Stochastische Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Untersucht man die Kondensatorspannung U _c in einem LRC-Glied (siehe Abb. 3.1), so ist das Anfangswertproblem

$$LC\ddot{U}_{C}(t)+RC\dot{U}_{C}(t)+U_{C}(t)=U(t),\quad t\geq 0,\;U_{C}(0)=U_{0},\;\dot{U}_{C}(0)=\dot{U}_{0}$$

zu lösen. Nimmt man nun wieder an, dass die Spannung U additiv durch ein Gaußsches weißes Rauschen auf $\mathbb{R}^{+}_{0}$ gestört ist, so ergibt sich ein AR(2)-Prozess $(Y_{t})_{t\in[0,\infty)}$ mit $a_{0}=1$, $a_{1}=RC$, $a_{2}=LC$, $y_{0}=U_{0}$, $y^{(1)}_{0}=\dot{U}_{0}$. Berücksichtigt man zusätzlich das thermische Rauschen im Widerstand, so ist R durch $R+u_{R,t}$ zu ersetzten, wobei $(u_{R,t})_{t\in\mathbb{R}^{+}_{0}}$ ein bandbegrenztes weißes Rauschen repräsentiert. Da alle Pfade von $(u_{R,t})_{t\in\mathbb{R}^{+}_{0}}$ stetig sind, kann die Lösung der homogenen Gleichung

$$LC\ddot{U}_{C}(t)+(R+u_{R,t})C\dot{U}_{C}(t)+U_{C}(t)=0,\quad t\geq 0,\;U_{C}(0)=U_{0},\;\dot{U}_{C}(0)=\dot{U}_{0}$$

pfadweise unter Verwendung der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen

$$\dot{\mathbf{y}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{y}(t)\quad\text{f{\"u}r alle}\quad t\in[0,\infty)$$

mit $\mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_{0}$ berechnet werden. Die Berechnung der inhomogenen Lösung ist nun aber nicht mehr durch ein Wiener-Integral möglich, da der entsprechende Integrand jetzt auch von $\omega\in\Omega$ abhängt. Wie wir bereits gesehen haben, ist die Spektraldichte eines bandbegrenzten weißen Rauschens im relevanten Frequenzband gleich α > 0 und ansonsten gleich Null. Der Grenzübergang führt also zu einer konstanten Spektraldichte und somit zu einem weißen Rauschen. Da in der Praxis thermisches Rauschen stets durch den Grenzübergang idealisiert wird und da dabei stets Gaußsche stochastische Prozesse betrachtet werden, haben wir im Folgenden eine Theorie zu entwickeln, die auf der linken Seite eines Anfangswertproblems Gaußsches weißes Rauschen als Koeffizienten von Ableitungen ermöglicht. Da die Lösung von Differentialgleichungen stets mit Integration verbunden ist, wird somit in einem ersten Schritt eine Integrationstheorie benötigt, die als Integranden das Produkt spezieller stochastischer Prozesse mit Gaußschem weißem Rauschen zulässt. Dieser als bekannte Integralbegriff soll im Folgenden eingeführt werden.