Kreisteilungskörper

Zusammenfassung

Aus der Analysis ist bekannt, dass die n-ten (komplexen) Einheitswurzeln, das sind die Lösungen der Gleichung $X^{n}-1=0$ in ${\mathbb{C}}$, die Ecken eines regulären n-Ecks in ${\mathbb{C}}$ bilden; es sind dies die n verschiedenen komplexen Zahlen $1,\,\operatorname{e}^{\frac{2\pi\operatorname{i}}{n}},\,\operatorname{e}^{\frac{4\pi\operatorname{i}}{n}},\ldots,\,\operatorname{e}^{\frac{2(n-1)\pi\operatorname{i}}{n}}$.

Diesem Umstand haben die Kreisteilungskörper ihren Namen zu verdanken: Ein Körper K _n heißt Kreisteilungskörper, wenn er Zerfällungskörper des Polynoms $X^{n}-1\in K[X]$ ist – ein Kreisteilungskörper ist also ein kleinster Erweiterungskörper, über dem das Polynom $X^{n}-1$ zerfällt. Das wesentliche Ergebnis ist einfach zu formulieren: Wenn die Charakteristik von K kein Teiler von n ist, so ist die Körpererweiterung $K_{n}/K$ galoissch, und die Galoisgruppe ist zu einer Untergruppe von ${\mathbb{Z}}_{n}^{\times}$ isomorph.

Als eine wesentliche Anwendung der erzielten Ergebnisse zeigen wir, welche regulären n-Ecke mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können und führen die Konstruktion für das 17-Eck explizit durch.