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Algebraische Grundlagen

Chapter
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Als Grundbegriffe der Algebra werden Monoide und Gruppen, Ringe und Körper sowie Moduln und Algebren behandelt. Homomorphismen spielen früh als strukturverträgliche Abbildungen eine entscheidende Rolle und führen zu Standardkonstruktionen wie Quotientenbildungen, Summen und Produkten und zur Diskussion freier Objekte. Universelle Eigenschaften der konstruierten Objekte werden hervorgehoben und bereiten auf eine spätere mehr kategorientheoretische Betrachtungsweise vor. Natürliche Verträglichkeitsbedingungen für Operationen motivieren die eingeführten Begriffe. Ausgangspunkt sind Monoide und ihre Einheitengruppen. Die Theorie der Gruppen wird bis zu den Sylow-Sätzen ausgeführt und an endlichen Permutationsgruppen konkretisiert. Anwendungsbeispiele sind z.B. das quadratische Reziprozitätsgesetz und die Pólyasche Abzählformel. Ringe, Moduln und Algebren sind Strukturen mit mehreren kanonisch verbundenen Verknüpfungen. Die Restklassenringe von \(\mathbb{Z}\) sind die minimalen Ringe und wesentliche Objekte der elementaren Zahlentheorie. Mit dem allgemeinen Chinesischen Restsatz wird ihre Struktur und die ihrer Einheitengruppen, der Primrestklassengruppen, geklärt. Moduln und Vektorräume werden einschließlich des Rang- und Dimensionsbegriffs behandelt. Der Abschnitt über Algebren diskutiert u. a. sehr ausführlich (auch nichtkommutative) Polynomalgebren bis hin zum Hilbertschen Basissatz und der Primfaktorzerlegung. Hauptidealbereiche und insbesondere euklidische Bereiche finden dabei ihren Platz. Anwendungsbeispiele sind etwa endliche Körper und der Zwei- sowie der Vier-Quadrate-Satz.

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017

Authors and Affiliations

  1. 1.Fakultät für MathematikRuhr-Universität BochumBochumDeutschland

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