Weiteres zur mathematischen Darstellung von Wellen

Zusammenfassung

In den vorangegangenen Kapiteln sind wir zwar mit der mathematischen Beschreibung von Wellenerscheinungen schon ziemlich weit gediehen; es lohnt sich aber, die mathematische Darstellung von Wellen noch etwas weiter zu treiben. Das wird sich bei der Behandlung optischer Probleme bewähren; auch wird sich zeigen, dass die hier eingeführten Begriffe und Methoden in der Quantenmechanik unentbehrlich sind. Wir führen den Wellenvektor ${}\vec{k}$ und die Darstellung von Wellenfunktionen mit komplexen Zahlen ein. Als Beispiel behandeln wir das Verhalten einer linearen Kette von Massenpunkten, die durch Federn miteinander verbunden sind. Dann diskutieren wir die mathematische Beschreibung von Wellenzügen endlicher Länge und von sogenannten Wellenpaketen. Das führt auf eine wichtige Beziehung zwischen zeitlicher Dauer und Bandbreite des Wellenzugs, auf die klassische Unschärferelation. Am Schluss des Kapitels wird ausgehend von dem in Abschn. 1.3 eingeführten Fourier-Integral die Fourier-Transformation behandelt, die besonders in der Optik eine große Rolle spielt.

Übungsaufgaben

4.1 Wellenzahl-Vektor.

Eine Welle mit der Wellenlänge λ = 3 m und der Frequenz $\nu=10^{8}$ Hz bewegt sich unter einem Winkel von 30 Grad relativ zur x-Achse und 60 Grad relativ zur y-Achse eines Kartesischen Koordinatensystems. Welchen Wert hat der Wellenzahl-Vektor ${}\vec{k}$?

4.2 Phase eines Wellenfeldes.

Zeigen Sie, dass in einem beliebigen Wellenfeld, in dem der Wellenzahl-Vektor ortsabhängig ist, die Phasendifferenz zwischen den Raumpunkten ${}\vec{r}_{1}$ und ${}\vec{r}_{2}$ zu einem festen Zeitpunkt gegeben ist durch

$$\varphi_{2}-\varphi_{1}=\int_{{}\vec{r}_{1}}^{{}\vec{r}_{2}}{}\vec{k}({}\vec{r})\cdot{{\mathrm{d}}}{}\vec{r}\;.$$

(4.61)

Dieses Integral ist unabhängig vom Integrationsweg.

4.3 Fourier-Transformation von Funktionen nach Rechenoperationen.

Es sei für eine beliebige Funktion f(t) die komplexe Fourier-Transformierte $F(\omega)$ bekannt.

a) Wie ändert sich $F(\omega)$, wenn die Funktion zeitlich verschoben wird: $f(t+\tau)$?

b) Welche Fourier-Transformierte hat die zeitliche Ableitung ${{\mathrm{d}}}f(t)/{{\mathrm{d}}}t$ einer Funktion? (Machen Sie sich wegen der Konvergenz des Fourier-Integrals keine Sorge. Die Mathematik lehrt: Solange die Ableitung mit Ausnahme einer begrenzten Zahl von Sprüngen stetig und in ihrer Größe beschränkt ist, gibt es keine Probleme).

c) Es seien für zwei beliebige Funktionen $f_{1}(t)$ und $f_{2}(t)$ die komplexen Fourier-Transformierten $F_{1}(\omega)$ und $F_{2}(\omega)$ bekannt. Die Fourier-Transformierte der „gefalteten“ Funktion $\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(t-t^{\prime})f_{2}(t^{\prime})\,{{\mathrm{d}}}t^{\prime}$ ist $F_{1}(\omega)F_{2}(\omega)$. Wie kann man sich das durch Einsetzen eines der Fourier-Integrale in dieses Integral plausibel machen?

d) Als Beispiel zu Teil c) studiere man ein RC-Glied (Abb. 4.16) mit einem komplexen Widerstand (siehe Bd. III/17.1), in das eine Stromquelle mit großem Innenwiderstand einen Strom I(t) einspeist. Drücken Sie den Spannungsabfall durch ein Faltungsintegral aus. Was hat das Ohmsche Gesetz für Wechselstrom mit den Fourier-Transformierten des Stroms, des Spannungsabfalls und der Antwort-Funktion des RC-Glieds auf einen Stromimpuls zu tun?

Abb. 4.16

Parallelschaltung aus einem Widerstand und einer Kapazität

4.4 Fourier-Transformierte von Funktionen mit Sprüngen und Knicken.

a) Ermitteln Sie Schritt für Schritt die komplexen Fourier-Transformierten folgender Funktionen und verwenden Sie dabei für die Fälle (2) bis (5) die Rechenregeln der vorigen Aufgabe:

• (1) abgeschrägte Stufenfunktion der Abb. 4.17a (der konstante Wert für t > 0 ist der Grenzfall der Funktion ${\,{\mathrm{e}}}^{-\gamma t}$ für $\gamma\rightarrow 0$, die Stammfunktion der Funktion $x{\,{\mathrm{e}}}^{x}$ ist $x{\,{\mathrm{e}}}^{x}-{\,{\mathrm{e}}}^{x}$),

  Abb. 4.17

  

  Einige Funktionen mit Singularitäten

• (2) Rechteckfunktion zwischen den Zeiten −τ und 0, (Abb. 4.17b),

• (3) Rechteckfunktion zwischen den Zeiten −τ und +τ (vgl. mit Abb. Abb. 1.18 und (1.22)),

• (4) abgeschrägte Stufe abwärts (Abb. 4.17c),

• (5) symmetrische Dreieckfunktion (Abb. 4.17d).

b) Wie verhalten sich die Fourier-Transformierten von (1) bis (5) im Grenzfall $\omega\rightarrow\infty$? Welche Regeln über das Verhalten der Fourier-Transformierten von Funktionen mit Sprüngen oder Knicken kann man für den Grenzfall $\omega\rightarrow\infty$ aus obigen Beispielen und denen im Buchtext ablesen?

c) Als weiteres Beispiel ersetze man in Abb. 4.15a die Cosinus- durch die Sinus-Funktion und vergleiche mit (4.56). Eine gleichartige Situation hat man in Abb. 4.11.

4.5 Korrespondenz zwischen Fourierpaaren.

Da Fourier-Transformationen umkehrbar sind, muss jede Information über Strukturen in einer Funktion in irgend einer Weise in ihrer Fourier-Transformierten wiederzufinden sein. Geben Sie die korrespondierenden Parameter zwischen folgenden Funktionen und ihren Fourier-Transformierten an:

• (1) Nadelimpuls zur Zeit t ₀ (Abb. 4.7),

• (2) zwei Nadelimpulse zu den Zeiten $-\Updelta\tau/2$ und $\Updelta\tau/2$ (Abb. 4.8),

• (3) Rechteckimpuls der Dauer $\Updelta\tau$, zentriert um die Zeit t ₀ (Abb. 4.10),

• (4) N Nadelimpulse zu den Zeiten $t_{0}-\Updelta\tau/2N$ bis $t_{0}+\Updelta\tau/2N$ (Abb. 4.9),

• (5) Gaußsches Signal mit der Varianz σ _t , zentriert um die Zeit t ₀ (Abb. 4.12).