Vektorrechnung

Aufgaben

9.1

Ein Körper der Masse $m=20\,\mathrm{kg}$ gleitet einen Hang mit Neigung 30 ° hinab. Ermitteln Sie die Stärken der Hangabtriebskraft F _H und der Normalenkraft F _N , die auf diesen Körper wirken.

Die Erdbeschleunigungskonstante kann als $g=9.81\,{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}}$ angenommen werden, Reibungskräfte dürfen vernachlässigt werden.

9.2

Auf einen Körper, der eine schiefe Ebene mit Neigung 60 ° hinabgleitet, wirkt eine Hangabtriebskraft von 40 kN. Bestimmen Sie die Masse dieses Körpers.

Die Erdbeschleunigungskonstante kann als $g=9.81\,{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}}$ angenommen werden, Reibungskräfte dürfen vernachlässigt werden.

9.3

An einem Körper greifen zwei Kräfte F ₁ und F ₂ an, wobei F ₁ die Stärke 15 N hat und in einem Winkel von 30 ° zu einer gedachten Linie L angreift und wobei F ₂ die Stärke 10 N hat und in einem Winkel von $-45^{\circ}$ zu L angreift.

Bestimmen Sie die Stärke der Gesamtkraft F _g , die auf diesen Körper wirkt, und den Winkel dieser Kraft zu L.

9.4

An einem Körper greifen zwei Kräfte F ₁ und F ₂ an, wobei F ₁ die Stärke 100 N hat und in einem Winkel von 30 ° zu einer gedachten Linie L angreift und wobei F ₂ in einem Winkel von $-15^{\circ}$ zu L angreift.

Wie stark muss F ₂ sein, damit die Gesamtkraft F _g entlang der Linie L wirkt?

9.5

Zeigen Sie, dass zwei Vektoren $\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}v_{1}\\ v_{2}\end{matrix}\right)$ und $\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}w_{1}\\ w_{2}\end{matrix}\right)$ genau dann kollinear sind, wenn es Skalare $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ gibt mit λ ≠ 0 oder μ ≠ 0 und

$$\lambda\cdot\boldsymbol{v}+\mu\cdot\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}\,.$$

9.6

Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellungen der Vektoren

$$\boldsymbol{u}=\left(\begin{matrix}{}0\\ 3\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}-\sqrt{3}\\ 1\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}-2\\ -2\end{matrix}\right).$$

9.7

Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren

$$\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}\sqrt{3}\\ 1\end{matrix}\right)\,\textrm{ und }\,\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}-2\\ -2\end{matrix}\right).$$

Bestimmen Sie die Projektion von v auf w.

9.8

Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren

$$\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 3\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}2\\ 4\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie v _w und $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{w}}^{\perp}$.

9.9

Wir betrachten zwei ebene Vektoren v und w, wobei w ≠ 0. Zeigen Sie: Ist $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}^{\prime}+\boldsymbol{v}^{\prime\prime}$, wobei $\boldsymbol{v}^{\prime}$ kollinear mit w ist und $\boldsymbol{v}^{\prime\prime}$ senkrecht auf w steht, so gilt schon

$$\boldsymbol{v}^{\prime}=\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{w}},\qquad\boldsymbol{v}^{\prime\prime}=\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{w}}^{\perp}\,.$$

9.10

Die Koordinatenachsen teilen die komplexe Zahlenebene in vier Quadranten. Wie entscheiden Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl über die Zugehörigkeit zu einem dieser Quadranten?

9.11

Berechnen Sie für $z_{1}=2+3{\mathrm{i}}$ und $z_{2}=-3+2{\mathrm{i}}$ das Produkt $z_{1}\cdot z_{2}$ und den Quotienten $z_{1}:z_{2}$.

9.12

Bestimmen Sie die trigonometrische Darstellung von $z_{1}=-\sqrt{3}+{\mathrm{i}}$ und $z_{2}=-3-4{\mathrm{i}}$.

9.13

Bestimmen Sie die achten Einheitswurzeln.

9.14

Für $z=3-3{\mathrm{i}}$ bestimmen Sie $z^{2},z^{3},z^{4}$ und z ⁵.

9.15

Bestimmen Sie alle vierten Wurzeln von $z=-4+4{\mathrm{i}}$.

9.16

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung

$$x^{2}+x+1=0\,.$$

9.17

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung

$$x^{2}+2x+1-{\mathrm{i}}=0\,.$$

9.18

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung

$$x^{3}+x^{2}-2=0\,.$$

9.19

Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung des Verbindungsvektors von $P=(3,2,4)$ nach $Q=(1,3,2)$.

