Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale

Zusammenfassung

Unter einer algebraischen Gleichung versteht man eine Gleichung der Form $P(X)=0$ mit einem Polynom P über einem Körper K. Die Lösungen dieser Gleichung sind nichts anderes als die Wurzeln des Polynoms P. Die Wurzeln von $X^{2}+p\,X+q\in{\mathbb{R}}[X]$ in ${\mathbb{C}}$ haben bekanntlich die Form $-\frac{p}{2}\pm\sqrt{d}$ mit $d:=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q$. Dabei bezeichnet $\sqrt{d}$ ein Element aus ${\mathbb{C}}$ mit $(\sqrt{d})^{2}=d$. Wie Tartaglia und del Ferro im 16. Jahrhundert zeigten, haben die Wurzeln von $X^{3}+p\,X+q\in{\mathbb{R}}[X]$ in ${\mathbb{C}}$ die Form

$$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}$$

bei geeigneter Interpretation der auftretenden Kubikwurzeln. Bei diesem Auflösen des Polynoms P entstehen durch das sukzessive Ziehen der Wurzeln Radikalererweiterungen. Wir untersuchen im vorliegenden Kapitel das Zusammenspiel eines auflösbaren Polynoms P mit der Galoisgruppe des Polynoms P. Der wesentliche Zusammenhang ist dabei: Auflösbare Polynome haben auflösbare Galoisgruppen.

Wir untersuchen vorab zyklische Erweiterungen, das sind Galoiserweiterungen mit zyklischer Galoisgruppe. Etwas ungenau ausgedrückt, sind die zyklischen Erweiterungen genau diejenigen Erweiterungen L ∕ K, bei denen L Zerfällungskörper eines sogenannten reinen Polynoms, d. h. eines Polynoms der speziellen Bauart $X^{n}-a\in K[X]$, ist.