Brechung und Reflexion

Zusammenfassung

Bisher haben wir untersucht, wie die Wellenausbreitung in einem Medium einheitlicher Beschaffenheit funktioniert. Wir wollen nun die Ausbreitung von Wellen unter komplizierteren Bedingungen studieren. Wir werden auf eine Reihe von neuen Erscheinungen stoßen: Brechung, Reflexion, Interferenz und Beugung von Wellen. Wir beginnen mit Brechung und Reflexion von Licht an einer ebenen Grenzfläche, die zwei unterschiedliche Medien voneinander trennt, und mit dem Huygensschen Prinzip, mit dem man auf einfache Weise das Verhalten von Wellen beschreiben kann. Dabei wird der Brechungsindex als die hier maßgebliche Größe eingeführt. Sodann befassen wir uns mit dem interessanten Phänomen der Totalreflexion. Im dritten Abschnitt wird die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Lichtwellenlänge studiert, die Dispersion des Lichts. Mit einem einfachen Modell können wir die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex und des Absorptionskoeffizienten berechnen. Im letzten Abschnitt untersuchen wir die Reflexion des Lichts an transparenten Stoffen und an Metallen.

Übungsaufgaben

5.1 Umlenkprisma.

Ein unverspiegeltes Umlenkprisma soll Licht mit geringsten Verlusten parallel versetzt in die rückwärtige Richtung reflektieren. Wie groß muss der Brechungsindex des Glases sein und wie groß ist das Verhältnis der reflektierten zur ankommenden Intensität?

5.2 Lichtablenkung im Pellin-Broca-Prisma.

Abbildung 5.29 zeigt den Strahlengang in einem „Pellin-Broca-Prisma“. Einer der Prismenwinkel ist 90°, der Nachbarwinkel ist $\gamma=75^{\circ}$. Ein Lichtstrahl wird aus seiner ursprünglichen Richtung um 90° abgelenkt. Der Einfallswinkel des Lichtstrahls auf das Prisma sei α, wegen des 90°-Prismenwinkels ist der Ausfallswinkel dann ebenfalls α. An der rückwärtigen Prismenseite findet Totalreflexion statt.

Abb. 5.29

Strahlengang bei 90° Lichtablenkung in einem Pellin-Broca-Prisma

a) Welchen Winkel bilden der an der Prismenrückseite einfallende und der totalreflektierte Lichtstrahl miteinander und wie groß ist der Einfallswinkel an der Rückseite? Wie groß muss der Brechungsindex des Glases mindestens sein, damit das Prisma wie beschrieben funktioniert?

b) Bei einem fest eingestellten Ablenkwinkel 90° hängen der Einfallswinkel und der Brechungsindex eindeutig miteinander zusammen. Bis zu welchem maximalen Brechungsindex funktioniert das Prisma?

c) Zwischen welchen Werten variiert α als Funktion der Wellenlänge für die beiden in Tab. 5.2 aufgeführten Glassorten?

d) Welchen Vorteil gegenüber einem gleichschenkligen Prisma hat die Anordnung, wenn man sie als Monochromator verwendet?

5.3 Brechung im Medium mit variablem Brechungsindex.

Über einer ebenen Oberfläche befinde sich ein optisches Medium mit einem höhenabhängigen Brechungsindex, der von einem unteren Anfangswert n ₁ nach oben kontinuierlich abnimmt, bis er einen Grenzwert n ₀ erreicht (z. B. Luft über der Erdoberfläche oder eine Salzlösung in einem Glasgefäß). Ein schräg von oben kommender Lichtstrahl wird abgelenkt und sein Neigungswinkel relativ zur Vertikalen ändert sich von α₀ auf α₁. Wie ist der Zusammenhang zwischen α₀ und α₁? (Hinweis: Betrachten Sie die sukzessive Brechung an infinitesimalen Schichten und stellen Sie eine Differentialgleichung zwischen dem Ablenkwinkel und dem Brechungsindex auf.)

