Verallgemeinerte Zufallsfelder

Zusammenfassung

Seien $(\Omega,{\cal{S}},\mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(H,{\cal{H}},\mu)$ ein Maßraum. Mit

$${\cal{H}}_{\mu}:=\{M\in{\cal{H}};\,\mu(M)<\infty\}$$

bezeichnen wir einen stochastischen Prozess $(X_{M})_{M\in{\cal{H}}_{\mu}}$ bestehend aus reellen Zufallsvariablen

$$X_{M}:\Omega\to\mathbb{R}$$

als Mengen-indiziertes Zufallsfeld. Der stochastische Prozess $(X_{M})_{M\in{\cal{H}}_{\mu}}$ wird als μ-Rauschen bezeichnet, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:Fordert man zudem, dass die Zufallsvariablen X _M gemeinsam normalverteilt sind, so spricht man von einem Gaußschen μ-Rauschen. Wählt man zum Beispiel

$$\mathscr{C}(X_{M_{1}},X_{M_{2}})=\mu(M_{1}\cap M_{2})\quad\text{f{\"u}r alle}\quad M_{1},M_{2}\in{\cal{H}}_{\mu},$$

so gibt es nach [AdTay07] ein entsprechendes Gaußsches μ-Rauschen.