Polynomringe

Zusammenfassung

Reelle Polynome werden in der linearen Algebra oft ungenau als formale Ausdrücke

$$a_{0}+a_{1}\,X+\cdots+a_{n}\,X^{n}$$

mit Koeffizienten $a_{0},\ldots,\,a_{n}\in{\mathbb{R}}$ in einer Unbestimmten X erklärt. Addition und Multiplikation solcher reeller Polynome erfolgen dabei nach den Regeln

$$\sum_{i=0}^{n}a_{i}\,X^{i}+\sum_{j=0}^{m}b_{j}\,X^{j} =\sum_{i=0}^{\max\{n,m\}}(a_{i}+b_{i})\,X^{i}\quad\text{und }$$

$$\sum_{i=0}^{n}a_{i}\,X^{i}\cdot\sum_{j=0}^{m}b_{j}\,X^{j} =\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{i+j=k}(a_{i}\,b_{j})\,X^{k}\,,$$

wobei $a_{i}=0$ für i > n bzw. $b_{j}=0$ für j > m gesetzt wird. Eines unserer Ziele in diesem Kapitel ist es, eine einwandfreie Definition von Polynomen zu geben. Dabei wollen wir uns nicht auf nur eine Unbestimmte X beschränken, sondern auch Polynome in den Unbestimmten $X_{1},\ldots,\,X_{n}$ einführen.