrie im Stile Steiners und von Staudts aufzubauen.
- 230.
Die Behauptung in Max Stecks Biographie von Brückner in der Neuen Deutschen Biographie, Brückner hätte über die vierdimensionale Geometrie promoviert, ist falsch. Ich danke Frau Letzel (Leipzig) für ihre großzügige Hilfe in dieser Angelegenheit.
- 231.
Mündliche Mitteilung von D. Puppe, der bei diesem Umzug als Assistent mithalf. Die sonstigen Angaben zu Brückner gehen auf den bereits erwähnten Artikel von Steck über Brückner in der Neuen Deutschen Biographie zurück. Max Steck hat in den 1930er-Jahren in Heidelberg Mathematik studiert und bei Heinrich Liebmann promoviert, dürfte also die Brücknersche Modellsammlung gekannt haben. Für die Informationen zu Brückners Ehrenbürgerschaft danke ich dem Universitätsarchiv Heidelberg.
- 232.
Brückner 1892, 1. Auf S. 56 Note 102 weist Brückner nochmals auf Modelle hin, die auch „in sehr instruktiver Weise von Schlegel als Drahtnetze der Kanten hergestellt worden“ sind. Siehe Katalog Schilling S. 87.
- 233.
Brückner 1892, 2. Er weist aber auch darauf hin, dass aus der partiellen Anschaulichkeit der vierdimensionalen Geometrie sich falsche Schlüsse ergeben können.
- 234.
Vgl. Abschnitt 4.2.
- 235.
Brückner 1892, 10.
- 236.
Brückner 1892, 11.
- 237.
Brückner 1892, 11. Siehe hierzu Abschnitt 5.3.
- 238.
Brückner 1892, 12–13.
- 239.
Zum Entwicklungsstand der Axiomatik um 1900 herum vgl. man Volkert 2015. Das erste Axiom ist ein Zerlegungsaxiom; vgl. hierzu Kapitel 1.
- 240.
In einer Fußnote erklärt Brückner, dass diese Ebene auch die - modern gesprochen - Fernebene sein kann. Seine Sichtweise ist also im Prinzip projektiv – besser gesagt, gemischt-projektiv, denn der Euklidische Raum wird immer als ein ausgezeichneter Teil des projektiven mitgedacht. Weitere Informationen zu diesem Thema gibt Brückner auf Seite 17 seiner Abhandlung.
- 241.
Es geht hier also um sich kreuzende Ebenen.
- 242.
Zwei Gerade, die parallel sind, haben dieselbe Richtung. Eine Richtung ist also ein Parallelenbüschel. Zwei Ebenen, die parallel sind, haben dieselbe Stellung. Eine Stellung ist also durch zwei Richtungen festgelegt: klassisches Vokabular der projektiven Geometrie.
- 243.
Brückner 1892, 20.
- 244.
Da analytische Geometrie in jener Zeit nicht am Gymnasium gelehrt wurde, konnte Brückner hier nur geringe bis gar keine Vorkenntnisse seitens seiner Hörer voraussetzen.
- 245.
Brückner 1892, 29. Voraussetzungen bzgl. der Polytope macht Brückner nicht. Allerdings ist aufgrund seiner Vorgehensweise klar, dass der Beweis nur für solche Polytope gelten kann, bei denen die Überführung in ein Schlegel-Diagramm möglich ist. Hierzu genügt Konvexität.
- 246.
In der vierdimensionalen Geometrie ist die Polare eines Punktes ein Raum. Liegt der fragliche Punkt auf der Hypersphäre, so ist der zugehörige Raum der Tangentialraum an diese Hypersphäre in diesem Punkt.
- 247.
Vgl. Abschnitt 6.1.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2018 Springer-Verlag GmbH Deutschland
About this chapter
Cite this chapter
Volkert, K. (2018). In der neuen Welt. In: In höheren Räumen. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54795-3_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54795-3_3
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-54794-6
Online ISBN: 978-3-662-54795-3
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)