9.20

Bestimmen Sie die Länge der Vektoren

$$\boldsymbol{u}=\left(\begin{matrix}{}-2\\ 3\\ -4\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 1\\ 1\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}-4\\ 2\\ 4\end{matrix}\right)\,.$$

9.21

Wir betrachten die Vektoren

$$\boldsymbol{u}=\left(\begin{matrix}{}2\\ 1\\ 3\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}5\\ 3\\ 7\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}3\\ -2\\ -4\end{matrix}\right)\,.$$

Berechnen Sie die Vektoren

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{a}&\displaystyle=3\cdot\boldsymbol{u}+2\cdot\boldsymbol{v}+4\cdot\boldsymbol{w},&\displaystyle\boldsymbol{b}&\displaystyle=5\cdot\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}+2\cdot\boldsymbol{w},\\ \displaystyle\boldsymbol{c}&\displaystyle=(-2)\cdot\boldsymbol{u}+3\cdot\boldsymbol{v}-2\cdot\boldsymbol{w},&\displaystyle\boldsymbol{d}&\displaystyle=3\cdot(\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v})-5\boldsymbol{w}\,.\\ \displaystyle\end{aligned}$$

und ihre Beträge.

9.22

Auf einen Körper wirkt eine Kraft von 6 N in Richtung der positiven x-Achse, eine Kraft von 2 N in Richtung der positiven y-Achse, eine Kraft von 4 N in Richtung der positiven z-Achse und eine Kraft von 3 N in Richtung der negativen x-Achse. Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die insgesamt auf den Körper wirkt.

9.23

Bestimmen Sie den Punkt T, der die Strecke zwischen den beiden Punkten $P=(3,-1,2)$ und $Q=(-1,7,4)$ halbiert.

9.24

Bestimmen Sie einen Punkt Q im Raum so, dass die Strecke vom Punkt $P=(3,5,7)$ zum Punkt Q durch den Punkt $T=(11,1,11)$ im Verhältnis 2:1 geteilt wird.

9.25

Zeigen Sie: Ist P ein Massepunkt mit Masse m ₁ und Q ein Massepunkt mit Masse m ₂, so ist der Schwerpunkt dieser beiden Massepunkte der Punkte T, der die Verbindungsstrecke zwischen P und Q im Verhältnis $m_{2}:m_{1}$ teilt.

9.26

Wir betrachten ein System von fünf Massepunkten $P_{1}=(1,2,3)$ mit Masse $m_{1}=5\,\mathrm{kg}$, $P_{2}=(7,4,2)$ mit Masse $m_{2}=4\,\mathrm{kg}$, $P_{3}=(4,4,4)$ mit Masse $m_{3}=3\,\mathrm{kg}$, $P_{4}=(5,7,4)$ mit Masse $m_{4}=2\,\mathrm{kg}$ und $P_{5}=(5,8,2)$ mit Masse $m_{1}=1\,\mathrm{kg}$. Bestimmen Sie den Massenschwerpunkt dieses Systems.

9.27

Wir betrachten zwei Systeme von Massepunkten. Das erste System besteht aus den drei Punkten $P_{1}=(7,4,3)$ mit Masse $m_{1}=5\,\mathrm{kg}$, $P_{2}=(-2,2,8)$ mit Masse $m_{2}=3\,\mathrm{kg}$ und $P_{3}=(7,1,6)$ mit Masse $m_{3}=1\,\mathrm{kg}$, und das zweite aus den beiden Punkten $P_{4}=(11,2,3)$ mit Masse $m_{4}=4\,\mathrm{kg}$, und $P_{5}=(2,11,3)$ mit Masse $m_{5}=5\,\mathrm{kg}$. Berechnen Sie die Massenschwerpunkte der beiden Systeme und den Massenschwerpunkt aller Punkte P ₁ bis P ₅.

9.28

Zeigen Sie: Sind k Systeme von Massepunkten P _l,i mit Masse m _l,i ($l=1,\ldots,k$ und $i=1,\ldots,n_{l}$) gegeben und ist S _l der Massenschwerpunkt und m _l die Gesamtmasse des l-ten Systems, so ist der Schwerpunkt S des Gesamtsystems der Schwerpunkt der Massepunkte $S_{1},\ldots,S_{k}$ mit Massen $m_{1},\ldots,m_{k}$.