Reelle und komplexe Zahlen

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Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Die reellen Zahlen bilden einen angeordneten Körper. Dies und somit das Studium von Ungleichungen sind Ausgangspunkt dieses Kapitels. Zentraler Begriff ist die Konvergenz von Folgen. Dieser wiederum führt zum Vollständigkeitsbegriff und zur Definition von \(\mathbb{R}\) als einem vollständigen angeordneten Körper. Die Vollständigkeit wird von verschiedensten Seiten beleuchtet, wobei sich auch natürliche Konstruktionen von \(\mathbb{R}\) aus den rationalen Zahlen ergeben. Der Übergang zu den komplexen Zahlen ist dann ein kleiner Schritt. Für die Polarkoordinatendarstellung werden allerdings im Vorgriff auf Band 2 schon hier trigonometrische Funktionen benutzt. Bei der Behandlung von Reihen bietet der Summierbarkeitsbegriff erhebliche methodische Vorteile. Er wird deshalb konsequent benutzt. Die Stetigkeit von reellen und komplexen Funktionen auf Teilmengen von \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) wird ausführlich behandelt, einschließlich der Besonderheiten bei kompakten Definitionsbereichen. Als eine Anwendung erhält man den klassischen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Das Kapitel schließt mit der Einführung der reellen Exponential- und Logarithmusfunktionen.

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017

Authors and Affiliations

  1. 1.Fakultät für MathematikRuhr-Universität BochumBochumDeutschland

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