Zusammenfassung
Dass das Licht sich nicht unbedingt nach den Regeln der geometrischen Optik geradlinig ausbreitet, wurde schon am Anfang von Kap. 6 bei der Lochkamera erwähnt. Wir wollen nun dieses Phänomen systematisch und quantitativ untersuchen. Im ersten Abschnitt wird diskutiert, wie die Beugung überhaupt zustande kommt, und worin der Unterschied zwischen der Nahfeld-(Fresnel-)Beugung und der Fernfeld-(Fraunhofer-)Beugung besteht. Im folgenden Abschnitt wird an einigen Beispielen die Fraunhofer-Beugung berechnet; dabei wird auch das Beugungsgitter, ein wichtiges optisches Bauelement, ausführlich diskutiert. Bei der Fresnelschen Beugung (Abschn. 8.3) beschränken wir uns auf die Beschreibung der Fresnelschen Zonenkonstruktion und zeigen, wie man damit das komplizierte Verhalten der Fresnel-Beugung auf einfache Weise verstehen kann.
Am Schluss des Kapitels gehen wir noch auf zwei Entwicklungen ein, die in den letzten Jahrzehnten in der Optik große Bedeutung erlangt haben: auf die Fourier-Optik und auf die Holografie. Beide Gebiete stehen in engem Zusammenhang mit der Beugung. Besonders interessant ist die Fourier-Optik. Sie eröffnet ein ganz neues Verständnis der Bildentstehung.
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Notes
- 1.
Francesco Maria Grimaldi (1618–1663), Jesuitenpater und Physikprofessor in Bologna, beobachtete nicht nur die Aufweitung des Lichtstrahls durch Beugung, sondern auch Strukturen, die man heute als Fresnel-Beugung bezeichnet. Auch die spektrale Zerlegung des Weißlichts mit einem Prisma wurde von ihm beschrieben. Sein Werk „Physico-mathesis de lumine, coloribus et iride“ erschien erst nach seinem Tode, im Jahr 1665.
- 2.
Augustin Jean Fresnel (1788–1827), französischer Straßenbauingenieur im Staatsdienst. Sein erster Großauftrag war der Bau einer Straße von Nyons (Provence) zu dem nach Italien führenden Col de la Genèvre, der heutigen N94. Von dieser Tätigkeit fühlte er sich nicht ausgefüllt und er begann in seiner Freizeit mit Studien über die Natur des Lichts. Dabei entdeckte er die nach ihm benannten Beugungserscheinungen und schloss daraus, dass die Lichtausbreitung ein Wellenphänomen ist. Es gelang ihm, die Beugungsfiguren mit selbstgebauten Apparaten genau zu vermessen und eine Beugungstheorie zu entwickeln, die diese Phänomene quantitativ beschreibt – ein messtechnisches Kunststück erster Klasse und ein mathematisch-physikalisches Meisterwerk. Seiner wissenschaftlichen Tätigkeit kam zugute, dass er als Gegner Napoleons inhaftiert wurde, seine Arbeiten aber dank der Fürsprache eines Vorgesetzten fortführen konnte. Nach Napoleons Sturz gelang es ihm, Verbindungen zu Wissenschaftlern in Paris aufzunehmen. Dort konnte er seine Studien unter wesentlich besseren Bedingungen fortsetzen und zum Abschluss bringen. 1818 konnte er die Pariser Gelehrtenwelt von der Richtigkeit seiner Theorie überzeugen. Fortan war er als Wissenschaftler hoch geachtet. Sein Geld verdiente er aber auch in Paris als Straßenbauer: Er war für die Pflasterung der Hauptstadt zuständig. Außerdem war er der Sekretär der für die Leuchttürme an Frankreichs Küsten zuständigen Behörde. Sein gewaltiges Werk (Licht als transversale Welle, Erklärung der Polarisation des Lichts, Fresnelsche Formeln, Theorie der Doppelbrechung, Entdeckung der zirkularen und der elliptischen Polarisation und anderes) entstand also in seiner Freizeit, und in den wenigen Jahren, die er noch lebte. Er starb an Tuberkulose.
- 3.
