Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit

Aufgaben

5.1

Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen:

• a) $\begin{array}[t]{rcl}f:[-5,5]\setminus\{1\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\ x&\mapsto&\frac{1}{(x-1)^{2}}\end{array}$

• b) $\begin{array}[t]{rcl}f:[-6,2]&\rightarrow&\mathbb{R}\\ x&\mapsto&\frac{(x+2)^{2}}{2}-4\end{array}$

• c) $\begin{array}[t]{rcl}f:[-3,3]&\rightarrow&\mathbb{R}\\ x&\mapsto&\frac{3}{2}(x+\frac{1}{3})+\frac{1}{2}\end{array}$

• d) $\begin{array}[t]{rcl}f:[-3,4]&\rightarrow&\mathbb{R}\\ x&\mapsto&\frac{2}{\sqrt{(x-1)^{10}+1}}\end{array}$

5.2

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

• a) $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{x}+{\mathrm{e}}^{-1/x^{2}})$

• b) $\lim\limits_{x\nearrow 0}{\mathrm{e}}^{-1/x}$, sowie $\lim\limits_{x\searrow 0}{\mathrm{e}}^{-1/x}$

• c) $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{\tan(1-x)}$

• d) $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\cos\frac{1}{x}+\exp(-x^{2}+x)$

• e) $\lim\limits_{x\nearrow 1}\frac{1}{x-1}$ sowie $\lim\limits_{x\searrow 1}\frac{1}{x-1}$

• f) $\lim\limits_{x\nearrow 1}\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}$ sowie $\lim\limits_{x\searrow 1}\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}$

• g) $\lim\limits_{x\nearrow\frac{\pi}{2}}\frac{\tan x}{|\tan x|}$ sowie $\lim\limits_{x\searrow\frac{\pi}{2}}\frac{\tan x}{|\tan x|}$

5.3

Untersuchen Sie auf Monotonie:

• a) $f:[1,\infty)\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=x(1-x^{2})$

• b) $f:(0,1]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=x+\frac{1}{x}$

• c) $f:[1,\infty)\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=x+\frac{1}{x}$

• d) $f:[0,\pi]\rightarrow[-1,1],f(x)=x\mapsto\cos x$

• e) $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\sin x\cos x(\tan x+\frac{1}{\tan x})$

  (Hinweis: Genau hinsehen! Wie ist der Tangens definiert?)

• f) $f:(-\infty,0]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\exp(x^{2})$

5.4

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Umkehrbarkeit und bestimmen Sie ggf. die zugehörige Umkehrfunktion. Geben Sie in diesen Fällen den Definitionsbereich von f ⁻¹ an.

• a) $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{x}$, wobei $0<a<b<\infty$

• b) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=(\frac{1}{2}x-4)^{3}+2$

• c) $f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-3$

• d) $f:\mathbb{R}^{*}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$

• e) $f:\mathbb{R}_{-}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\frac{x}{x-1}$

• f) $f:\mathbb{R}_{-}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f(x)=\exp(x^{2})$

• g) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto 2^{x}$

5.5

Bei einer festen Geldanlage mit einem prozentualen Zinssatz $z\in(0,100]$ erhöht sich das angelegte Kapital K ₀ nach einem Jahr um den Wert $K_{0}\cdot\frac{z}{100}$.

• a) Wie lautet die Folge K _n , die das Gesamtkapital nach n Jahren angibt?

• b) Wie muss der Zinssatz z lauten, damit das Kapital sich nach einem bzw. nach zwei Jahren verdoppelt hat?

• c) Nach wie vielen Jahren hat sich in Abhängigkeit vom Zinssatz z das Anfangskapital verdoppelt, verdreifacht bzw. verzehnfacht? Wie viele Jahre sind hierzu jeweils bei einem Zinssatz von 5 % notwendig?

5.6

Die Messung zur Ermittlung der Kennlinie einer Messgröße y in Abhängigkeit von einer weiteren Messgröße x ergebe folgende Messwerttabelle:

$$\begin{array}[]{c||rrrrrrrrr}x&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline y&0.5&4.0&13.5&32.0&62.5&\!\!108.0&\!\!171.5&\!\!256.0&\!\!364.5\end{array}$$

Wir vermuten einen polynomiellen Zusammenhang zwischen beiden Messgrößen der Form $y(x)=Ax^{n}$. Ermitteln Sie die Parameter $A\in\mathbb{R}$ und $n\in\mathbb{Z}$. Hierzu stellen Sie Logarithmen von x und y (beispielsweise die natürlichen Logarithmen $\ln x$ und $\ln y$) in einem Diagramm dar. Welche Form müsste der resultierende Graph des Zusammenhangs $\ln x\mapsto\ln y$ haben, wenn der vermutete Zusammenhang $y(x)=Ax^{n}$ stimmt? Ermitteln Sie dann aus dem Ordinatenachsenabschnitt (Schnitthöhe des resultierenden Graphen mit der senkrechten Koordinatenachse) und der Steigung des Graphen die beiden gesuchten Parameter.