Stochastische Prozesse

Zusammenfassung

Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,{\cal{S}},\mathbb{P})$. Jeder Wahrscheinlichkeitsraum dieser Art modelliert ein Zufallsexperiment mit der nichtleeren Ergebnismenge Ω, deren Elemente die möglichen Ergebnisse des Zufallexperiments repräsentieren, der Ereignismenge ${\cal{S}}$, die eine σ-Algebra über Ω darstellt, und dem Wahrscheinlichkeitsmaß $\mathbb{P}:{\cal{S}}\to[0,1]$, das jedem Ereignis $A\in{\cal{S}}$ seine Wahrscheinlichkeit $\mathbb{P}(A)$ zuordnet.

Hat man zudem einen Messraum $(\Gamma,{\cal{G}})$, also eine nichtleere Menge Γ und eine σ-Algebra ${\cal{G}}$ über Γ gegeben, so heißt eine Abbildung

$$X:\Omega\to\Gamma$$

Zufallsvariable, wenn sie ${\cal{S}}$-${\cal{G}}$-messbar ist, wenn also für jedes $A^{\prime}\in{\cal{G}}$ gilt:

$$X^{-1}(A^{\prime}):=\{\omega\in\Omega;\,X(\omega)\in A^{\prime}\}\in{\cal{S}}.$$

Durch eine Zufallsvariable X wird aus dem Messraum $(\Gamma,{\cal{G}})$ vermöge

$$\mathbb{P}_{X}:{\cal{G}}\to[0,1],\quad A^{\prime}\mapsto\mathbb{P}\left(X^{-1}(A^{\prime})\right)$$

ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Gamma,{\cal{G}},\mathbb{P}_{X})$ (Übungsaufgabe). Das Wahrscheinlichkeitsmaß $\mathbb{P}_{X}$ wird als Bildmaß oder Verteilung von X bezeichnet.