Was passiert, wenn man ein Lichtsignal fast parallel zum Boden von unten nach oben schickt? Zahlenbeispiel: $n_{1}=1{,}400$, $n_{0}=1{,}333$.

5.4 Lichttransmission und Reflexion an einer Grenzfläche bei fast senkrechtem Lichteinfall.

Ein Lichtstrahl falle unter kleinem Winkel β₁ zur Normalen auf die ebene Grenzfläche zwischen zwei durchsichtigen Medien mit den Brechungsindizes n ₂ und n ₁. Berechnen Sie aus (5.42) und (5.43) die Amplituden und Intensitäten des durchgelassenen und reflektierten Lichts im Grenzfall $\beta_{1}\rightarrow 0$ und zeigen Sie: Die Korrekturen zu (5.39) sind proportional zu $\beta_{1}^{2}$. (Hinweis: Benutzen Sie die Taylorentwicklungen der $\sin$- und der $\cos$-Funktion).

5.5 Normale Dispersion.

Versuchen Sie, die Wellenlängenabhängigkeit der Brechungsindizes für die beiden Glassorten in Tab. 5.2 mit (5.33) zu beschreiben, wobei jeweils nur eine einzige Resonanzfrequenz bzw. Resonanzwellenlänge verwendet werden soll. Man beachte: Die Wellenlänge in Tab. 5.2 ist die Vakuum-Wellenlänge, nicht die im Medium. Welche Resonanzwellenlängen ergeben sich? Hinweis: Suchen Sie nach einem linearen Zusammenhang zwischen einer geeigneten Funktion des Brechungsindex und dem Quadrat der Frequenz, oder alternativ nach einem linearen Zusammenhang zwischen einer Funktion, gebildet aus dem Brechungsindex und der Wellenlänge, und dem Quadrat der Wellenlänge. Geben die Messwerte in Tab. 5.2 irgendwelche Hinweise auf die Existenz weiterer Resonanzfrequenzen?

5.6 Optik der Röntgenstrahlen.

Im Röntgenbereich ist der Brechungsindex eines Materials durch (5.34) gegeben.

a) Wie groß ist der Brechungsindex n für Röntgenstrahlung der Wellenlänge $\lambda=0{,}2$ nm in Silizium (Z = 14, $A=28\,\mathrm{g/mol}$, $\rho=2{,}33\,\mathrm{g/cm^{3}}$)?

b) Bei welchen Einfallswinkeln wird Röntgenstrahlung dieser Wellenlänge, aus Luft kommend, an einer ebenen Siliziumoberfläche totalreflektiert?

c) Um wie viel weicht die Phasengeschwindigkeit von der Lichtgeschwindigkeit c ab? Um wie viel weicht die Gruppengeschwindigkeit von c ab?

5.7 Transmission und Reflexion von Metallen.

In Wärmeschutzverglasungen werden die Glasscheiben mit einer dünnen Metallschicht versehen, die man mit dem Auge nicht wahrnimmt. Ermitteln Sie aus Abb. 5.28 und (5.47) die Brechungsindizes n _R und n _I von Silber für die beiden Wellenlängen $\lambda=600\,$nm und 20 $\upmu$m (warum diese typischen Wellenlängen?). Wie groß sind die Absorptionskoeffizienten? Nach welcher Strecke x hat sich die Intensität der sichtbaren Strahlung bei einem Durchgang durch eine Schicht um 20 % reduziert? Wie stark wird die Infrarotstrahlung bei einmaligem Durchgang durch eine solche Schicht geschwächt? Warum darf man zur Berechnung des Reflexionsvermögens einer solchen Schicht (5.48) nicht verwenden (hierzu mehr in Aufgabe 7.6)? (Leitfähigkeit von Silber: $\sigma_{\text{el}}=6{,}7\cdot 10^{7}\,\Upomega^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$).