Verallgemeinerte Funktionen

Zusammenfassung

Für den Vektorraum $\mathbb{R}^{n}$, $n\in\mathbb{N}$, über $\mathbb{R}$ betrachten wir die Euklidische Norm

$${\|\bullet\|}_{2}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R},\quad\mathbf{x}\mapsto\sqrt{\mathbf{x}^{\top}\mathbf{x}}:=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$$

und bezeichnen eine Menge $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ als offen, falls es zu jedem $\mathbf{x_{0}}\in A$ eine reelle Zahl $\varepsilon> 0$ gibt mit

$$K_{\mathbf{x_{0}},\varepsilon}:=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n};\,{\|\mathbf{x}-\mathbf{x_{0}}\|}_{2}<\varepsilon\}\subseteq A.$$

Eine Menge $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt offene Umgebung von $\mathbf{x_{0}}\in\mathbb{R}^{n}$, falls $\mathbf{x_{0}}\in U$ und U eine offene Menge darstellt.

Eine Menge $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt abgeschlossen, falls das Komplement

$$A^{c}:=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n};\,\mathbf{x}\notin A\}$$

offen ist. Sind für eine beliebige nichtleere Menge I Teilmengen A _i , $i\in I$, des $\mathbb{R}^{n}$ abgeschlossen, so ist auch der Schnitt

$$A:=\bigcap_{i\in I}A_{i}$$

eine abgeschlossene Teilmenge des $\mathbb{R}^{n}$.

Eine Menge $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt beschränkt, falls es ein $\varepsilon> 0$ gibt mit

$$A\subseteq K_{\mathbf{0},\varepsilon}.$$

Abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des $\mathbb{R}^{n}$ werden als kompakt bezeichnet.