Die Sätze von Sylow

Zusammenfassung

Die Sylow’schen Sätzen enthalten Aussagen über die Existenz und Anzahl von p-Untergruppen einer endlichen Gruppe. Diese Sätze sind Grundstein für die gesamte Strukturtheorie endlicher Gruppen.

Für zyklische Gruppen und Gruppen der Ordnung p ², wobei p eine Primzahl ist, haben wir bereits eine genaue Übersicht über sämtliche Untergruppen gegeben. Man kann nicht erwarten, dass ähnlich scharfe Aussagen für beliebige endliche Gruppen gelten. Nach dem Satz von Lagrange wissen wir zwar, dass die Ordnung einer Untergruppe ein Teiler der Gruppenordnung ist, jedoch wissen wir im Allgemeinen nicht, ob auch zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe dieser Ordnung existiert. Es gibt Beispiele von Gruppen, in denen solche Untergruppen nicht existieren.