Joseph Fraunhofer (1787–1826) stammte aus ärmlichen Verhältnissen. Als vierzehnjähriger Glaserlehrling überlebte er als einziger den Einsturz des Hauses seines Lehrmeisters und geriet dadurch in die Protektion des Kurfürsten Maximilian von Bayern. Er konnte eine Schule besuchen und kam als Techniker in einen Betrieb, der optische Geräte herstellte. Dieses Unternehmen brachte er mit seinen Erfindungen zu Weltruhm. Die Wissenschaft verdankt ihm die Entdeckung der Fraunhofer-Linien (Bd. V/1), das Beugungsgitter und die Theorie der Fernfeld-Beugung. – Es ist bemerkenswert, dass die Wellentheorie des Lichts nach den halbvergessenen ersten Ansätzen von Huygens durch drei Außenseiter wiederbelebt und ausgearbeitet wurde: Durch den Arzt Thomas Young, den Straßenbauingenieur Fresnel und den Glaser und Techniker Fraunhofer.
- 4.
Zur Durchführung der Rechnung siehe z. B. Eugene Hecht, „Optics“, Addison-Wesley (2002). Eine deutsche Übersetzung ist erschienen als De Gruyter-Studienbuch im Oldenbourg Verlag 2009. Dort findet man auch Näheres zu den Besselfunktionen.
- 5.
Zur Durchführung dieser Rechnung und zur Kirchhoffschen Beugungstheorie siehe E. Hecht, „Optics“, second Edition, Addison-Wesley (1987), Kap. 10 und Anhang 2. – Dass \({\cal E}_{\mathrm{H}}\) eine andere Dimension als \({\cal E}_{0}\) hat, ist in Ordnung, denn \({\cal E}_{0}\) bezieht sich auf die Ausstrahlung einer Punktquelle, \({\cal E}_{\mathrm{H}}\) auf ein Flächenelement.
- 6.
Die Zonenplatte ist nicht zu verwechseln mit der Fresnel-Linse, jener flach abgestuften Linse, die man mitunter an der Heckscheibe von Kleinbussen sieht. Fresnel erfand sie in seiner Eigenschaft als Sekretär der französischen Leuchtturm-Behörden. Auch die Zonenplatte findet eine technische Anwendung als Linse für Röntgenstrahlen im Bereich von \(\lambda=0{,}1-10\,\mathrm{nm}\). Solche Linsen haben den Bau von Röntgenmikroskopen ermöglicht (siehe G. Schmahl et al, „Röntgenlinsen“, Physikalische Blätter 57, Nr. 1, S. 43 (2001).
- 7.
Weitere Brennpunkte entstehen durch die Beugungsmaxima höherer Ordnung. Sie sind in Abb. 8.25c nicht eingezeichnet.
- 8.
Der Poissonsche Fleck spielte in der Geschichte der Physik eine bemerkenswerte Rolle: Als Fresnel seine Wellentheorie der Beugung der Pariser Akademie vorlegte, stieß er zunächst auf Ablehnung. Poisson erklärte: Wenn das stimmen sollte, muss im Schatten eines kreisförmigen Hindernisses immer ein heller Fleck sichtbar sein! Dass der helle Fleck tatsächlich existiert, konnte alsbald Fresnel mit seinem Freund Arago experimentell nachweisen. Poissons Einwand, gedacht als tödlicher Schlag gegen die Wellentheorie, erwies sich als schlagender Beweis für diese Theorie!
- 9.
Man erkennt hier, dass es eine Frage der Lichtwellenlänge ist, bis zu welcher Grenze man feine Strukturen im Objekt sehen kann.
- 10.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Diracsche δ-Funktion durch analytische Ausdrücke darzustellen. Zwei Beispiele:
$$\delta(x)=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\sin ax}{\pi x}\;,\quad\delta(x)=\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{\pi a}}{\,{\mathrm{e}}}^{-x^{2}/a^{2}}\;.$$Die erste Formel geht von der uns schon aus (4.45) und (8.23) bekannten Funktion \(\sin(N\delta/2)/\sin(\delta/2)\) aus, wobei ausgenutzt wird, dass \(\int_{-\infty}^{+\infty}(\sin ax/x)\,{{\mathrm{d}}}x=\pi\)ist. Die zweite Formel stellt eine unendlich hohe und unendlich schmale Gaußfunktion mit der Fläche 1 dar.
- 11.
Ernst Abbe (1840–1905), Physiker und Industrieller, brachte zusammen mit Carl Zeiss (1816–1888) dessen optische Werkstätten zu Weltruhm und gründete mit Otto Schott (1851–1935) die Jenaer Glaswerke. Nach Carl Zeiss’ Tod setzte er als alleiniger Firmeninhaber umfangreiche Sozialreformen durch: 8 Stunden-Tag, bezahlter Urlaub, Gewinnbeteiligung und Pensionsanspruch für die Arbeiter – alles sensationelle Neuerungen zur damaligen Zeit. Er hatte nicht vergessen, wie er als Kind seinem Vater mittags die dünne Suppe an den Arbeitsplatz bringen musste, die der Vater dann, ohne die Arbeit zu unterbrechen, im Stehen schlürfte.
