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Topologische Grundlagen

Chapter
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Heute spielen topologische Strukturen in allen Bereichen der Mathematik eine wesentliche Rolle. Ausgehend vom Abstandsbegriff werden zunächst metrische Räume eingeführt, zu denen speziell die normierten Vektorräume gehören. Sie motivieren das Konzept des topologischen Raums mit den zugehörigen Homomorphismen, nämlich den stetigen Abbildungen. Einschlägige Konstruktionen wie Bild- und Urbildtopologien mit ihren universellen Eigenschaften, speziell Quotienten und Produkte, werden ausführlich besprochen. Die fundamentalen Begriffe des Zusammenhangs und der Kompaktheit, die schon für die Räume \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) eine wichtige Rolle spielten, sind zentrale Gegenstände der Überlegungen. Der Satz von Tychonoff und die Vollständigkeit metrischer Räume sowie die verschiedenen Konvergenzbegriffe in Abbildungsräumen bis hin zum Satz von Arzelà-Ascoli werden diskutiert. Schließlich wird die Summierbarkeit in hausdorffschen abelschen topologischen Gruppen als Verallgemeinerung der Summierbarkeit in \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) eingeführt.

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017

Authors and Affiliations

  1. 1.Fakultät für MathematikRuhr-Universität BochumBochumDeutschland

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