Folgen, Konvergenz und Reihen

Aufgaben

4.1

Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge beschränkt ist.

4.2

Untersuchen Sie auf Konvergenz:

• a) $a_{n}=\frac{n^{2}}{2n+1},\quad n\in\mathbb{N}_{0}$

• b) $a_{n}=(-1)^{n}\frac{1}{n},\quad n> 0$

• c) $a_{n}=n\frac{1-n^{2}}{n^{2}-n^{3}},\quad n> 0$

• d) $a_{n}=n-\frac{1+4n^{2}}{4n+2},\quad n\in\mathbb{N}_{0}$

• e) $a_{n}=\frac{1}{2}a_{n-1},\quad n\geq 1,\quad a_{0}=1$ (rekursiv definierte Folge)

• f) $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\quad n\geq 2,\quad a_{0}=1,a_{1}=1$ (Fibonacci-Folge)

4.3

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Folge $(q^{n})_{n\in\mathbb{N}_{0}}$ in Abhängigkeit vom Wert von $q\in\mathbb{R}$.

4.4

Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

• a) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n(n+2)+1}$

• b) $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{3}-4n^{2}+7n-2n^{2}+8n^{5}-14}{((n-2)^{4}+2)(2-4n)}$

4.5

Ein Praxisbeispiel zur Anwendung der Beweisverfahrens der vollständigen Induktion: Bei Parallelschaltung zweier elektrischer Widerstände R ₁ und R ₂, ($R_{1},R_{2}\not=0$) ergibt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstands aus der Kehrwertsumme beider Einzelwiderstände: $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$.

• a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass dann für den Kehrwert des Gesamtwiderstands $R^{(n)}$ bei Parallelschaltung von n ≥ 2 Widerständen $R_{k}\not=0$, $(1\leq k\leq n)$ eine entsprechende Formel gilt, d. h.

  $$\frac{1}{R^{(n)}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{k}}.$$

• b) Für den Gesamtwiderstand bei Parallelschaltung zweier elektrischer Widerstände R ₁ und R ₂ ergibt sich laut der Kehrwertformel:

  $$R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\quad\text{,,Produkt durch Summe``.}$$

  Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass bei Parallelschaltung von n ≥ 2 Widerständen $R_{k}\not=0$, $(1\leq k\leq n)$ für die Berechnung des Gesamtwiderstands in Verallgemeinerung folgende Formel gilt:

  $$R^{(n)}=\frac{\prod\limits_{k=1}^{n}R_{k}}{\sum\limits_{k=1}^{n}\prod\limits_{j=1\atop j\not=k}^{n}R_{j}}.$$

• c) Zeigen Sie, dass für beliebige Widerstandswerte R _k , die einen maximalen Schwellwert R _max nicht überschreiten, also $0<R_{k}\leq R_{\text{max}}$, k ≥ 1, die Folge der Gesamtwiderstände $(R^{(n)})_{n\geq 2}$ bei Parallelschaltung von n ≥ 2 Widerständen R _k , $(1\leq k\leq n)$ eine Nullfolge darstellt, d. h. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R^{(n)}=0$. (Unendlich viele Widerstände parallel geschaltet ergeben den Gesamtwiderstand 0.) Welcher Grenzwiderstand stellt sich ein, wenn die Einzelwiderstände gemäß $R_{k}=k!$ bzw. $R_{k}=k$ steigen? Gibt es hierfür eine anschauliche Erklärung?

4.6

• a) Untersuchen Sie in Abhängigkeit des Parameters $q\in\mathbb{R}$ das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}$.

• b) Zeigen Sie, dass die harmonische Reihe bestimmt gegen $\infty$ divergiert: $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty$. Klammern Sie hierzu die Partialsummen der harmonischen Reihe auf folgende Weise:

  $$\begin{aligned}\displaystyle s_{2^{n+1}}:=\sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}=&\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\\ \displaystyle&\displaystyle+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\\ \displaystyle&\displaystyle+\left(\sum_{k=2^{p}+1}^{2^{p+1}}\frac{1}{k}\right).\end{aligned}$$

  Schätzen sie die Klammern in geeigneter Weise nach unten ab, um so eine divergierende Minorante zu konstruieren.

4.7

Zeigen Sie mithilfe des Quotientenkriteriums die Konvergenz folgender Reihen:

• a) $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

• b) $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2^{k}}$

• c) $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{k!}$

• d) $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^{k}}$

• e) $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{4}}{3^{n}}$

4.8

Für welche $x\in\mathbb{R}$ konvergiert

$$\sum_{k=0}^{\infty}(2x-x^{2}-1)^{2k},$$

und wie lautet im Konvergenzfall der Grenzwert?

4.9

Warum konvergieren die folgenden Reihen, und wie lauten ihre Grenzwerte?

• a) $\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}(k^{2}-k)}{k!}$

• b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\cdot 2\pi^{2k}}{2^{2k}(2k-1)!}$

4.10

Berechnen Sie mit einer Tabellenkalkulation (TK) unter ausschließlicher Benutzung der arithmetischen Rechenoperationen (+, −, ×, ∕, Potenzieren, Klammerung) die fünfte Näherung der Exponentialfunktion $\exp(x)$ für folgende Werte von x und vergleichen Sie die Ergebnisse jeweils mit den Werten der eingebauten Exponentialfunktion Ihres Taschenrechners bzw. der Tabellenkalkulation, indem Sie den absoluten und relativen Fehler berechnen (s. Tab.).

$$ \begin{array}[]{c||c|c|c|c}x&\text{N{\"a}herung}&\exp(x)&\text{absoluter}&\text{relativer}\\ &\text{von }\exp(x)&\text{(TK)}&\text{Fehler}&\text{Fehler in \%}\\ &\sum\limits_{k=0}^{5}\frac{x^{k}}{k!}&&\left|{\mathrm{e}}^{x}-\sum\limits_{k=0}^{5}\frac{x^{k}}{k!}\right|&100\cdot\left|\frac{{\mathrm{e}}^{x}-\sum\limits_{k=0}^{5}\frac{x^{k}}{k!}}{{\mathrm{e}}^{x}}\right|\\ \hline\hline-3.0&&&&\\ \hline-2.5&&&&\\ \hline\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \hline\phantom{-}6.0&&&&\\ \hline\end{array}$$

Wie könnte man sich die im Vergleich zu den Fehlern für x < 0 geringere Fehlerentwicklung bei positiven x-Werten auch für verbesserte Näherungen für negative x-Werte zunutze machen?

4.11

Gegeben sei die folgende Konstruktion:

Berechnen Sie bei bekannten Winkeln α und β und gegebener Strecke B die Längen L ₁, L ₂ sowie die Höhe h. Nutzen Sie hierzu die trigonometrischen Funktionen.

4.12

Vergleichen Sie mithilfe einer Tabellenkalkulation (TK) die Reihennäherungen p _N für die Funktion

$$\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\approx\sum_{k=0}^{N}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=p_{N}(x).$$

Notieren Sie hierzu die Ergebnisse in einer Wertetabelle folgender Art:

$$\begin{array}[]{c||c|c|c|c}x&p_{1}(x)&p_{2}(x)&p_{3}(x)&\sin(x)\text{ gem. TK}\\ \hline\hline-1.5&&&&\\ \hline-1.0&&&&\\ \hline\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \hline\phantom{-}6.0&&&&\end{array}$$

Wie können für große $|x|$ die Reihennäherungen mit möglichst wenig Aufwand verbessert werden?