- 12.
Eine Abbildung mit noch besserer Auflösung ermöglicht die STED-Mikroskopie, die in Abschn. 9.3 besprochen wird. Im Bereich um 100–200 nm gibt es interessante Objekte für die biologische und medizinische Forschung, während man mit \(n\sin u=1{,}35\) nach Abbe \(d_{\mathrm{min}}=0{,}74\lambda\) erreicht.
- 13.
Frits Zernike (1888–1966) wirkte ab 1920 als Professor an der Universität Groningen. Seine Erfindung stieß paradoxerweise bei der Firma Zeiss auf kein Interesse. Sie wurde erst im zweiten Weltkrieg während der Okkupation Hollands von der deutschen Wehrmacht aufgegriffen, die alles einsammelte, was für den „Endsieg“ wichtig sein könnte. Im Jahr 1953 erhielt F. Zernike für die Entwicklung des Phasenkontrastverfahrens den Nobelpreis.
- 14.
Siehe z. B. J. Walker, Scientific American September 1986, S. 110.
- 15.
H. J. Coufal, D. Psaltis und G. T. Sincerbox (Herausg.): „Holographic Data Storage“, Springer (2012), siehe auch den Abschnitt „On the horizon: Holographic Storage“ in J. W. Toigo: „Avoiding a Data Crunch“, Scientific American, Mai 2000, S. 40. W. T. Cathey: „Optical Information Processing and Holography“, John Wiley & Sons (1989); P. Hariharan: „Basics of Holography“, Cambridge University Press (2002); G. Saxby: „Practical Holography“, 3. Auflage, CRC Press (2003).
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Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
8.1 Beugung am Gitter.
a) In Kupferdampf erzeugtes Licht trifft senkrecht auf ein Gitter. Man beobachtet das Beugungsmaximum 1. Ordnung für die bekannte Wellenlänge \(\lambda=515{,}3\) nm beim Ablenkwinkel \(\vartheta=8{,}47\)°. Wie groß ist die Gitterkonstante g?
b) Geben Sie für folgende Stellen im Beugungsbild des Gitters das Verhältnis der Intensität zur Maximalintensität an: (1) erstes Hauptmaximum neben dem Hauptmaximum nullter Ordnung, (2) erstes Nebenmaximum neben dem Hauptmaximum nullter Ordnung (die Phasenverschiebung δ liegt ungefähr in der Mitte zwischen den Werten für das 1. und 2. Minimum), (3) Nebenmaximum in der Mitte zwischen den Hauptmaxima nullter und erster Ordnung. Das Verhältnis von Spaltbreite zu Gitterabstand ist in allen Fällen \(D/g=1/5\), die Anzahl der Striche 10 000.
8.2 Röntgenbeugung am Reflexionsgitter.
Die Wellenlänge von Röntgenstrahlen wurde erstmals durch Beugung an einem Reflexionsgitter bestimmt. Bei diesen Messungen muss man einen Einfallswinkel \(\vartheta\) sehr nahe bei 90° wählen, also streifenden Einfall auf das Gitter. Es ist daher zweckmäßig, statt des Einfallswinkels \(\vartheta\) den Winkel \(\delta=\pi/2-\vartheta\) zwischen den Röntgenstrahlen und der Gitterebene einzuführen. Ein derartiges Experiment wurde z. B. mit einer Röntgenlinie des Kupfer (Kα-Linie) durchgeführt. Auf einem Film in großem Abstand seitlich neben dem Gitter registriert man: (1) den (abgeschwächten) einfallenden Röntgenstrahl, der das Gitter geradlinig durchdrungen hat, (2) den am Gitter reflektierten Röntgenstrahl; er hat einen Winkelabstand \(2\delta_{0}=11{,}64\cdot 10^{-3}\) rad von (1) und entspricht dem Beugungsmaximum nullter Ordnung, (3) Beugungsmaxima in den Winkelabständen \(\alpha_{1}=\delta_{1}-\delta_{0}=4{,}83\cdot 10^{-3}\) rad und \(\alpha_{2}=\delta_{2}-\delta_{0}=8{,}07\cdot 10^{-3}\) rad von (2). Die Gitterkonstante g bestimmt man mit Licht bekannter Wellenlänge, siehe das Resultat von Aufgabe 8.1a. Wie groß ist die Wellenlänge der Röntgenlinie?
8.3 Übergang von der Fresnel-Beugung zur Fraunhofer-Beugung.
Gleichung (8.1) ist die Bedingung für das Vorliegen der Fraunhoferschen Beugung. Für die Fresnel-Beugung liefert (8.41) die Radien der Fresnelzonen. Zeigen Sie, dass mit geeigneten Kriterien für R 0 und die Zahl der Fresnelzonen (8.41) auf (8.1) führt.
8.4 Fresnel-Beugung an einer kreisförmigen Blende.
a) Berechnen Sie für einen parallel gebündelten Laserstrahl, der senkrecht auf eine kreisrunde Blende trifft, die Abstände r n auf der optischen Achse hinter der Blende, bei denen eine ganze Zahl von Fresnelschen Zonen zur Intensität beiträgt. Geben Sie für die Versuchsanordnung von Abb. 8.3 die Radien r n für n = 1, 10, 11, 12 an (λ = 633 nm, Blendenradius \(\rho=0{,}515\) mm). Bei welchen der obigen n-Werte erwarten Sie auf der optischen Achse Maxima, bei welchen Minima der Beugungsfigur? Vergleichen Sie mit Abb. 8.3.
b) Bei welchem r n erwarten Sie den Übergang zur Fraunhoferschen Beugung?
c) In Abb. 8.3a beobachtet man den Grenzfall der geometrischen Optik. Wie groß ist hier die Zahl der Fresnel-Zonen?
8.5 Camera obscura.
Beschreiben Sie die Wirkungsweise einer Lochkamera als Abbildung durch eine Fresnelsche Zonenplatte nach Abb. 8.25 und geben Sie für eine Gegenstands- und Bildweite von 30 cm einen geeigneten Lochradius an.
8.6 Schattenwurf.
Das in Abb. 8.2 gezeigte Schattenbild einer Kante hat den Maßstab \(1{,}5:1\). Schätzen Sie mit Hilfe von Abb. 8.26 grob ab, in welchem Abstand z hinter dem Bleistift der Schirm aufgestellt gewesen sein muss, der fotografiert wurde. Die Lampe hat einen endlichen Durchmesser und besitzt, vom Bleistift aus gesehen, einen endlichen Winkeldurchmesser \(2\alpha\). Hierdurch entsteht hinter dem Bleistift ein Halbschatten, der sich dem Interferenzbild überlagert. Wie klein muss man α halten, damit der Halbschatten das Interferenzbild nicht stört? Kann man bei direkter Beleuchtung mit Sonnenlicht die Fresnelsche Beugung an einer Kante beobachten (von der Erde aus gesehen, besitzt die Sonne einen Winkeldurchmesser \(2\alpha\approx 9\) mrad)?
8.7 Beleuchtungsspalt beim Gitterspektrometer.
a) Welche Bedingung muss die Gitterkonstante eines Gitters erfüllen, damit man bei einer Wellenlänge λmax die m-ten Beugungsmaxima gerade noch beobachten kann?
b) Wie groß ist die Differenz \(\Updelta\vartheta\) der Beugungswinkel zwischen dem Hauptmaximum m-ter Ordnung und dem ersten benachbarten Minimum bei einer Wellenlänge \(\lambda<\lambda_{\mathrm{max}}\)?
c) Um wie viel verschiebt sich der Beugungswinkel des m-ten Hauptmaximums, wenn man die Wellenlänge um \(\Updelta\lambda\) verschiebt?
d) Entnehmen Sie den Resultaten von b) und c) das Auflösungsvermögen (8.27).
e) Das Gitter wird von fast parallelem Licht beleuchtet, das dadurch erzeugt wird, dass das Licht einer Quelle auf einen Beleuchtungsspalt der Breite b fokussiert wird, der sich in der Brennebene einer hinter ihm stehenden Linse mit der Brennweite f befindet. Wie groß ist die Wellenlänge λ A des Lichts, bei der die Auflösungsgrenze \(\Updelta\vartheta\) genau so groß ist wie die Winkeldivergenz b ∕ f des am Gitter ankommenden Lichts? Kann man mit fester Beleuchtungsspaltbreite ein von λ unabhängiges Auflösungsvermögen erreichen ? (Hinweis: Man benötigt das Resultat von a).)
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Heintze, J., Bock, P. (2017). Beugung. In: Bock, P. (eds) Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 4: Wellen und Optik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54492-1_8
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